Wydział WILiŚ,Transport, sem.1

dr Jolanta Dymkowska

Zastosowania geometryczne całki

Zad.1 Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi:

1.1 parabolą y = x

2

i prostą y = 4 ;

1.2 parabolą y = x

2

i prostą y = x ;

1.3 krzywą y = ln x i prostymi x = e i y = 0 ;

1.4 łukiem sinusoidy y = sin x dla x ∈ [0, π] i prostą y = 0 ;

1.5 y = x

2

, y =

2

1+x

2

;

1.6 y = e

x

, y = e

−x

, y = 4 ;

1.7 y

2

= 4 − 2x , x + y = −2 ;

1.8 y =

1

3+x

2

, y =

x

4

, x = −1 ;

1.9 y = x

2

− 2x − 3 , y = x + 1 ;

1.10 y = |x

2

+ x − 6| , y = 9 − x

2

;

1.11 y = arcsin x , y = arccos x , y = 0 ;

1.12 y = ln(x + 6) , y = 3 ln x , x = 0 , y = 0 ;

1.13 y = arctg x , y = 1 − e

x

, x = 1 ;

1.14 y = −

√

−x , y =

1

x

, y = −2 ;

1.15 y = cos

5

x sin 2x , x = 0 , x =

π

2

, y = 0 ;

1.16 y =

3

3+x

2

, y = 0 ;

1.17 y =

1

√

x

dla x

> 1 , x = 1 , y = 0 ;

Zad.2 Oblicz długość łuku krzywej:

2.1 y =

2
3

x

3
2

− 2 dla x ∈ [0, 3] ;

2.2 y =

x

2

4

−

1
2

ln x dla x ∈ [1, e] ;

2.3 y = ln x dla x ∈ [1,

√

3] ;

2.4 y = ln(cos x) dla x ∈ [0,

π

3

] ;

2.5 y = 2 ln

1+

√

x

1−

√

x

− 4

√

x dla x ∈ [0,

1
4

] ;

2.6 y = arcsin x +

√

1 − x

2

;

2.7 y =

1
2

(e

x

+ e

−x

) dla x ∈ [0, 1] ;

2.8 y = arcsin

√

x +

√

x − x

2

dla x ∈ [

1
4

, 1] ;

Zad.3 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót krzywej dookoła osi OX:

3.1 y =

√

x + 2 dla x ∈ [1, 2] ;

3.2 y = tg x dla x ∈ [0,

π

4

] ;

3.3 y = 9 − x

2

dla x ∈ [−3, 3] ;

3.4 y = sin

√

x dla x ∈ [0, π

2

] ;

3.5 y = 2x − x

2

dla x ∈ [0, 2] ;

3.6 y =

q

4x

x

2

−2x+5

dla x ∈ [0, 1] ;

3.7 y = ln x dla x ∈ [1, e

2

] ;

3.8 y =

√

x e

−x

dla x

> 0 ;

Zad.4 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX figury ograniczonej krzywymi:

4.1 y = ln x , y = 1 − x , y = 1 ;

4.2 y = sin x , y = cos x dla x ∈ [0,

π

4

] ;

4.3 y = x + |x| , y = x + 1 ;

Zad.5 Oblicz pole powierzcni bocznej bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej:

5.1 y =

1
3

x

3

dla x ∈ [−1, 1] ;

5.2 y =

√

x dla x ∈ [0, 4] ;

5.3 y = tg x dla x ∈ [0,

π

4

] ;