ekstrema lokalne

background image

Funkcje wielu zmiennych IV

Twierdzenie (Równo ci Schwarza)
Dla odwzorowa

n

f : top

A

∋ →

∋ →

∋ →

∋ →

, które maj drug ró niczk w punkcie

P A,

zachodz równo ci:

2

2

1 2

i

j

j

i

f

f

( P )

( P ), i, j

, ,...,n, i j

x x

x x

=

=

=

=

=

=

=

=

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

Odwzorowanie

n

f : top

A

∋ →

∋ →

∋ →

∋ → jest klasy

m

C ,m

w zbiorze A, gdy jest ci głe

wraz ze wszystkimi swoimi pochodnymi cz stkowymi a do rz du

m wł cznie w A.

Twierdzenie (Taylora)
Niech

[[[[

]]]]

n

n

A top

, h

, P A, P h A, P ,P h

A

+ ∈

+

+ ∈

+

+ ∈

+

+ ∈

+

, (tzn. odcinek

[[[[

]]]]

P ,P h

++++

ł cz cy punkty

P , P h

++++

zawiera si w

A

). Je eli

f : A

jest klasy

1

m

C

−−−−

w

A

oraz dla ka dego

x

nale cego do odcinka

((((

))))

P ,P h

++++

istnieje

m

x

d f ,

to istnieje

(((( ))))

0 1

,

α ∈

takie, e

2

1

1

1

1

2

1

( m )

( m )

P

P

P

P

h

f ( P h ) f ( P ) d f ( h )

d f ( h ) ...

d

f ( h )

d

f ( h )

!

( m

)!

m !

α

−−−−

++++

+

=

+

+

+ +

+

+

=

+

+

+ +

+

+

=

+

+

+ +

+

+

=

+

+

+ +

+

−−−−

Twierdzenie (Taylora z reszt Paeano)
Niech

[[[[

]]]]

n

n

A top

, h

, P A, P h A, P ,P h

A

+ ∈

+

+ ∈

+

+ ∈

+

+ ∈

+

. Je eli

f : A

jest klasy

1

m

C

−−−−

w

A oraz istnieje

m

P

d f ,

to

2

1

1

1

1

2

1

( m )

( m )

m

P

P

P

P

f ( P h ) f ( P ) d f ( h )

d f ( h ) ...

d

f ( h )

d

f ( h )

( P ,h )|| h ||

!

( m

)!

m !

ω

−−−−

+

=

+

+

+ +

+

+

+

=

+

+

+ +

+

+

+

=

+

+

+ +

+

+

+

=

+

+

+ +

+

+

−−−−

gdzie

0

0

||h||

( P ,h )

ω

Uwaga (o ekstremach lokalnych)

Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych definiuje si analogicznie jak ekstrema lokalne

funkcji jednej zmiennej, tzn.

n

f : top

A

∋ →

∋ →

∋ →

∋ → ma w punkcie P A

maksimum (minimum) lokalne, gdy

0

0

Q S( P , ) A f ( P ) f ( Q )

δ

δ

∃ >

∀ ∈

>

∃ >

∀ ∈

>

∃ >

∀ ∈

>

∃ >

∀ ∈

>

0

( f ( P ) f ( Q )

)

<

<

<

<

Twierdzenie (WK istnienia ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych)
Je eli

n

f : top

A

∋ →

∋ →

∋ →

∋ →

jest ró niczkowalna w punkcie

P A

i ma w tym punkcie

ekstremum lokalne, to dla ka dego

i = 1,…,n

0

i

f

( P )

x

∂∂∂∂

====

∂∂∂∂

background image

Definicja (formy kwadratowej)
Funkcj

n

g :

→ okre lon wzorem

(((( ))))

1

1 2

n

ij i j

ij

ij

ji

i , j

g h

a h h , a

, a

a , i, j

, ,...,n

====

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

nazywa si

form kwadratow .

Forma kwadratowa

g jest

(i)

dodatnio okre lona, gdy g(h) > 0 dla

0

h ≠≠≠≠

(ii)

ujemnie okre lona, gdy g(h) < 0 dla

0

h ≠≠≠≠

(iii)

nieokre lona, gdy g przyjmuje warto ci dodatnie i ujemne

Uwaga
Je eli

n

f : top

A

∋ →

∋ →

∋ →

∋ →

jest dwukrotnie ró niczkowalna w

P A,

to

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

2

2

1

n

n

P

i j

i , j

i

j

f

g h

d f h

P h h , h

x x

====

∂∂∂∂

=

=

=

=

=

=

=

=

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

jest form kwadratow .

Twierdzenie (WW istnienia ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych)
Niech

n

f : top

A

∋ →

∋ →

∋ →

∋ →

b dzie dwukrotnie ró niczkowalna w

P A

oraz dla ka dego

i = 1,…,n

0

i

f

( P )

x

∂∂∂∂

====

∂∂∂∂

.

