Ć w i c z e n i e 21

BADANIE DRGAŃ RELAKSACYJNYCH

21.1 Wstęp teoretyczny

Drganiami relaksacyjnymi nazywamy drgania elektryczne, w których wzrosty i spadki napięcia
zachodzą w sposób wykładniczy. Nie są to zatem drgania harmoniczne. Zazwyczaj do ich wytwa-
rzania wykorzystuje się proces ładowania i rozładowania kondensatora przez rezystor.

Rys. 21.1 Obwód RC

Rozpatrzymy te procesy posługując się obwodem RC przedstawionym na Rys. 21.1. Po przełącze-
niu klucza K w pozycję a nastąpi ładowanie kondensatora C przez rezystor R. Obliczmy jak zmie-
nia się w czasie ładunek Q zgromadzony na kondensatorze i natężenie prądu I płynącego przez ob-
wód. Skorzystajmy z drugiego prawa Kirchhoffa dla rozpatrywanego oczka.

0

=

−

−

C

R

U

U

E

stąd:

0

=

−

−

C

Q

IR

E

(21.1)

Uwzględniając, że

dt

dQ

I

=

uzyskamy równanie różniczkowe:

C

Q

dt

dQ

R

E

+

=

(21.2)

Naszym zadaniem jest znalezienie funkcji Q(t) spełniającej równanie 21.2
Równanie można rozwiązać metodą rozdzielenia zmiennych: czasu t i ładunku Q.

dQ

E

C

Q

R

dt

−

=

−

(21.3)

po scałkowaniu uzyskujemy:

E

U

R

U

C

K

1

ln

B

E

C

Q

RC

t

+











 −

=

−

lub:













+







−

=

E

RC

t

B

C

Q

exp

2

(21.4)

gdzie B

1

oraz B

2

są stałymi całkowania, przy czym

(

)

1

2

exp B

B

−

=

.

Aby określić stałą całkowania należy wykorzystać warunki początkowe ładowania kondensatora.
Ładunek na kondensatorze w chwili początkowej jest zerowy ( Q(t=0) = 0).

Zatem:



















−

−

=

RC

t

CE

Q

exp

1

(21.5)

Natężenie prądu płynącego w obwodzie wynosi:







−

=

=

RC

t

R

E

dt

dQ

I

exp

(21.6)

Zaś napięcie na ładowanym kondensatorze:



















−

−

=

=

RC

t

E

C

Q

U

exp

1

(21.7)

Wielkość RC w równaniach (21.5), (21.6), (21.7) ma wymiar czasu (ponieważ wykładnik musi być
bezwymiarowy) i nazywa się stałą czasową obwodu. Jest ona równa czasowi w jakim ładunek na
kondensatorze powiększa się o czynnik ( 1- exp[-1] ) tj około 63% jego wartości w stanie równo-
wagi. Prąd płynący w obwodzie RC spada w tym czasie do wartości 1/e swej wartości początkowej.
Po naładowaniu kondensatora przełączmy klucz K w pozycję b ( Rys. 21.1). Teraz będzie zacho-
dzić rozładowanie kondensatora przez rezystancję R. W obwodzie nie ma siły elektromotorycznej
(E=0) i równanie ( 21.2) dla obwodu przyjmuje postać:

0

=

+

C

Q

dt

dQ

R

(21.8)

Zapisując je w formie:

RC

dt

Q

dQ

−

=

i całkując obustronnie uzyskuje się:

3

ln

B

RC

t

Q

+

−

=

skąd







−

=

RC

t

B

Q

exp

4

(21.9)

gdzie: B

3,

B

4

– stałe całkowania, przy czym:

]

exp[

3

4

B

B

=

.

Stałą całkowania znajdujemy z warunków początkowych rozładowania kondensatora, tzn. dla t=0
ładunek Q=CE. Stąd

CE

B

=

4

i







−

=

RC

t

CE

Q

exp

(21.10)

oraz







−

−

=

=

RC

t

R

E

dt

dQ

I

exp

(21.11)

co daje końcowo napięcie na rozładowywanym kondensatorze:







−

=

=

RC

t

E

C

Q

U

exp

(21.12)

