Arkusz nr. 4

1. Wykazać, że funkcja f(x ,y) nie ma ekstremów lokalnych:

a. ( )

b. ( )

(

) .

2. Sprawdzić, że funkcja

( ) w punktach P

1

i P

2

nie ma ekstremów lokalnych, gdy:

a.

( )

( )

( )

b.

( ) (

)

( )

( ) ( )

3. Wykazać, że funkcja

( ) ma w punkcie P

0

ekstremum lokalne i określić, czy jest to

maksimum czy minimum, gdy:

a.

( )

( )

b.

( )

(

) ( )

4. Sprawdzić, w którym z punktów :

( )

( )

( ) funkcja

( )

ma ekstremum lokalne i określić, czy jest to maksimum czy minimum.

5. Wyznaczyć, o ile istnieją ekstrema lokalne funkcji:

a.

( )

b.

( )

c.

( )

d.

( ) (

)

6. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f na obszarze domkniętym D, gdy

a. ( )

{( )

}

b. ( )

{( )

}

Odpowiedzi – K. Dobrowolska i inni, Matematyka 2, HELPMATH Łódź 2009

7. Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby A i B. Cena wyrobu A wynosi 30 € a wyrobu B

odpowiednio 20€. Ograniczeniem w procesie produkcji są zapasy trzech surowców S

1

, S

2

, S

3

.

W tabeli podano jednostkowe nakłady surowców na produkcję tych wyrobów oraz zapasy
surowców.

Surowce

Zużycie surowca (w kg) na 1 szt.
wyrobu

Zapas surowca
(kg)

A

B

S

1

S

2

S

3

2
3
1,5

1
3
-

1000
2400
600

Ustalić rozmiary produkcji wyrobów A i B, które gwarantują maksymalny przychód z ich
sprzedaży przy istniejących zapasach surowców. Zbudować model matematyczny tego
zagadnienia i przedstawić rozwiązanie metodą graficzną.
Odp. (200, 600, 18000€)

8. W gospodarstwie hodowlanym sporządzana jest mieszanka paszowa dla kurczaków z dwu

produktów A i B. Mieszanka paszowa ma dostarczyć kurczakom pewnych składników
odżywczych S

1

, S

2

, S

3

w ilościach

nie mniejszych niż określone minima. Zawartość

składników odżywczych w jednostce poszczególnych produktów, ceny produktów a także
minimalne ilości składników podano w tabelce.

Składniki

Zawartość składnika w 1 kg produktu

Minimalna ilość
składnika w mieszance

A

B

S

1

S

2

S

3

3 jednostki
8 jednostek
12 jednostek

9

jednostek

4 jednostki
3 jednostki

27 jednostek
32 jednostki
36 jednostek

Produkt A (1 kg)

Produkt B (1 kg)

Cena w zł.

6

9

W jakich ilościach należy zakupić produkty A i B aby dostarczyć kurczakom składników
odżywczych S

1

, S

2

, S

3

w ilościach

nie mniejszych niż określone minima i aby koszt ich

zakupu (sporządzenia mieszanki) był minimalny. Zbudować model matematyczny tego
zagadnienia i przedstawić rozwiązanie metodą graficzną. Odp. (3, 2, 36 zł.)