Ć w i c z e n i e 21
BADANIE DRGAŃ RELAKSACYJNYCH
21.1 Wstęp teoretyczny
Drganiami relaksacyjnymi nazywamy drgania elektryczne, w których wzrosty i spadki napięcia
zachodzą w sposób wykładniczy. Nie są to zatem drgania harmoniczne. Zazwyczaj do ich wytwa-
rzania wykorzystuje się proces ładowania i rozładowania kondensatora przez rezystor.
Rys. 21.1 Obwód RC
Rozpatrzymy te procesy posługując się obwodem RC przedstawionym na Rys. 21.1. Po przełącze-
niu klucza K w pozycję a nastąpi ładowanie kondensatora C przez rezystor R. Obliczmy jak zmie-
nia się w czasie ładunek Q zgromadzony na kondensatorze i natężenie prądu I płynącego przez ob-
wód. Skorzystajmy z drugiego prawa Kirchhoffa dla rozpatrywanego oczka.
0
=
−
−
C
R
U
U
E
stąd:
0
=
−
−
C
Q
IR
E
(21.1)
Uwzględniając, że
dt
dQ
I
=
uzyskamy równanie różniczkowe:
C
Q
dt
dQ
R
E
+
=
(21.2)
Naszym zadaniem jest znalezienie funkcji Q(t) spełniającej równanie 21.2
Równanie można rozwiązać metodą rozdzielenia zmiennych: czasu t i ładunku Q.
dQ
E
C
Q
R
dt
−
=
−
(21.3)
po scałkowaniu uzyskujemy:
E
U
R
U
C
K
1
ln
B
E
C
Q
RC
t
+
−
=
−
lub:
+
−
=
E
RC
t
B
C
Q
exp
2
(21.4)
gdzie B
1
oraz B
2
są stałymi całkowania, przy czym
(
)
1
2
exp B
B
−
=
.
Aby określić stałą całkowania należy wykorzystać warunki początkowe ładowania kondensatora.
Ładunek na kondensatorze w chwili początkowej jest zerowy ( Q(t=0) = 0).
Zatem:
−
−
=
RC
t
CE
Q
exp
1
(21.5)
Natężenie prądu płynącego w obwodzie wynosi:
−
=
=
RC
t
R
E
dt
dQ
I
exp
(21.6)
Zaś napięcie na ładowanym kondensatorze:
−
−
=
=
RC
t
E
C
Q
U
exp
1
(21.7)
Wielkość RC w równaniach (21.5), (21.6), (21.7) ma wymiar czasu (ponieważ wykładnik musi być
bezwymiarowy) i nazywa się stałą czasową obwodu. Jest ona równa czasowi w jakim ładunek na
kondensatorze powiększa się o czynnik ( 1- exp[-1] ) tj około 63% jego wartości w stanie równo-
wagi. Prąd płynący w obwodzie RC spada w tym czasie do wartości 1/e swej wartości początkowej.
Po naładowaniu kondensatora przełączmy klucz K w pozycję b ( Rys. 21.1). Teraz będzie zacho-
dzić rozładowanie kondensatora przez rezystancję R. W obwodzie nie ma siły elektromotorycznej
(E=0) i równanie ( 21.2) dla obwodu przyjmuje postać:
0
=
+
C
Q
dt
dQ
R
(21.8)
Zapisując je w formie:
RC
dt
Q
dQ
−
=
i całkując obustronnie uzyskuje się:
3
ln
B
RC
t
Q
+
−
=
skąd
−
=
RC
t
B
Q
exp
4
(21.9)
gdzie: B
3,
B
4
– stałe całkowania, przy czym:
]
exp[
3
4
B
B
=
.
Stałą całkowania znajdujemy z warunków początkowych rozładowania kondensatora, tzn. dla t=0
ładunek Q=CE. Stąd
CE
B
=
4
i
−
=
RC
t
CE
Q
exp
(21.10)
oraz
−
−
=
=
RC
t
R
E
dt
dQ
I
exp
(21.11)
co daje końcowo napięcie na rozładowywanym kondensatorze:
−
=
=
RC
t
E
C
Q
U
exp
(21.12)
W czasie t=RC ładunek na kondensatorze zmniejsza się do wartości 1/e (czyli około 37%) ładunku
początkowego. Minus w równaniu (21.11) wskazuje, ze teraz prąd w obwodzie RC płynie w kie-
runku przeciwnym niż przy ładowaniu kondensatora ( porównaj z równaniem (21.6)).
Cyklicznie przełączając klucz K w omówionym obwodzie RC (Rys. 21.1) możemy w nim otrzymać
drgania polegające na przemiennym ładowaniu i rozładowaniu kondensatora C.
