Zadanie 1. Obliczy

ć

pochodne nast

ę

puj

ą

cych funkcji:

a)

  3



 7

 2  1

, gdzie





 

b)

 
































 2

gdzie





   0

c)

  √  3√





 15 √



 2

√



 1

, gdzie





 0, ∞

d)

 



√





√








, gdzie





 0, ∞

3

3

3

2

3

3

1

x

x

x

y

+

+

=

7

2

5

2

2

+

−

+

=

x

x

x

y

x

x

y

−

+

=

1

1

ln

1

2

1

10

5

2

7

−

+

+

+

=

x

x

x

x

y

6

6

4

7













+

−

=

t

t

y

1

2

2

2

−

+

=

x

x

y

2

2

2

−

−

=

x

x

y

2

9

1

v

v

y

+

−

=

x

x

y

+

−

=

1

1

)

ln(ln x

y

=













+

+

=

2

1

ln

x

x

y

3

3

3

+

=

x

x

y

y-y

)

3

(

sin

2

3

x

x

y

+

=

x

e

x

y

x

2

2

⋅

=

2

3

sin

x

x

x

y

=

Zadanie 2. Znajd

ź

przedziały monotoniczno

ś

ci i ekstrema lokalne funkcji:

1. f (x ) = x

3

+ 3x

2

- 9x + 3

2. f (x ) = x

3

+5x

3. f (x ) = 2x

3

- 9x

2

- 24x - 12

4. f (x ) = xe

x

5. f (x ) = e

x

- x

6. f (x ) = ln x – x

Odpowiedzi:
1. Dla xÎ(-¥, -3) f(x) ro

ś

nie, dla xÎ(-3, 1) f(x) maleje, dla xÎ(1, ¥) f(x) ro

ś

nie;

maksimum lokalne w punkcie x = -3, f(-3) = 30; minimum lokalne dla x = 1, f(1) = -2.
2. Funkcja jest rosn

ą

ca dla xÎR.

3. Dla xÎ(-¥, -1) f(x) ro

ś

nie, dla xÎ(-1, 4) f(x) maleje, dla xÎ(4, ¥) f(x) ro

ś

nie;

maksimum lokalne w punkcie x = -1, f(-1) = 1, minimum lokalne dla x = 4, f(1) = -124.
4. Dla xÎ(-¥, -1) f(x) maleje, dla xÎ(-1, ¥) f(x) ro

ś

nie; minimum lokalne dla x = -1,

f(-1) = -e-1.
5. Dla xÎ(-¥, 0) f(x) maleje, dla xÎ(0, ¥) f(x) ro

ś

nie; minimum lokalne dla x = 0, f(0) = 1.

6. Dla xÎ(0, 1) f(x) ro

ś

nie, dla xÎ(1,¥) f(x) maleje; maksimum lokalne w punkcie x = 1,

f(1) = -1.

Zadanie 3. Znajd

ź

przedziały monotoniczno

ś

ci i ekstrema lokalne funkcji:

2

1

)

(

x

x

x

f

−

=

,

)

1

ln(

)

(

x

x

x

f

+

−

=

,

2

3

2

3

)

(

,.....

1

)

(

x

x

x

f

x

x

x

x

f

−

=

+

+

=

Zadanie 4. Roczna stopa procentowa wynosi 5%, a kapitał pocz

ą

tkowy 1000 zł. Jaka

b

ę

dzie warto

ść

kapitału po czterech latach, je

ś

li odsetki kapitalizowane s

ą

: a) kwartalnie, b)

miesi

ę

cznie, c) rocznie?

Odp:
a) 12199
b) 12209
c) 12155

Zadanie 5. Interesuje nas warto

ść

, jak

ą

po upływie 18 miesi

ę

cy b

ę

dzie mie

ć

kwota 150 zł,

wpłaconych do banku na lokat

ę

3-miesi

ę

czn

ą

, o stałym oprocentowaniu 14% rocznie, z

kapitalizacj

ą

odsetek co 3 miesi

ą

ce.

Odp. 184,39

Zadanie 6. Jak

ą

kwot

ę

wypłacimy z banku po 5 latach , je

ż

eli ulokujemy w nim

10000 zł?

