1. Oblicz pola gur ograniczonych krzywymi o równaniach:
(a) y = x 2, x = y 2;
(b) y = x 2 − 6 x + 10, y = 6 x − x 2;
(c) y 3 = x, y = 1, x = 8;
(d) y = x 2, y = x 2 , y = 2 x;
2
(e) y = ln x, y = ln2 x;
(f) x 2 + y 2 = 8, 2 y = x 2.
2. Obliczy¢ pole gury ograniczonej jednym ªukiem cykloidy x = a( t − sin t) , y = a(1 − cos t) (0 ¬ t ¬ 2 π) i osi¡ odci¦tych.
3. Obliczy¢ pole elipsy danej równaniami parametrycznymi x = a cos t, y = b sin t (0 ¬ t ¬ 2 π).
4. Obliczy¢ pole gury ograniczonej asteroid¡:
(
x = a cos3 t,
y = b sin3 t,
gdzie t ∈ [0 , 2 π].
5. Obliczy¢ pola nast¦puj¡cych gur ograniczonych krzywymi zadanymi we wspóªrz¦dnych bie-
gunowych:
(a) r = a(1 + cos ϕ), ϕ ∈ [0 , 2 π] (kardioida); (b) r = a cos ϕ + b( b ¬ a), ϕ ∈ [0 , 2 π] (±limak); (c) r = a sin 3 ϕ, ϕ ∈ [0 , 2 π] (trójlistnik).
6. Obliczy¢ dªugo±ci nast¦puj¡cych krzywych pªaskich danych poni»szymi funkcjami:
(a) y = ln cos x, 0 ¬ x ¬ π;
2
√ √
(b) y = ln x, x ∈ [ 3 , 8];
(c) y = ln(1 − x 2), x ∈ [0 , 1];
2
(d) y = ln ex+1, x ∈ [ a, b].
ex− 1
7. Obliczy¢ dªugo±¢ ªuku paraboli póªsze±ciennej (paraboli Niela)
3
y = 2 ( x − 1) 2 w przedziale
3
1 ¬ x ¬ 4.
8. Obliczy¢ dªugo±¢ ªuku cykloidy x = a( t − sin t), y = a(1 − cos t), gdzie a > 0 oraz t ∈ [0 , 2 π].
9. Wyznaczy¢ obj¦to±¢ bryªy powstaªej przez obrót krzywej f( x) = sin x, x ∈ [0 , π]: ( a) wokóª
osi 0 x, ( b) wokóª osi 0 y.
10. Obliczy¢ obj¦to±¢ bryªy powstaªej przez obrót krzywej y = e−x, x ∈ [0 , + ∞] wokóª osi 0 x.
11. Obliczy¢ pole powierzchni bryªy utworzonej przez obrót dookoªa osi 0 x sinusoidy y = sin x, 0 ¬ x ¬ π.
1