TEMAT:
Zastosowania geometryczne całek

 

DEFINICJA 6.2       (CAŁKA  NIEWŁAŚCIWA  -  dla przypomnienia)

            
,      
 - przedział,

           
 jest przedziałem domkniętym i ograniczonym,

           
 - przeliczalny ciąg przedziałów domkniętych zawartych w E,
            wówczas:        
,

           
           

 

UWAGA 7.1

             Jeżeli E - przedział domknięty i ograniczony i f całkowalna na E,

            
.

 

TWIERDZENIE 7.1    (KRYTERIUM ZBIEŻNOŚCI CAŁKI)

Z:       
;

T:       
 - zbieżna
 - zbieżna,

           
 - rozbieżna
 - rozbieżna;

D:        ad1^o :

            Niech
 - wstępujący ciąg przedziałów domkniętych:

           
,
            z założenia: 
,

           

,

            ciąg
 jest rosnący i ograniczony od góry przez

           
, czyli ,
 jest zbieżna.

           
            ad2^o :

            z założenia: 
,
           
 jest rozbieżna.

 

 

PRZYKŁAD 7.1    (BADANIE ZBIEŻNOŚCI CAŁKI)            

            Obliczyć całkę niewłaściwą:
,

            dla x=1 funkcja podcałkowa ma asymptotę pionową,
           

            Uwaga:

                        jeśli podejrzewamy, że całka jest zbieżna to szacujemy od góry, gdy zaś podejrzewamy, że całka jest rozbieżna to szacujemy od dołu, całką którą możemy przeliczyć:
,
,
,

                       
 - funkcja monotoniczna, więc
,

                         (1)        
;    

                         Obliczmy
:

wykonujemy podstawienie:
, skąd:
, więc
,

zatem otrzymujemy:


,

                        (2)         z (1) i (2)
 całka
 zbieżna.

 

 

WNIOSEK 6.1 (przypomnienie)

Związek całki Lebesque'a z całką Riemanna (dla przypomnienia).

Z:       
,           
, 

            całka Lebesque'a z funkcji ciągłej jest równa całce Riemanna;

  

 

POLE OBSZARU D:

            1^o Niech D - obszar ograniczony krzywymi:
                
         
,         
,       
,
                 przy tym:          
,   

                 pole obszaru D jest równe:
,                      

             

                z interpretacji geometrycznej całki:

              
,

              
 = pole
,

 
               analogicznie dla kolejnych pól.

  

Współrzędne biegunowe:

             Jeśli:  
 - współrzędne kartezjańskie punktu P,

             
 - długość odcinka
,         
 - kąt skierowany,

             to:       
- współrzędne biegunowe punktu P,

 
           

            Dla opisu wszystkich punktów płaszczyzny przyjmujemy założenia:

           
,        
, lub
.

 

PRZYKŁAD 7.2  

            Narysować lemniskatę Bernouliego:
           
,                  
,          
,

           
, skąd:     
- równanie biegunowe,
            dziedzinę wyznaczamy zawsze z warunku:
,          
,

           
   
            
; 

           

              2^o   Niech:

                 

               D - obszar ograniczony krzywymi:
               
,
 oraz
;

               tworzymy normalny ciąg podziałów przedziału
:
              

               pole wycinka koła:
,
           
               tak więc:        

              

 

PRZYKŁAD 7.2   (ciąg dalszy)

             Obliczmy teraz pole obszaru ograniczonego lemniskatą

             Bernouliego; wystarczy policzyć pole ćwiartki ograniczonej
             wykresem w przedziale
:

            
,                          
.

             3^o  Pole obszaru ograniczonego krzywą zadaną parametrycznie:
             
            
,  
,        

          

             D - obszar ograniczony krzywymi:            L,
,
 i
   

 

 
  Dowód:                                         
          

 
            załóżmy że:                        
- ciągła,      
 - różniczkowalna w

           
,               
,         

           

                        podstawiamy:   
, skąd  
oraz
, więc:
                       
.

             Podsumowanie I:

               1^o  D - obszar ograniczony krzywymi:
 
,
                     
,
,
, przy czym:
:

                      


                2^o  D - obszar ograniczony krzywymi:
,
,
:
                     

                 3^o  D - obszar ograniczony krzywą:
,
, i osią

                      
,
,
:
                     
                      

 

DŁUGOŚĆ ŁUKU L:

            Niech L - łuk zadany równaniem parametrycznym:

           

           
,
,
,

           
,
           
,

           
,

           
,
           
,

            długość łamanej:
,

            
,

             
 - długość krzywej;

 

 

DEFINICJA 7.1        (KRZYWA PROSTOWALNA)

            Jeżeli
, to krzywą nazywamy prostowalną.
 

  

DEFINICJA 7.2 (KRZYWA JORDANA)

            L - krzywa Jordana (łuk zwykły)
          1^o  L - prostowalna,
                                                                                   2^o L - nie ma punktów wielokrotnych;

 

DEFINICJA 7.3        (ŁUK REGULARNY)

            L - łuk regularny
,          

            w każdym punkcie krzywej istnieje styczna
            (w żadnym punkcie pochodne się nie zerują jednocześnie).

 
 

TWIERDZENIE 7.2   

            Każdy łuk regularny jest krzywą prostowalną i jego długość:
            

            Dowód:   
,

                                z twierdzenia 1.3 (Lagrange'a):
,

                               


                               
. (wniosek 6.1)

 

UWAGA 7.2

            Analogicznie można wyprowadzić wzór na długość łuku w przestrzeni Rⁿ :
           
,   
,     

 

UWAGA 7.3

 W szczególności:
 Jeśli:  
,    
,    
,  to:                   
  
.

 

 

Długość krzywej zadanej równaniem biegunowym:

           
,     
,            
,

           
,                                  
,
           
,        
,
            z tw. 7.2:

     

           

          Podsumowanie II:

               1^o  L - łuk regularny:
,      
,

                     
, 
.

           

               2^o  
,  
,
,
                    

           

               3^o   L - długość łuku zadanego równaniem biegunowym:
                    
,     
,                 
,
                      
.

  

Objętość bryły obrotowej:

              Z:       
,      
,      
,   
,

            
 - bryła powstała przez obrót krzywej
 wokół osi
:
            

              T:        Objętość bryły:
             
,
 
  D:       
,           
 - objętość walca,
             
.

 

 

Pole powierzchni bryły obrotowej:

Z:       
,      
,      
,   
,
          

T:        Pole powierzchni bryły:
,

D:       
,

           
 - powierzchnia boczna stożka ściętego,
           
.

---