W czasie t=RC ładunek na kondensatorze zmniejsza się do wartości 1/e (czyli około 37%) ładunku
początkowego. Minus w równaniu (21.11) wskazuje, ze teraz prąd w obwodzie RC płynie w kie-
runku przeciwnym niż przy ładowaniu kondensatora ( porównaj z równaniem (21.6)).
Cyklicznie przełączając klucz K w omówionym obwodzie RC (Rys. 21.1) możemy w nim otrzymać
drgania polegające na przemiennym ładowaniu i rozładowaniu kondensatora C.
Funkcję klucza K może spełniać lampa neonowa zwana również neonówką. Jest to bańka szklana
wypełniona gazem, najczęściej neonem pod ciśnieniem około 3 hPa. Ma dwie elektrody metalowe
pokryte warstwą metalu (np. baru) łatwo emitującego elektrony. Jeżeli do elektrod przyłożymy
niewielkie napięcie, to mimo obecności pewnej ilości jonów neonu wytworzonych przez promie-
niowanie otoczenia prąd nie popłynie ze względu na złe przewodnictwo gazu. Jony te mogą spowo-
dować wyzwalanie elektronów z katody, które następnie poruszają się w kierunku anody wywołu-
jąc jonizację narastającą lawinowo. Po przekroczeniu wartości napięcia zapłonu U

Z

potrzebnej do

spowodowania jonizacji lawinowej, przez lampę popłynie prąd o natężeniu ograniczonym tylko
rezystancją zewnętrzną, gdyż rezystancja wewnętrzna neonówki w czasie jarzenia jest bardzo mała.
Gdy napięcie na elektrodach spadnie poniżej napięcia gaszenia U

G

, to jonizacja lawinowa nie roz-

wija się i lampa znowu staje się doskonałym izolatorem. Przepływowi prądu przez neonówkę towa-
rzyszy świecenie. Ze względu na małą odległość elektrod nie występuje cały obraz wyładowania,
lecz tylko warstwa katodowa świecąca na powierzchni. Na Rys. 21.2 przedstawiono charakterysty-
kę prądowo-napięciową neonówki.

Rys. 21.2. Charakterystyka prądowo-napięciowa neonówki.

Drgania otrzymane w takim obwodzie ( najprostszy z możliwych przedstawiono na Rys. 21.3) na-
zywamy relaksacyjnymi. Kondensator C ładuje się ze źródła prądu stałego przez rezystor R o dużej
rezystancji. Napięcie na jego okładkach narasta w sposób wykładniczy według równania (21.7).
Jeżeli osiągnie ono wartość U

Z

, to połączona równolegle do okładek kondensatora neonówka N

zapala się i płynie przez nią prąd rozładowania kondensatora. Napięcie U maleje według równania

I

U

U

G

U

Z

(21.12). Rozładowanie kończy się z chwilą, gdy napięcie spada do wartości U

G

, po czym ponownie

wzrasta. Proces ten powtarza się cyklicznie i otrzymujemy drgania pokazane na Rys. 21.4.

Rys. 21.3. Najprostszy obwód do badania drgań relaksacyjnych: I – obwód ładowania kon-

densatora, II obwód rozładowania kondensatora.

Rys. 21.4. Wykres drgań relaksacyjnych.

Czas t

1

narastania napięcia na kondensatorze od wartości U

G

do wartości U

Z

jest znacznie dłuższy

od czasu t

2

jego opadania od wartości U

Z

do U

G

, ponieważ stała czasowa obwodu I jest znacznie

większa od stałej czasowej obwodu II. Decyduje o tym wartość rezystancji R, która jest znacznie
większa od rezystancji wewnętrznej neonówki. Korzystając z zależności (21.7) i (21.12) można
wyznaczyć czasy t

1

i t

2

:

Z

G

U

E

U

E

RC

t

−

−

=

ln

1

(21.13)

G

Z

N

U

U

C

R

t

ln

2

=

(21.14)

gdzie R

N

jest rezystancją neonówki.

Okres drgań relaksacyjnych T=t

1

+ t

2

. Z powodu t

1

>>t

2

. można przyjąć, że T=t

1

a więc:

R

E

C

N

II

I

U

U

Z

U

G

t

1

t

2

t

Z

G

U

E

U

E

RC

T

−

−

=

ln

(21.15)

21.2 Opis układu pomiarowego

Układ pomiarowy składa się z dwóch podstawowych części: generatora drgań relaksacyjnych (któ-
rego schemat omówiono poprzednio) i przyrządu umożliwiającego pomiar okresu lub częstotliwo-
ści drgań. Schemat montażowy generatora umożliwia zamianę rezystora R i pojemności C. Zmiany
tej dokonujemy przez różne ustawienia przełączników P

1

, P

2

, P

3

. Przełącznik P

1

umożliwia włącza-

nie kolejnych rezystorów o znanych wartościach rezystancji. Przełącznik P

2

dokonuje wyboru jed-

nego z kilku kondensatorów o różnych, ale znanych wartościach pojemności. Z kolei P

3

w położe-

niu (1) podłącza kondensatory o znanych pojemnościach, zaś w położeniu (2) – kondensator o nie-

znanej pojemności C

x

. Okres lub częstotliwość drgań (

ν

1

=

T

) można mierzyć stosując na przykład:

