Zastosowanie całek potrójnych

Niech V – obszar regulany

3

R . Wtedy





V

V

dxdydz

- objętość obszaru V

Przykład

Obliczyć objętość bryły, jaką z kuli o promieniu R wycina stożek kołowy o wierzchołku w

środku kuli, wysokości R

 i o kącie rozwarcia



2

, gdzie

2

0



 



.

R

R

R

y

z

x

V

Ω

α

Ponieważ bryła jest symetryczna względem osi OZ, zatem objętość







dxdydz

V

4

, gdzie



jest ćwiartką bryły V.
Stosujemy współrzędne sferyczne



























sin

sin

cos

cos

cos

r

z

r

y

r

x

, gdzie









2

,

0



,







 



2

,

2









,

 

R

r

,

0



Zatem



jest obrazem prostopadłościanu P,

 

R

P

,

0

2

,

2

2

,

0









 





















.

Stąd

)

cos

1

(

3

2

2

)

cos

1

(

3

4

)

cos

1

(

3

1

4

sin

3

1

4

cos

3

1

4

cos

4

cos

4

3

3

2

0

3

2

0

2

2

2

0

2

2

3

3

2

0

2

2

0

2

2





















































































 



  









R

R

d

R

d

R

d

R

d

dr

r

d

d

dr

d

d

r

V

R

P