1

CAŁKI OZNACZONE

Definicja

Podziałem odcinka

 

b

a,

na n części, gdzie

N

n



, nazywamy zbiór





n

x

x

x

P

,...,

,

1

0



przy czym

b

x

x

x

a

n











...

1

0

.

Definicja

Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

 

b

a,

oraz niech P będzie podziałem tego

przedziału. Sumą całkową funkcji f odpowiadającą podziałowi P oraz punktom pośrednim

*
k

x , gdzie

n

k





1

, tego podziału nazywamy liczbę

 









n

k

k

k

def

P

f

x

x

f

R

1

*

,

gdzie

1









k

k

k

x

x

x

oznacza długość k – tego odcinka podziału P.

Definicja

Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

 

b

a,

. Całkę oznaczoną Riemanna

z funkcji f na przedziale

 

b

a,

definiujemy wzorem:

 

 

 













n

k

k

k

P

def

b

a

x

x

f

dx

x

f

1

*

0

lim



o ile po prawej stronie znaku równości granica jest właściwa oraz nie zależy od sposobu
podziałów P przedziału

 

b

a,

ani od sposobów wyboru punktów pośrednich

*
k

x , gdzie

n

k





1

.

Przyjmujemy

 

0

def

a

a

dx

x

f





oraz

 

 









a

b

def

b

a

dx

x

f

dx

x

f

dla a<b.

Twierdzenie (warunek wystarczający całkowalności funkcji)

Funkcja ograniczona na przedziale domkniętym oraz ciągła w nim z wyjątkiem co najwyżej
skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, jest całkowalna.

W

ŁASNOŚCI CAŁKI OZNACZONEJ

1. Addytywność całek oznaczonych względem przedziału całkowania: jeżeli

c

b

a





, to

 

 

 











b

c

c

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

2. Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki oznaczonej:

 

 











b

a

b

a

dx

x

f

k

dx

x

f

k

3. Addytywność całki względem sumy podcałkowej:

   





 

 













b

a

b

a

b

a

dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

2

Twierdzenie Newtona-Leibnitza

Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f, ciągłej na przedziale [a,b], to zachodzi wzór:

 

   

a

F

b

F

dx

x

f

b

a







Twierdzenie (o całkowaniu przez części)

Jeżeli funkcje u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłe pochodne na przedziale

 

b

a,

, to

   

   





   













b

a

b
a

b

a

dx

x

v

x

u

x

v

x

u

dx

x

v

x

u

Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)

Jeżeli g'(x) jest funkcją ciągłą a g(x) – funkcją rosnącą w przedziale [a,b], oraz f(u) jest
funkcją ciągłą w przedziale [g(a), g(b)], to zachodzi następujący wzór :

 



  

 

 

 









b

g

a

g

b

a

du

u

f

dx

x

g

x

g

f

C

AŁKI FUNKCJI NIEOGRANICZONYCH

Jeżeli funkcja f jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale





h

c

a



,

, h > 0 oraz

w każdym przedziale





b

k

c

,



, k > 0 i jeżeli istnieją granice:

 







h

c

a

h

dx

x

f

0

lim

oraz

 







b

k

c

k

dx

x

f

0

lim

to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale [a,b] i oznaczamy
symbolem

 



b

a

dx

x

f

Jeżeli któraś z powyższych granic nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest
rozbieżna.

C

AŁKI OZNACZONE W PRZEDZIALE NIESKOŃCZONYM

Jeżeli funkcja f jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale skończonym

 

v

a,

,

(a – ustalone, v – dowolne) oraz istnieje granica

 







v

a

v

dx

x

f

lim

to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale







,

a

i oznaczamy

symbolem

 





a

dx

x

f

Analogicznie

 

 













b

u

u

b

dx

x

f

dx

x

f

lim

3

D

ŁUGOŚĆ ŁUKU KRZYWEJ

Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci y=f(x), przy czym funkcja f ma
w przedziale

 

b

a,

ciągłą pochodną, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem:



















b

a

dx

dx

dy

L

2

1

P

OLE OBSZARU OGRANICZONEGO KRZYWYMI

Jeżeli krzywe wyznaczone są równaniami y=f(x), y=g(x) przy czym funkcje f, g mają
w przedziale

 

b

a,

ciągłe pochodne oraz

   

x

f

x

g



, to pole trapezu krzywoliniowego

ograniczonego wykresami tych funkcji oraz prostymi x=a, x=b wyraża się wzorem:

   











b

a

dx

x

g

x

f

P

O

BJĘTOŚĆ BRYŁY OBROTOWEJ

Niech dany będzie łuk AB krzywej o równaniu y=f(x) gdzie f jest funkcją ciągłą i nieujemną
w przedziale

 

b

a,

. Wówczas objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią powstałą

w wyniku obrotu łuku AB dookoła osi Ox wyraża się wzorem:







b

a

dx

y

V

2



P

OLE POWIERZCHNI BRYŁY OBROTOWEJ

Niech dany będzie łuk AB krzywej o równaniu y=f(x) gdzie f jest funkcją ciągłą i nieujemną
w przedziale

 

b

a,

. Wówczas pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót łuku AB

wokół osi Ox obliczamy według wzoru:





















b

a

dx

dx

dy

y

S

2

1

2



Literatura

1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory.
2. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania.
3. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część I.