1
( )
( )
( )
(
)
0
~
0
0
0
=
′
∧
′
∃
∨
′
∃
x
f
x
f
x
f
EKSTREMA LOKALNE
( ) (
)
0
,
0
0
0
>
∧
+
−
=
δ
δ
δ
φ
x
x
x
φ
- /fi/;
δ
- /delta/
( )
0
x
φ
- otoczenie punktu
x
0
( ) ( ) { }
0
0
0
\
*
x
x
x
φ
φ
=
( )
0
* x
φ
- s siedztwo punktu
x
0
X
x
R
X
f
∈
→
0
:
f
ma w
x
0
maksimum lokalne, je li:
( ) ( ) ( )
x
f
x
f
x
≥
∃
0
0
:
φ
dla
( )
0
x
x
φ
∈
f
ma w
x
0
minimum lokalne, je li:
( ) ( ) ( )
x
f
x
f
x
≤
∃
0
0
:
φ
dla
( )
0
x
x
φ
∈
Ekstremum lokalne to minimum lub maksimum lokalne.
Silne ekstremum
Funkcja
f
ma w
x
0
silne maksimum lokalne, je li:
( ) ( ) ( )
x
f
x
f
x
>
∃
0
0
:
*
φ
dla
( )
0
* x
x
φ
∈
Funkcja
f
ma w
x
0
silne minimum lokalne, je li:
( ) ( ) ( )
x
f
x
f
x
<
∃
0
0
:
*
φ
dla
( )
0
* x
x
φ
∈
Twierdzenie (WK istnienia ekstremum lokalnego)
( )
R
b
a
f
→
,
:
( )
b
a
x
,
0
∈
f
- ma ekstremum lokalne w
x
0
Dowód:
Bez straty ogólno ci mo emy zało y , e
f
ma w
x
0
maksimum lokalne.
( ) ( ) ( )
x
f
x
f
x
≥
∃
0
0
:
φ
dla
( )
0
x
x
φ
∈
2
f
ma silne minimum lokalne w
x
0
f
ma silne maksimum lokalne w
x
0
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
0
0
lim
lim
0
lim
lim
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
′
≥
−
−
=
−
−
∃
≤
−
−
=
−
−
∃
′
∃
∈
→
→
∈
→
→
−
−
+
+
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
φ
φ
Twierdzenie
( )
(
)
( )
( )
( )
0
0
,
,
0
0
0
2
>
′′
=
′
∈
∈
x
f
x
f
b
a
x
b
a
C
f
Dowód:
Niech
( )
( ) ( )
0
:
0
0
0
>
′′
∃
>
′′
∈
′′
x
f
x
x
f
C
f
φ
dla
( )
0
x
x
φ
∈
Ze wzroru Taylor’a (
n=2
):
( )
( )
( )(
)
( )(
)
2
0
0
0
0
2
x
x
c
f
x
x
x
f
x
f
x
f
−
′′
+
−
′
+
=
, gdzie
(
)
(
)
0
0
,
,
x
x
c
x
x
c
∈
∨
∈
Zatem
( ) ( )
0
x
f
x
f
>
poniewa :
( )
( )
(
)
0
0
0
2
0
0
>
−
∧
>
′′
∧
=
′
x
x
c
f
x
f
,
co dowodzi, e
f
ma w
x
o
silne minimum lokalne.
Twierdzenie
( )
(
)
( )
( )
( )
0
0
,
,
0
0
0
2
<
′′
=
′
∈
∈
x
f
x
f
b
a
x
b
a
C
f
Dowód:
Niech
( )
( ) ( )
0
:
0
0
0
<
′′
∃
<
′′
∈
′′
x
f
x
x
f
C
f
φ
dla
( )
0
x
x
φ
∈
Ze wzroru Taylor’a (
n=2
):
3
f
ma silne minimum lokalne w
x
0
f
ma silne maksimum lokalne w
x
0
( ) ( )
0
x
f
x
f
>
,
co z kolei wiadczy o istnieniu
silnego minimum lokalnego w
x
0
.
( )
( )
( )(
)
( )(
)
2
0
0
0
0
2
x
x
c
f
x
x
x
f
x
f
x
f
−
′′
+
−
′
+
=
, gdzie
(
)
(
)
0
0
,
,
x
x
c
x
x
c
∈
∨
∈
Zatem
( ) ( )
0
x
f
x
f
<
poniewa :
( )
( )
(
)
0
0
0
2
0
0
>
−
∧
<
′′
∧
=
′
x
x
c
f
x
f
,
co dowodzi, e
f
ma w
x
o
silne maksimum lokalne.
Twierdzenie
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
0
0
,
,
0
2
0
1
2
0
0
0
0
2
>
=
=
=
′′′
=
′′
=
′
∈
∈
−
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
b
a
x
b
a
C
f
k
k
k
Dowód:
( ) ( )
( )
( )
( ) (
)
( )
( )
(
)
0
0
!
2
2
0
2
2
0
2
0
>
−
∧
>
−
+
=
k
k
k
k
x
x
c
f
x
x
k
c
f
x
f
x
f
Analogicznie:
Twierdzenie:
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
0
0
,
,
0
2
0
1
2
0
0
0
0
2
<
=
=
=
′′′
=
′′
=
′
∈
∈
−
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
b
a
x
b
a
C
f
k
k
k
4
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
ekstrema lokalne
Matematyka III (Ćw) Lista 06 Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych Zadania
Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
7 Ekstrema lokalne
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych, Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Arkusz nr 4 (Ekstrema lokalne) Nieznany (2)
sciaga18 ekstrema lokalne funkcji dwoch zmiennych, AGH górnictwo i geologia, I SEM, matematyka
jck anal-sc-e, sciaga, ☻W jakich pkt f(x,y,z) ma ekstrema lokalne na zbiorze [g(x,y,z)]
cw7 ns Pochodne monotonicznosc i ekstrema lokalne
sciaga18 ekstrema lokalne funkcji dwoch zmiennych[1], Analiza
Matematyka III (Ćw)-Lista 06-Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych, Odpowiedzi 2
Matematyka III (Ćw) - Lista 06 - Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych, Zadania
zagadnienia, punkt 9, IX Ekstrema lokalne, warunek konieczny i warunki dostateczne istnienia ekstrem
Matematyka III (Ćw) Lista 06 Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych Odpowiedzi 2
13 Ekstrema lokalne (2)
ekstrema lokalne i monotoniczność funkcji
AM2 6 Ekstrema lokalne funkcji Nieznany (2)
ekstrema lokalne
więcej podobnych podstron