1

Zastosowania geometryczne całki oznaczonej

(A)

Pole obszararu płaskiego

|P | =

b

Z

a

|f (x)| dx

Założenie: funkcja f (x) jest ciągła dla x ∈ [a, b] .

|P | =

d

Z

c

|f (y)| dy

Założenie: funkcja f (y) jest ciągła dla y ∈ [c, d] .

2

|P | =

b

Z

a

( f (x) − g(x) ) dx

Założenie: funkcje

f (x)

i

g(x)

są ciągłe dla

x ∈ [a, b]

oraz dla każdego

x ∈ [a, b]

f (x) > g(x) .

|P | =

d

Z

c

( f (y) − g(y) ) dy

Założenie: funkcje

f (y)

i

g(y)

są ciągłe dla

y ∈ [c, d]

oraz dla każdego

y ∈ [c, d]

f (y) > g(y) .

Przykład

Oblicz pola obszarów ograniczonych wykresami funkcji:

a)

y = arctg x, y = 1 − e

x

, x = 1

b)

y = ln x, y = −1, y = 1, x = 0

(B)

Krzywa płaska zadana parametrycznie

Definicja

Zbiór punktów płaszczyzny (x, y) ∈ R

2

taki, że











x = x(t)

t ∈ [t

1

, t

2

]

y = y(t)

gdzie

x(t)

i

y(t)

są funkcjami ciągłymi dla

t ∈ [t

1

, t

2

]

nazywamy krzywą płaską daną

parametrycznie.

Punkt (x(t

1

), y(t

1

)) nazywamy początkiem krzywej, punkt (x(t

2

), y(t

2

)) - końcem.

Przykład

3

• Prosta przechodząca przez punkt P (x

0

, y

0

) i równoległa do wektora ~a = [a

1

, a

2

] ma

parametryzację:











x(t) = x

0

+ a

1

t

t ∈ R

y(t) = y

0

+ a

2

t

Jeżeli y ∈ [t

1

, t

2

] , to wzór powyższy przedstawia parametryzację odcinka o początku w

punkcie (x(t

1

), y(t

1

)) i końcu w punkcie (x(t

2

), y(t

2

)) .

• Odcinek o początku w punkcie A(x

A

, y

A

) i końcu w punkcie B(x

B

, y

B

) ma parametryzację:











x(t) = x

A

+ (x

B

− x

A

) t

t ∈ [0, 1]

y(t) = y

A

+ (y

B

− y

A

) t

• Okrąg o środku w punkcie P (x

0

, y

0

) i promieniu R > 0 ma parametryzację:











x(t) = x

0

+ R cos t

t ∈ [0, 2π]

y(t) = y

0

+ R sin t

• Elipsa o równaniu

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1

ma parametryzację:











x(t) = a cos t

t ∈ [0, 2π]

y(t) = b sin t

(C)

Pole obszaru płaskiego pod krzywą zadaną parametrycznie

|P | =

t

2

Z

t

1

| y(t) · x

0

(t) | dt

Założenie: funkcje x(t) , x

0

(t) i y(t) są ciągłe dla t ∈ [t

1

, t

2

] oraz x

0

(t) i y(t) mają stały

znak.

4

Przykład Oblicz pole obszaru ograniczonego osią OX i krzywą zadaną parametrycznie x(t) =

t e

t

, y(t) = t e

−t

, t ∈ [0, 1] .

Przykład

Wyprowadź wzór na pole elipsy o półosiach a i b .

(D)

Krzywa płaska we współrzędnych biegunowych

Współrzędne biegunowe (r, ϕ) :











x = r cos ϕ

r ∈ [0, +∞)

y = r sin ϕ

ϕ ∈ [0, 2π]

r

2

= x

2

+ y

2

Przykład

Zapisz równania krzywych we współrzędnych biegunowych:

a)

x

2

+ y

2

= R

2

b)

( x

2

+ y

2

)

2

= a

2

( x

2

− y

2

),

a > 0

(E)

Pole obszaru płaskiego pod krzywą zadaną we współrzędnych biegunowych

|P | =

1

2

β

Z

α

r

2

(ϕ) dϕ

5

Założenie: funkcja r(ϕ) jest ciągła i nieujemna dla ϕ ∈ [α, β] .

Przykład

Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywą z punktu b) z poprzedniego przykładu.