Oprocentowanie roczne w tym banku wynosi 15% i nast

ę

puje roczna kapitalizacja odsetek.

Zadanie 7. Pan Kowalski potrzebuje 35000 zł na zakup samochodu.

Uzbierał ju

ż

25000 zł , a pozostał

ą

sum

ę

zamierza uskłada

ć

przez ulokowanie pieni

ę

dzy

banku z roczn

ą

kapitalizacj

ą

odsetek , w którym oprocentowanie wynosi 16%.

Jak długo Kowalski b

ę

dzie musiał czeka

ć

, aby uzbiera

ć

brakuj

ą

c

ą

sum

ę

?

Zadanie 8. Pa

ń

stwo Kowalscy zamierzaj

ą

przeprowadzi

ć

remont mieszkania , na który

potrzebuj

ą

15000 zł. Wymienion

ą

kwot

ę

Kowalscy zamierzaj

ą

uzyska

ć

przez ulokowanie w

banku na 5 lat oszcz

ę

dno

ś

ci. Oprocentowanie roczne wynosi w tym banku 14% i nast

ę

puje

roczna kapitalizacja odsetek. Jak

ą

sum

ę

musz

ą

ulokowa

ć

w banku Kowalscy?

Zadanie 9. Przedsi

ę

biorca ma 50000 zł i pragnie t

ę

sum

ę

ulokowa

ć

w banku z roczna

kapitalizacj

ą

odsetek. Przedsi

ę

biorca zamierza uzbiera

ć

sum

ę

90000 zł po 5 latach. Jakie

powinno by

ć

oprocentowanie roczne w tym banku?

Zadanie 10..Bank oferuje oprocentowanie roczne 12% oraz kwartaln

ą

kapitalizacj

ę

odsetek.

Ile wyniesie zdeponowany w tym banku kapitał 10000 zł po:

a) jednym roku ,

b) dwóch latach ,

c) trzech i pół roku?

Zadanie 11. Fundusz powierniczy oferuje oprocentowanie 9% i
odsetek , odsetek bank 11% z roczna kapitalizacj
korzystne?

Zadanie 12. Pan Adam ulokował 5000 zł w banku w którym oprocentowanie wynosi 12% i
nast

ę

puje kwartalna kapitalizacja odsetek. Jak

latach?

Zadanie 13. Obliczy

ć

pochodne cz

funkcji:

y

xy

y

x

y

x

f

9

3

1

)

,

(

3

2

2

−

+

−

=

y

x

y

x

y

x

f

12

6

3

2

)

,

(

3

−

−

+

=

10

6

2

)

,

(

2

2

+

−

−

=

y

x

xy

y

x

f

2

2

4

4

12

4

)

,

(

xy

y

x

y

x

y

x

f

−

−

=

5

2

2

)

,

(

3

2

2

−

−

=

xy

y

x

xy

y

x

f

3

4

5

8

12

)

,

(

xy

y

x

xy

y

x

f

−

−

=

2

2

3

3

2

)

,

(

x

y

y

x

y

x

f

+

+

=

y

xy

y

x

y

x

f

9

3

1

)

,

(

3

2

2

−

+

−

=

9

6

)

,

(

3

3

+

+

−

+

=

x

xy

y

x

y

x

f

Fundusz powierniczy oferuje oprocentowanie 9% i półroczn

ą

kapitalizacj

odsetek , odsetek bank 11% z roczna kapitalizacj

ą

odsetek. Które warunki s

ą

Pan Adam ulokował 5000 zł w banku w którym oprocentowanie wynosi 12% i

puje kwartalna kapitalizacja odsetek. Jak

ą

sum

ę

b

ę

dzie mógł wypłaci

ć

pochodne cz

ą

stkowe pierwszego i drugiego rz

ę

du nast

,

y

9

4

2

3

15

y

x

xy

+

120

+

y

9

2

5

+

+

y

ą

kapitalizacj

ę

odsetek. Które warunki s

ą

bardziej

Pan Adam ulokował 5000 zł w banku w którym oprocentowanie wynosi 12% i

dzie mógł wypłaci

ć

po trzech

ę

du nast

ę

puj

ą

cych