(i) Je eli

2

0

0

P

d f ( h )

, h

,

<

<

<

<

to

f ma w punkcie P maksimum lokalne

(ii) Je eli

2

0

0

P

d f ( h )

, h

,

>

>

>

>

to

f ma w punkcie P minimum lokalne

(iii) Je eli

2

P

d f

jest form kwadratow nieokre lon , to

f nie ma w punkcie P ekstremum

lokalnego

Twierdzenie (Sylvestera)

Niech

11

1

1

1 2

k

k

k

kk

a

... a

A

det .... ... .... , k

, ,...,n

a

... a

=

=

=

=

=

=

=

=

(i) Forma

g jest dodatnio okre lona wtedy i tylko wtedy, gdy

1 2

k

, ,...,n

∀ =

∀ =

∀ =

∀ =

0

k

A >>>>

.

(ii) Forma

g jest ujemnie okre lona wtedy i tylko wtedy, gdy

1 2

k

, ,...,n

∀ =

∀ =

∀ =

∀ =

(((( ))))

1

0

k

k

A

>

>

>

>

.

(iii) Forma

g jest nieokre lona, gdy nie zachodzi (i) ani (ii).

background image

Twierdzenie (WW istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji dwóch zmiennych)
Niech

2

f : top

A

∋ →

∋ →

∋ →

∋ →

ma ci głe pochodne cz stkowe drugiego rz du w otoczeniu

punktu

0

0

P ( x , y ).

====

Niech

0

0

0

f ( x , y )

x

∂∂∂∂

====

∂∂∂∂

i

0

0

0

f

( x , y )

y

∂∂∂∂

====

∂∂∂∂

oraz

2

2

0

0

0

0

2

0

0

2

2

0

0

0

0

2

f

f

( x , y )

( x , y )

x

x y

W ( x , y ) : det

f

f

( x , y )

( x , y )

x y

y

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

====

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

(i) Je eli

0

0

0

W ( x , y ) >>>>

i

2

0

0

2

0

f

( x , y )

,

x

∂∂∂∂

<<<<

∂∂∂∂

to

f ma w P maksimum lokalne.

(ii) Je eli

0

0

0

W ( x , y ) >>>>

i

2

0

0

2

0

f ( x , y ) ,

x

∂∂∂∂

>>>>

∂∂∂∂

to

f ma w P minimum lokalne.

(iii) Je eli

0

0

0

W ( x , y )

,

<<<<

to

f nie ma w P ekstremum lokalnego.

(iv) Je eli

0

0

0

W ( x , y )

,

====

to ekstremum badamy z definicji.

Twierdzenie (WW istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji trzech zmiennych)

Niech

3

f : top

A

∋ →

∋ →

∋ →

∋ →

ma ci głe pochodne cz stkowe drugiego rz du w otoczeniu

punktu

0

0 0

,

P ( x , y z ).

====

Niech

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

f

f

f

( x , y ,z )

,

( x , y ,z )

,

( x , y ,z )

x

y

z

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

oraz

2

1

0

0

0

0

0

0

2

f

A ( x , y ,z ) :

( x , y ,z )

x

∂∂∂∂

====

∂∂∂∂

2

2

0

0

0

0

0

0

2

2

0

0

0

2

2

0

0

0

0

0

0

2

f

f

( x , y ,z )

( x , y ,z )

x

x y

A ( x , y ,z ) : det

f

f

( x , y ,z )

( x , y ,z )

x y

y

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

====

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

2

2

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

2

2

2

3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

2

2

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

f

f

f

( x , y ,z )

( x , y ,z )

( x , y ,z )

x

x y

x z

f

f

f

A ( x , y ,z ) : det

( x , y ,z )

( x , y ,z )

( x , y ,z )

x y

y

y z

f

f

f

( x , y ,z )

( x , y ,z )

( x , y ,z )

x z

y z

z

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

====

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

(i) Je eli

0

0

0

0

1 2 3

i

A ( x , y ,z )

,i

, , ,

>

=

>

=

>

=

>

=

to

f ma min lokalne w P.

(ii) Je eli

1

0

0

0

2

0

0

0

3

0

0

0

0

0

0

A ( x , y ,z )

, A ( x , y ,z )

, A ( x , y ,z )

,

<

>

<

<

>

<

<

>

<

<

>

<

to

f ma maksimum

lokalne w

P.

background image


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Matematyka III (Ćw) Lista 06 Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych Zadania
Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
7 Ekstrema lokalne
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych, Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Arkusz nr 4 (Ekstrema lokalne) Nieznany (2)
sciaga18 ekstrema lokalne funkcji dwoch zmiennych, AGH górnictwo i geologia, I SEM, matematyka
jck anal-sc-e, sciaga, ☻W jakich pkt f(x,y,z) ma ekstrema lokalne na zbiorze [g(x,y,z)]
cw7 ns Pochodne monotonicznosc i ekstrema lokalne
sciaga18 ekstrema lokalne funkcji dwoch zmiennych[1], Analiza
Matematyka III (Ćw)-Lista 06-Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych, Odpowiedzi 2
Matematyka III (Ćw) - Lista 06 - Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych, Zadania
7 Ekstrema lokalne (2)
zagadnienia, punkt 9, IX Ekstrema lokalne, warunek konieczny i warunki dostateczne istnienia ekstrem
Matematyka III (Ćw) Lista 06 Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych Odpowiedzi 2
13 Ekstrema lokalne (2)
ekstrema lokalne i monotoniczność funkcji
AM2 6 Ekstrema lokalne funkcji Nieznany (2)

więcej podobnych podstron