7 Ekstrema lokalne

background image
background image

2

f

ma silne minimum lokalne w

x

0

f

ma silne maksimum lokalne w

x

0

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

0

0

lim

lim

0

lim

lim

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

=

=

=

+

+

x

f

x

x

x

f

x

f

x

x

x

f

x

f

x

x

x

f

x

f

x

x

x

f

x

f

x

f

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

φ

φ

Twierdzenie

( )

(

)

( )

( )

( )

0

0

,

,

0

0

0

2

>

′′

=

x

f

x

f

b

a

x

b

a

C

f

Dowód:

Niech

( )

( ) ( )

0

:

0

0

0

>

′′

>

′′

′′

x

f

x

x

f

C

f

φ

dla

( )

0

x

x

φ

Ze wzroru Taylor’a (

n=2

):

( )

( )

( )(

)

( )(

)

2

0

0

0

0

2

x

x

c

f

x

x

x

f

x

f

x

f

′′

+

+

=

, gdzie

(

)

(

)

0

0

,

,

x

x

c

x

x

c

Zatem

( ) ( )

0

x

f

x

f

>

poniewa :

( )

( )

(

)

0

0

0

2

0

0

>

>

′′

=

x

x

c

f

x

f

,


co dowodzi, e

f

ma w

x

o

silne minimum lokalne.

Twierdzenie

( )

(

)

( )

( )

( )

0

0

,

,

0

0

0

2

<

′′

=

x

f

x

f

b

a

x

b

a

C

f

Dowód:

Niech

( )

( ) ( )

0

:

0

0

0

<

′′

<

′′

′′

x

f

x

x

f

C

f

φ

dla

( )

0

x

x

φ

Ze wzroru Taylor’a (

n=2

):

background image

3

f

ma silne minimum lokalne w

x

0

f

ma silne maksimum lokalne w

x

0

( ) ( )

0

x

f

x

f

>

,

co z kolei wiadczy o istnieniu

silnego minimum lokalnego w

x

0

.

( )

( )

( )(

)

( )(

)

2

0

0

0

0

2

x

x

c

f

x

x

x

f

x

f

x

f

′′

+

+

=

, gdzie

(

)

(

)

0

0

,

,

x

x

c

x

x

c

Zatem

( ) ( )

0

x

f

x

f

<

poniewa :

( )

( )

(

)

0

0

0

2

0

0

>

<

′′

=

x

x

c

f

x

f

,


co dowodzi, e

f

ma w

x

o

silne maksimum lokalne.

Twierdzenie

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

0

0

,

,

0

2

0

1

2

0

0

0

0

2

>

=

=

=

′′′

=

′′

=

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

b

a

x

b

a

C

f

k

k

k

Dowód:

( ) ( )

( )

( )

( ) (

)

( )

( )

(

)

0

0

!

2

2

0

2

2

0

2

0

>

>

+

=

k

k

k

k

x

x

c

f

x

x

k

c

f

x

f

x

f

Analogicznie:

Twierdzenie:

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

0

0

,

,

0

2

0

1

2

0

0

0

0

2

<

=

=

=

′′′

=

′′

=

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

b

a

x

b

a

C

f

k

k

k

background image

4


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ekstrema lokalne
Matematyka III (Ćw) Lista 06 Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych Zadania
Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych, Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Arkusz nr 4 (Ekstrema lokalne) Nieznany (2)
sciaga18 ekstrema lokalne funkcji dwoch zmiennych, AGH górnictwo i geologia, I SEM, matematyka
jck anal-sc-e, sciaga, ☻W jakich pkt f(x,y,z) ma ekstrema lokalne na zbiorze [g(x,y,z)]
cw7 ns Pochodne monotonicznosc i ekstrema lokalne
sciaga18 ekstrema lokalne funkcji dwoch zmiennych[1], Analiza
Matematyka III (Ćw)-Lista 06-Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych, Odpowiedzi 2
Matematyka III (Ćw) - Lista 06 - Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych, Zadania
7 Ekstrema lokalne (2)
zagadnienia, punkt 9, IX Ekstrema lokalne, warunek konieczny i warunki dostateczne istnienia ekstrem
Matematyka III (Ćw) Lista 06 Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych Odpowiedzi 2
13 Ekstrema lokalne (2)
ekstrema lokalne i monotoniczność funkcji
AM2 6 Ekstrema lokalne funkcji Nieznany (2)
ekstrema lokalne

więcej podobnych podstron