- przelicznik elektronowy, który umożliwia wyznaczenie czasu potrzebnego na generację zadanej
liczby okresów drgań relaksacyjnych ( zwykle 1000);
- oscyloskop i generator drgań akustycznych; w tym przypadku do płytek odchylenia poziomego
(pionowego) przykładamy zmiany napięcia na kondensatorze generatora drgań relaksacyjnych, zaś
do płytek odchylania pionowego ( poziomego) – napięcie generatora drgań akustycznych i poprzez
dostrojenie częstotliwości drgań akustycznych poszukujemy jednej z figur podobnych do figur Lis-
sajous’a powstających przy prostopadłym składaniu dwu drgań harmonicznych, co z kolei pozwoli
na ustalenie częstotliwości;
- oscyloskop: włączamy jego podstawę czasu, a do płytek odchylania pionowego przykładamy
zmiany napięcia na kondensatorze generatora drgań relaksacyjnych; w celu otrzymania stabilnego
obrazu konieczna jest synchronizacja, czyli dostosowanie częstotliwości podstawy czasu do często-
tliwości badanego przebiegu.
Pierwszy z wymienionych sposobów jest najwygodniejszy i najdokładniejszy. W tym przypadku
napięcie E=+250 V jest podawane bezpośrednio z przelicznika. Szeregowo z neonówką włączone
jest uzwojenie pierwotne transformatora Tr o małej liczbie zwojów i o bardzo małej rezystancji w
porównaniu z R ( rezystancja ta nie wpływa, zatem w sposób zauważalny na czas rozładowania
kondensatora). Impulsy w wtórnego jego uzwojenia o większej amplitudzie podawane są na wejście
przelicznika.

21.3. Przebieg pomiarów

1. Zaznajomić się z układem elektrycznym do badania drgań relaksacyjnych i przeznaczeniem po-
szczególnych elementów układu.
2. Włączyć napięcie zasilające E generatora drgań relaksacyjnych.
3. Uzyskać od wykładowcy pozwolenie na rozpoczęcie pomiarów.
4. Włączyć poszczególne przyrządy (przelicznik, generator drgań akustycznych, oscyloskop) do
sieci.
5. Przełączyć przełącznik P

1

na jeden z rezystorów, przełącznik P

3

– w położenie (1), zaś przełącz-

nikiem P

2

wybrać pojemność C

1

.

6. Zmierzyć pięciokrotnie częstotliwość drgań generatora drgań relaksacyjnych. Obliczone okresy
T wpisać do tabeli 21.1.

7. Czynności według punktów 5 i 6 powtórzyć dla pozostałych pojemności.
8. Czynności według punktów 5, 6 i 7 powtórzyć dla drugiej wybranej rezystancji.
9. Przełącznikiem P

3

włączyć nieznaną pojemność C

x

i powtórzyć pomiary częstotliwości drgań

przy obu wartościach rezystancji R

i

. Wyniki pomiarów wpisać do tabeli 21.1.

Tabela 21.1

Rezystancja Pojemność T

1

[s]

T

2

[s]

T

3

[s] T

4

[s]

T

5

[s]

T

śr

[s]

R

1

= C

1

=

C

2

=

C

3

=

C

4

=

C

5

=

C

6

=

C

x

=

R

2

=

C

1

=

C

2

=

C

3

=

C

4

=

C

5

=

C

6

=

C

x

=

Tabela 21.2

R

i

[

Ω]

a

b

C

x

[F]

a

σ

b

σ

x

T

σ

x

C

σ

[F]

21.4. Opracowanie wyników pomiarów.

1. Obliczyć wartości średnie wyników pomiarów okresu drgań relaksacyjnych dla danej pary R,C.
2. Sporządzić wykresy zależności okresu drgań relaksacyjnych T

śr

od pojemności kondensatora dla

obu rezystancji.
3. Aproksymować wyniki pomiarów linią prostą stosując metodę najmniejszych kwadratów. Proste
aproksymujące zaznaczyć na wykresach wykonanych w punkcie 2.
4. Wykorzystując obliczone współczynniki prostych aproksymujących obliczyć wartości niezna-
nych pojemności.

5. Obliczyć średnie błędy kwadratowe wyznaczonych pojemności.(patrz wzór (W.2.10) we wstę-
pie)
6. Wyniki obliczeń wpisać do tabel.

L i t e r a t u r a

[1] D. Holliday, R. Resnick; Fizyka Cz. II, PWN, Warszawa 1984.
[2] J. Massalski, M. Massalska: Fizyka dla inżynierów, Cz.I, WNT, Warszawa 1973.