Strona | 1

Wzory na całki oznaczone w geometrii

Wzory dla funkcji 𝒇 określonej:

𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

1. Pole pod wykresem funkcji.

|𝑃| = ∫ 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Założenia: funkcja 𝑓 jest ciągła i nieujemna na [𝑎, 𝑏].

2. Objętość bryły powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół osi OX.

|𝑉| = 𝜋 ∫ 𝑓

2

(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Założenia: funkcja 𝑓 jest ciągła i nieujemna na [𝑎, 𝑏].

3. Objętość bryły powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół osi OY.

|𝑉| = 2𝜋 ∫ 𝑥𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Założenia: funkcja 𝑓 jest ciągła i nieujemna na [𝑎, 𝑏], 𝑎 ≥ 0.

4. Długość krzywej będącej wykresem funkcji.

|𝐿| = ∫ √1 + (𝑓′(𝑥))

2

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Założenia: funkcja 𝑓 ma ciągła pochodną na [𝑎, 𝑏].

5. Pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół osi OX.

|𝑆| = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)√1 + (𝑓′(𝑥))

2

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Założenia: funkcja 𝑓 jest nieujemna na [𝑎, 𝑏] i ma ciągłą pochodną na tym przedziale.

6. Pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół osi OY.

|𝑆| = 2𝜋 ∫ 𝑥√1 + (𝑓′(𝑥))

2

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Założenia: funkcja 𝑓 ma ciągłą pochodną na [𝑎, 𝑏], 𝑎 ≥ 0.

Strona | 2

Wzory na całki oznaczone w geometrii

Krzywa dana jest równaniami parametrycznymi:

{

𝑥 = 𝑥(𝑡)
𝑦 = 𝑦(𝑡)

𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]

1. Pole pod krzywą.

|𝑃| = ∫|𝑥

′

(𝑡)|𝑦(𝑡)

𝑏

𝑎

𝑑𝑡

Założenia: funkcje 𝑥′ oraz 𝑦 są ciągłe na [𝛼, 𝛽], 𝑦 jest nieujemna na tym przedziale.

2. Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej funkcji wokół osi OX.

|𝑉| = 𝜋 ∫|𝑥

′

(𝑡)|𝑦

2

(𝑡)

𝑏

𝑎

𝑑𝑡

Założenia: funkcje 𝑥′ oraz 𝑦 są ciągłe na [𝛼, 𝛽], 𝑦 jest nieujemna na tym przedziale.

3. Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej funkcji wokół osi OY.

|𝑉| = 2𝜋 ∫ 𝑥′(𝑡)𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)

𝑏

𝑎

𝑑𝑡

Założenia: funkcje 𝑥,𝑥′,𝑦 są ciągłe i nieujemne na [𝛼, 𝛽].

4. Długość krzywej.

|𝐿| = ∫ √(𝑥′(𝑡))

2

+ (𝑦′(𝑡))

2

𝑏

𝑎

𝑑𝑡

Założenia: funkcje 𝑥′ oraz 𝑦′ są ciągłe na [𝛼, 𝛽].

5. Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół osi OX.

|𝑆| = 2𝜋 ∫ 𝑦(𝑡)√(𝑥′(𝑡))

2

+ (𝑦′(𝑡))

2

𝑏

𝑎

𝑑𝑡

Założenia: funkcje 𝑦

′

, 𝑥′ oraz 𝑦 są ciągłe na [𝛼, 𝛽], 𝑦 jest nieujemna.

6. Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół osi OX.

|𝑆| = 2𝜋 ∫ 𝑥(𝑡)√(𝑥′(𝑡))

2

+ (𝑦′(𝑡))

2

𝑏

𝑎

𝑑𝑡

Założenia: funkcje 𝑥,𝑥′,𝑦 są ciągłe i nieujemne na [𝛼, 𝛽].

Strona | 3

Wzory na całki oznaczone w geometrii

Krzywa dana jest równaniem biegunowym:

𝑟 = 𝑔(𝜑)

𝜑 ∈ [

𝛼, 𝛽

]

1. Pole obszaru ograniczonego krzywą.

|𝑆| =

1
2

∫ 𝑔

2

(𝜑)

𝛽

𝛼

𝜑𝑥

Założenia: 𝑔 jest funkcją ciągłą na [𝛼, 𝛽].

2. Długość krzywej.

|𝐿| = ∫ √𝑔

2

(𝜑) + (𝑔′(𝜑))

2

𝑏

𝑎

𝑑𝜑

Założenia: 𝑔 i 𝑔′ są ciągłe na [𝛼, 𝛽].