(F)

Długość łuku wykresu funkcji

|L| =

b

Z

a

q

1 + (f

0

(x))

2

dx

Założenie: funkcje f (x) i f

0

(x) są ciągłe dla x ∈ [a, b] .

Przykład

Oblicz długość łuku wykresu funkcji f (x) =

x

2

4

−

1
2

ln x dla x ∈ [1, e] .

(G)

Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie

|L| =

t

2

Z

t

1

q

(x

0

(t))

2

+ (y

0

(t))

2

dt

Założenie: funkcje x(t) , x

0

(t) , y(t) i y

0

(t) są ciągłe dla t ∈ [t

1

, t

2

] .

Przykład

Oblicz długość łuku krzywej zadanej dla t ∈ [−4, −1] parametrycznie:



















x(t) =

t

R

−2

cos z

z

dz

y(t) =

3

R

t

sin z

z

dz

6

(H)

Długość łuku krzywej we współrzędnych biegunowych

|L| =

β

Z

α

q

(r(ϕ))

2

+ (r

0

(ϕ))

2

dϕ

Założenie: funkcje r(ϕ) i r

0

(ϕ) są ciągłe dla ϕ ∈ [α, β] .

Przykład

Oblicz długość łuku krzywej o równaniu r(ϕ) = a(1 + cos ϕ) , gdzie a > 0 i

ϕ ∈ [0, 2π] .

(I)

Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji dookoła osi 0X

|V | = π

b

Z

a

(f (x))

2

dx

Założenie: funkcja f (x) jest ciągła dla x ∈ [a, b] .

Przykład

Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji

f (x) =

1

√

x

2

− 3x + 2

dookoła osi 0X dla x ∈ [3, 4] .

7

Przykład Wyprowadź wzór na objętość stożka ściętego, powstałego przez obrót prostej f (x) =

cx dookoła osi 0X dla x ∈ [a, b] , gdzie stałe a, b, c > 0 .

(J)

Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót krzywej zadanej parametrycznie dookoła osi 0X

|V | = π

t

2

Z

t

1

(y(t))

2

· | x

0

(t) | dt

Założenie: funkcje x(t) , x

0

(t) i y(t) są ciągłe dla t ∈ [t

1

, t

2

] oraz x

0

(t) i y(t) mają stały

znak.

Przykład

Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót krzywej x(t) =

1
2

t

2

+

1
2

t, y(t) = t

3

dookoła osi 0X dla t ∈ [0, 1]

(K)

Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji dookoła osi 0X

|S| = 2π

b

Z

a

|f (x)|

q

1 + (f

0

(x))

2

dx

Założenie: funkcje f (x) i f

0

(x) są ciągłe dla x ∈ [a, b] .

Przykład

Wyprowadź wzór na pole powierzchni sfery o promieniu R .

(L)

Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej powstałej przez obrót krzywej zadanej parametrycznie

dookoła osi 0X

|S| = 2π

t

2

Z

t

1

|y(t)|

q

(x

0

(t))

2

+ (y

0

(t))

2

dt

Założenie: funkcja x(t), y(t), x

0

(t), y

0

(t) jest ciągła dla t ∈ [t

1

, t

2

] .

Przykład

Oblicz pole powierzchni powstałej przez obrót dookoła osi 0X asteroidy:











x(t) = a cos

3

t

t ∈ [0, 2π]

y(t) = a sin

3

t

Przykład

8

• Oblicz pole obszaru zawartego pomiędzy krzywą f (x) =

1

5

√

(x−3)

2

oraz prostymi x =

3, x = 4, y = 0 .

• Oblicz długość łuku wykresu funkcji:

f (x) = arcsin x +

√

1 − x

2

.

• Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi 0X krzywej f (x) = ln x dla

0

6 x 6 1 .

• Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi 0X krzywej f (x) = x e

−x

dla

x > 0 .

• Oblicz pole obszaru zawartego pomiędzy krzywą f (x) =

1

1+x

2

a osią 0X.

• Krzywa f (x) =

1
x

, gdzie 1

6 x 6 +∞ obraca się wokół osi 0X. Wykazać następujący

pardoksalny fakt: pole uzyskanej powierzchni obrotowej wynosi +∞ zaś objętość bryły

ograniczonej tą powierzchnią wynosi tylko π .