1

Zastosowania mechaniczne całki oznaczonej

Rozważmy trapez krzywoliniowy przedstawiony na rysunku. Załóżmy, że jest on wykonany z

materiału jednorodnego o gęstości % . Wówczas

• masa trapezu krzywoliniowego wyraża się wzorem:

|M | = % · |P | = % ·

b

Z

a

f (x) dx

• moment statyczny względem osi 0X trapezu krzywoliniowego wyraża się wzorem:

|M

x

| =

1

2

% ·

b

Z

a

f

2

(x) dx

• moment statyczny względem osi 0Y trapezu krzywoliniowego wyraża się wzorem:

|M

y

| = % ·

b

Z

a

x f (x) dx

• współrzędne środka ciężkości trapezu krzywoliniowego wyraża się wzorem:

x

S

=

|M

y

|

|M |

y

S

=

|M

x

|

|M |

• środek ciężkości trapezu krzywoliniowego to punkt (x

S

, y

S

).

Zadania

Oblicz środki ciężkości ciężkości obszarów ograniczonych krzywymi:

a) y = sin x (dla x ∈ [0, π] ), y = 0

b) y = e

2x

(dla x ∈ [0, 1] ), y = 0

c) y =

√

x , x = 1 , y = 0

d) y = ln x , x = e , y = 0