1
CAŁKI OZNACZONE
Definicja
Podziałem odcinka
b
a,
na n części, gdzie
N
n
, nazywamy zbiór
n
x
x
x
P
,...,
,
1
0
przy czym
b
x
x
x
a
n
...
1
0
.
Definicja
Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
b
a,
oraz niech P będzie podziałem tego
przedziału. Sumą całkową funkcji f odpowiadającą podziałowi P oraz punktom pośrednim
*
k
x , gdzie
n
k
1
, tego podziału nazywamy liczbę
n
k
k
k
def
P
f
x
x
f
R
1
*
,
gdzie
1
k
k
k
x
x
x
oznacza długość k – tego odcinka podziału P.
Definicja
Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
b
a,
. Całkę oznaczoną Riemanna
z funkcji f na przedziale
b
a,
definiujemy wzorem:
n
k
k
k
P
def
b
a
x
x
f
dx
x
f
1
*
0
lim
o ile po prawej stronie znaku równości granica jest właściwa oraz nie zależy od sposobu
podziałów P przedziału
b
a,
ani od sposobów wyboru punktów pośrednich
*
k
x , gdzie
n
k
1
.
Przyjmujemy
0
def
a
a
dx
x
f
oraz
a
b
def
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dla a<b.
Twierdzenie (warunek wystarczający całkowalności funkcji)
Funkcja ograniczona na przedziale domkniętym oraz ciągła w nim z wyjątkiem co najwyżej
skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, jest całkowalna.
W
ŁASNOŚCI CAŁKI OZNACZONEJ
1. Addytywność całek oznaczonych względem przedziału całkowania: jeżeli
c
b
a
, to
b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
2. Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki oznaczonej:
b
a
b
a
dx
x
f
k
dx
x
f
k
3. Addytywność całki względem sumy podcałkowej:
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
2
Twierdzenie Newtona-Leibnitza
Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f, ciągłej na przedziale [a,b], to zachodzi wzór:
a
F
b
F
dx
x
f
b
a
Twierdzenie (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłe pochodne na przedziale
b
a,
, to
b
a
b
a
b
a
dx
x
v
x
u
x
v
x
u
dx
x
v
x
u
Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli g'(x) jest funkcją ciągłą a g(x) – funkcją rosnącą w przedziale [a,b], oraz f(u) jest
funkcją ciągłą w przedziale [g(a), g(b)], to zachodzi następujący wzór :
b
g
a
g
b
a
du
u
f
dx
x
g
x
g
f
C
AŁKI FUNKCJI NIEOGRANICZONYCH
Jeżeli funkcja f jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale
h
c
a
,
, h > 0 oraz
w każdym przedziale
b
k
c
,
, k > 0 i jeżeli istnieją granice:
h
c
a
h
dx
x
f
0
lim
oraz
b
k
c
k
dx
x
f
0
lim
to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale [a,b] i oznaczamy
symbolem
b
a
dx
x
f
Jeżeli któraś z powyższych granic nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest
rozbieżna.
C
AŁKI OZNACZONE W PRZEDZIALE NIESKOŃCZONYM
Jeżeli funkcja f jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale skończonym
v
a,
,
(a – ustalone, v – dowolne) oraz istnieje granica
v
a
v
dx
x
f
lim
to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale
,
a
i oznaczamy
symbolem
a
dx
x
f
Analogicznie
b
u
u
b
dx
x
f
dx
x
f
lim
3
D
ŁUGOŚĆ ŁUKU KRZYWEJ
Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci y=f(x), przy czym funkcja f ma
w przedziale
b
a,
ciągłą pochodną, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem:
b
a
dx
dx
dy
L
2
1
P
OLE OBSZARU OGRANICZONEGO KRZYWYMI
Jeżeli krzywe wyznaczone są równaniami y=f(x), y=g(x) przy czym funkcje f, g mają
w przedziale
b
a,
ciągłe pochodne oraz
x
f
x
g
, to pole trapezu krzywoliniowego
ograniczonego wykresami tych funkcji oraz prostymi x=a, x=b wyraża się wzorem:
b
a
dx
x
g
x
f
P
O
BJĘTOŚĆ BRYŁY OBROTOWEJ
Niech dany będzie łuk AB krzywej o równaniu y=f(x) gdzie f jest funkcją ciągłą i nieujemną
w przedziale
b
a,
. Wówczas objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią powstałą
w wyniku obrotu łuku AB dookoła osi Ox wyraża się wzorem:
b
a
dx
y
V
2
P
OLE POWIERZCHNI BRYŁY OBROTOWEJ
Niech dany będzie łuk AB krzywej o równaniu y=f(x) gdzie f jest funkcją ciągłą i nieujemną
w przedziale
b
a,
. Wówczas pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót łuku AB
wokół osi Ox obliczamy według wzoru:
b
a
dx
dx
dy
y
S
2
1
2
Literatura
1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory.
2. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania.
3. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część I.