Arkusz 9 . 

1.  Bez obliczania wartości całki ustalić jej znak: 

a)

xdx

arc

x

ctg

0

1

2





                            b)



2

0

cos



xdx

x

                  c)

xdx

arc

x

sin

0

1

3





 

2.  Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi : 

 
a) y = x

2

 , y = 2x

2

 , y = 8 ( x



0 ) ;                   

         b) y = cos2x , y = sinx , oś OY ( x



0) ; 

 

c)  

1

9

4

2

2





y

x

;                   d)  yx

4

= 1 , y =1 , y =16;              e) y

2

= - x , y = x – 6 , y = -1 , y = 4 ; 

f)  y = x (x

2

 – 16),   y = 0 ;  

 

 

 

          g) y = - x

2

 + 2x +3,     y = x

2 

- 2x + 3. 

 

 
3.  Obliczyć długość łuku krzywej o równaniu: 

a)   y = 

2

1

x



          x



< 0 , 

2

1

> 

b)   y = lnx                   x



< 

3

 , 2

2

> 

c)   y = e

x

                    x



< 

2

1

ln2 , 

2

1

ln3 > 

 
4.  Oblicz średnią wartość funkcji f na przedziale < a , b >: 

a) f(x) = 

2

1

x

x



,    < 0 , 2 >;                  b) f(x) = x sinx,             < 0 , 



>. 

 
5.   Wśród podanych całek wyszukać całki niewłaściwe i zbadać ich zbieżność: 

a)





1

0

3

1

x

dx

                    b) 





2

1

0

3

1

x

dx

                 c) 



e

x

dx

1

ln

                        d) 





1

ln x

dx

 

e) 



2

4

sin





x

dx

                      f) 







2

sin x

dx

                     g) 





2

1

2

4

x

dx

                  h)





2

1

2

9

x

dx

 

6.  Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi : 

a)  y = 

2

4

1

x

x



 ,   x = 0 ,  x = 4 ,  y = 0;  

 

                b) 

 y = 

5

4

1

2





x

x

 ,   y = 0 ; 

c)  y = 

x

x

2

ln

1

    dla x



e ,   x = e ,   y = 0 ; 

 

 

 

7.  Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi Ox figury ograniczonej liniami: 

a)  y = 

√ ,   x = 4,   y = 0; 

b)  y = 

 

√   

    

,   

                        

c)  y = 

 

√   

    

,  

       .