Funkcję klucza K może spełniać lampa neonowa zwana również neonówką. Jest to bańka szklana
wypełniona gazem, najczęściej neonem pod ciśnieniem około 3 hPa. Ma dwie elektrody metalowe
pokryte warstwą metalu (np. baru) łatwo emitującego elektrony. Jeżeli do elektrod przyłożymy
niewielkie napięcie, to mimo obecności pewnej ilości jonów neonu wytworzonych przez promie-
niowanie otoczenia prąd nie popłynie ze względu na złe przewodnictwo gazu. Jony te mogą spowo-
dować wyzwalanie elektronów z katody, które następnie poruszają się w kierunku anody wywołu-
jąc jonizację narastającą lawinowo. Po przekroczeniu wartości napięcia zapłonu U
Z
potrzebnej do
spowodowania jonizacji lawinowej, przez lampę popłynie prąd o natężeniu ograniczonym tylko
rezystancją zewnętrzną, gdyż rezystancja wewnętrzna neonówki w czasie jarzenia jest bardzo mała.
Gdy napięcie na elektrodach spadnie poniżej napięcia gaszenia U
G
, to jonizacja lawinowa nie roz-
wija się i lampa znowu staje się doskonałym izolatorem. Przepływowi prądu przez neonówkę towa-
rzyszy świecenie. Ze względu na małą odległość elektrod nie występuje cały obraz wyładowania,
lecz tylko warstwa katodowa świecąca na powierzchni. Na Rys. 21.2 przedstawiono charakterysty-
kę prądowo-napięciową neonówki.
Rys. 21.2. Charakterystyka prądowo-napięciowa neonówki.
Drgania otrzymane w takim obwodzie ( najprostszy z możliwych przedstawiono na Rys. 21.3) na-
zywamy relaksacyjnymi. Kondensator C ładuje się ze źródła prądu stałego przez rezystor R o dużej
rezystancji. Napięcie na jego okładkach narasta w sposób wykładniczy według równania (21.7).
Jeżeli osiągnie ono wartość U
Z
, to połączona równolegle do okładek kondensatora neonówka N
zapala się i płynie przez nią prąd rozładowania kondensatora. Napięcie U maleje według równania
I
U
U
G
U
Z
(21.12). Rozładowanie kończy się z chwilą, gdy napięcie spada do wartości U
G
, po czym ponownie
wzrasta. Proces ten powtarza się cyklicznie i otrzymujemy drgania pokazane na Rys. 21.4.
Rys. 21.3. Najprostszy obwód do badania drgań relaksacyjnych: I – obwód ładowania kon-
densatora, II obwód rozładowania kondensatora.
Rys. 21.4. Wykres drgań relaksacyjnych.
Czas t
1
narastania napięcia na kondensatorze od wartości U
G
do wartości U
Z
jest znacznie dłuższy
od czasu t
2
jego opadania od wartości U
Z
do U
G
, ponieważ stała czasowa obwodu I jest znacznie
większa od stałej czasowej obwodu II. Decyduje o tym wartość rezystancji R, która jest znacznie
większa od rezystancji wewnętrznej neonówki. Korzystając z zależności (21.7) i (21.12) można
wyznaczyć czasy t
1
i t
2
:
Z
G
U
E
U
E
RC
t
−
−
=
ln
1
(21.13)
G
Z
N
U
U
C
R
t
ln
2
=
(21.14)
gdzie R
N
jest rezystancją neonówki.
Okres drgań relaksacyjnych T=t
1
+ t
2
. Z powodu t
1
>>t
2
. można przyjąć, że T=t
1
a więc:
R
E
C
N
II
I
U
U
Z
U
G
t
1
t
2
t
Z
G
U
E
U
E
RC
T
−
−
=
ln
(21.15)
21.2 Opis układu pomiarowego
Układ pomiarowy składa się z dwóch podstawowych części: generatora drgań relaksacyjnych (któ-
rego schemat omówiono poprzednio) i przyrządu umożliwiającego pomiar okresu lub częstotliwo-
ści drgań. Schemat montażowy generatora umożliwia zamianę rezystora R i pojemności C. Zmiany
tej dokonujemy przez różne ustawienia przełączników P
1
, P
2
, P
3
. Przełącznik P
1
umożliwia włącza-
nie kolejnych rezystorów o znanych wartościach rezystancji. Przełącznik P
2
dokonuje wyboru jed-
nego z kilku kondensatorów o różnych, ale znanych wartościach pojemności. Z kolei P
3
w położe-
niu (1) podłącza kondensatory o znanych pojemnościach, zaś w położeniu (2) – kondensator o nie-
znanej pojemności C
x
. Okres lub częstotliwość drgań (
ν
1
=
T
) można mierzyć stosując na przykład:
- przelicznik elektronowy, który umożliwia wyznaczenie czasu potrzebnego na generację zadanej
liczby okresów drgań relaksacyjnych ( zwykle 1000);
- oscyloskop i generator drgań akustycznych; w tym przypadku do płytek odchylenia poziomego
(pionowego) przykładamy zmiany napięcia na kondensatorze generatora drgań relaksacyjnych, zaś
do płytek odchylania pionowego ( poziomego) – napięcie generatora drgań akustycznych i poprzez
dostrojenie częstotliwości drgań akustycznych poszukujemy jednej z figur podobnych do figur Lis-
sajous’a powstających przy prostopadłym składaniu dwu drgań harmonicznych, co z kolei pozwoli
na ustalenie częstotliwości;
- oscyloskop: włączamy jego podstawę czasu, a do płytek odchylania pionowego przykładamy
zmiany napięcia na kondensatorze generatora drgań relaksacyjnych; w celu otrzymania stabilnego
obrazu konieczna jest synchronizacja, czyli dostosowanie częstotliwości podstawy czasu do często-
tliwości badanego przebiegu.
