Wydział ILiŚ, Budownictwo, sem.1
dr Jolanta Dymkowska
Zastosowania geometryczne całki
Zad.1 Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi:
1.1 parabolą y = x2 i prostą y = 4 ;
1.2 parabolą y = x2 i prostą y = x ;
1.3 krzywą y = ln x i prostymi x = e i y = 0 ;
1.4 łukiem sinusoidy y = sin x dla x ∈ [0, π] i prostą y = 0 ;
1.5 y = x2 , y =
2
;
1+x2
1.6 y = ex , y = e−x , y = 4 ;
1.7 y2 = 4 − 2x , x + y = −2 ;
1.8 y =
1
, y = x , x = −1 ;
3+x2
4
1.9 y = x2 − 2x − 3 , y = x + 1 ;
1.10 y = |x2 + x − 6| , y = 9 − x2 ;
1.11 y = arcsin x , y = arccos x , y = 0 ;
1.12 y = ln(x + 6) , y = 3 ln x , x = 0 , y = 0 ;
1.13 y = arctg x , y = 1 − ex , x = 1 ;
√
1.14 y = − −x , y = 1 , y = −2 ;
x
1.15 y = cos5 x sin 2x , x = 0 , x = π , y = 0 ;
2
1.16 y =
3
, y = 0 ;
3+x2
1.17 y = 1
√
dla x > 1 , x = 1 , y = 0 ;
x
Zad.2 Oblicz pole między krzywymi w postaci parametrycznej a osią 0X:
√
√
2.1 x = 1 −
t, y = 2 −
t dla t ∈ [1, 4] ;
2.2 x = 2 + ln t, y = 2 ln t dla t ∈ [ 1 , 1] ;
e2
√
2.3 x =
t, y = 4t − t2 dla t ∈ [0, 4] ;
2.4 x = 5 sin2 t, y = 4 cos2 t dla t ∈ [0, π ] ;
2
2.5 x = t − sin t, y = 1 − cos t dla t ∈ [0, 2π] ;
2.6 x = sin3 t, y = cos3 t dla t ∈ [0, 2π] ;
Zad.3 Oblicz pola figur wewnątrz krzywych:
3.1 r = 2 − sin 3ϕ dla ϕ ∈ [0, 2π] ;
3.2 r = sin 2ϕ dla ϕ ∈ [0, π ] ;
2
√
3.3 r =
sin ϕ cos2 ϕ dla ϕ ∈ [0, π] ;
3.4 r = 1 + 2 sin2 ϕ dla ϕ ∈ [0, 2π] ;
Zad.4 Oblicz długość łuku krzywej:
3
4.1 y = 2 x 2 − 2 dla x ∈ [0, 3] ;
3
4.2 y = x2 − 1 ln x dla x ∈ [1, e] ;
4
2
√
4.3 y = ln x dla x ∈ [1,
3] ;
4.4 y = ln(cos x) dla x ∈ [0, π ] ;
3
√
√
4.5 y = 2 ln 1+ x
√
− 4 x dla x ∈ [0, 1 ] ;
1−
x
4
√
4.6 y = arcsin x +
1 − x2;
4.7 y = 1 (ex + e−x) dla x ∈ [0, 1] ;
2
√
√
4.8 y = arcsin
x +
x − x2 dla x ∈ [ 1 , 1] ;
4
4.9 x = t2 + 2t, y = t2 − 2t + 1 dla t ∈ [0, 1] ;
√
√
4.10 x = 2 t + ln t, y = 2 t − ln t dla t ∈ [ 9 , 16 ] ;
16
9
4.11 x = t − sin t, y = 1 − cos t dla t ∈ [0, 2π] ;
4.12 x = cos t + t sin t, y = sin t − t cos t dla t ∈ [0, 2π] ;
4.13 r = ϕ4 dla ϕ ∈ [0, 3] ;
ϕ
4.14 r = e 2 dla ϕ ∈ [0, 4] ;
4.15 r = cos ϕ dla ϕ ∈ [0, π] ;
Zad.5 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót krzywej dookoła osi OX:
√
5.1 y =
x + 2 dla x ∈ [1, 2] ;
5.2 y = tg x dla x ∈ [0, π ] ;
4
5.3 y = 9 − x2 dla x ∈ [−3, 3] ;
√
5.4 y = sin
x dla x ∈ [0, π2] ;
5.5 y = 2x − x2 dla x ∈ [0, 2] ;
q
5.6 y =
4x
dla x ∈ [0, 1] ;
x2−2x+5
5.7 y = ln x dla x ∈ [1, e2] ;
√
5.8 y =
x e−x dla x > 0 ;
√
5.9 x = e − et, y =
t dla t ∈ [0, 1] ;
5.10 x = t + ln t, y = t2 + 2t dla t ∈ [1, 2] ;
Zad.6 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX figury ograniczonej krzywymi: 6.1 y = ln x , y = 1 − x , y = 1 ;
6.2 y = sin x , y = cos x dla x ∈ [0, π ] ;
4
6.3 y = x + |x| , y = x + 1 ;
Zad.7 Oblicz pole powierzcni bocznej bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej: 7.1 y = 1 x3 dla x ∈ [−1, 1] ;
3
√
7.2 y =
x dla x ∈ [0, 4] ;
7.3 y = tg x dla x ∈ [0, π ] ;
4
7.4 x = t, y = t3 dla t ∈ [0, 1] ;
7.5 x = t − sin t, y = 1 − cos t dla t ∈ [0, 2π] ;