Pierwszy z wymienionych sposobów jest najwygodniejszy i najdokładniejszy. W tym przypadku
napięcie E=+250 V jest podawane bezpośrednio z przelicznika. Szeregowo z neonówką włączone
jest uzwojenie pierwotne transformatora Tr o małej liczbie zwojów i o bardzo małej rezystancji w
porównaniu z R ( rezystancja ta nie wpływa, zatem w sposób zauważalny na czas rozładowania
kondensatora). Impulsy w wtórnego jego uzwojenia o większej amplitudzie podawane są na wejście
przelicznika.
21.3. Przebieg pomiarów
1. Zaznajomić się z układem elektrycznym do badania drgań relaksacyjnych i przeznaczeniem po-
szczególnych elementów układu.
2. Włączyć napięcie zasilające E generatora drgań relaksacyjnych.
3. Uzyskać od wykładowcy pozwolenie na rozpoczęcie pomiarów.
4. Włączyć poszczególne przyrządy (przelicznik, generator drgań akustycznych, oscyloskop) do
sieci.
5. Przełączyć przełącznik P
1
na jeden z rezystorów, przełącznik P
3
– w położenie (1), zaś przełącz-
nikiem P
2
wybrać pojemność C
1
.
6. Zmierzyć pięciokrotnie częstotliwość drgań generatora drgań relaksacyjnych. Obliczone okresy
T wpisać do tabeli 21.1.
7. Czynności według punktów 5 i 6 powtórzyć dla pozostałych pojemności.
8. Czynności według punktów 5, 6 i 7 powtórzyć dla drugiej wybranej rezystancji.
9. Przełącznikiem P
3
włączyć nieznaną pojemność C
x
i powtórzyć pomiary częstotliwości drgań
przy obu wartościach rezystancji R
i
. Wyniki pomiarów wpisać do tabeli 21.1.
Tabela 21.1
Rezystancja Pojemność T
1
[s]
T
2
[s]
T
3
[s] T
4
[s]
T
5
[s]
T
śr
[s]
R
1
= C
1
=
C
2
=
C
3
=
C
4
=
C
5
=
C
6
=
C
x
=
R
2
=
C
1
=
C
2
=
C
3
=
C
4
=
C
5
=
C
6
=
C
x
=
Tabela 21.2
R
i
[
Ω]
a
b
C
x
[F]
a
σ
b
σ
x
T
σ
x
C
σ
[F]
21.4. Opracowanie wyników pomiarów.
1. Obliczyć wartości średnie wyników pomiarów okresu drgań relaksacyjnych dla danej pary R,C.
2. Sporządzić wykresy zależności okresu drgań relaksacyjnych T
śr
od pojemności kondensatora dla
obu rezystancji.
3. Aproksymować wyniki pomiarów linią prostą stosując metodę najmniejszych kwadratów. Proste
aproksymujące zaznaczyć na wykresach wykonanych w punkcie 2.
4. Wykorzystując obliczone współczynniki prostych aproksymujących obliczyć wartości niezna-
nych pojemności.
5. Obliczyć średnie błędy kwadratowe wyznaczonych pojemności.(patrz wzór (W.2.10) we wstę-
pie)
6. Wyniki obliczeń wpisać do tabel.
L i t e r a t u r a
[1] D. Holliday, R. Resnick; Fizyka Cz. II, PWN, Warszawa 1984.
[2] J. Massalski, M. Massalska: Fizyka dla inżynierów, Cz.I, WNT, Warszawa 1973.