1

2. Energia jako wielkość bazowa do opisu elektromechanicznego

przetwarzania energii

Zjawiska elektryczne i mechaniczne mają zupełnie inną naturę fizyczną i aby je rozpatrywać

łącznie wykorzystuje się energię, która jest wielkością fizyczną wspólną dla tych zjawisk. Zbiór
elementów elektrycznych i mechanicznych nazywa się układem elektromechanicznym. Elektrycznymi
elementami są: cewka, kondensator, rezystor oraz źródło napięcia. Elementy mechaniczne związane są
z rodzajem ruchu. Dla ruchu liniowego rozróżniamy elementy: masę, sprężynę, elementy tłumiące
oraz źródło siły, dla ruchu obrotowego odpowiadają im: masa wirująca, sprężysty element obrotowy
oraz źródło momentu obrotowego. W tego typu układach może dochodzić do zmiany charakteru
energii – energia elektryczna może zostać zamieniona (przetworzona) na energię mechaniczną lub
odwrotnie. Proces taki nazywamy elektromechaniczną przemianą energii.

Do opisu zjawisk elektrycznych i mechanicznych towarzyszących przemianom energii

wykorzystuje się ujednolicony opis elementów układu elektromechanicznego – zarówno
mechanicznych jak i elektrycznych. Opis taki wynika z przyporządkowania jednakowych formuł
matematycznych typom elementów układu elektromechanicznego, niezależnie od ich fizycznej natury.
Najważniejszą rolę w procesie przemiany energii odgrywają tzw. elementy konserwatywne, które, w
wyidealizowanej postaci, mają zdolność gromadzenia energii i zwracania jej do układu
elektromechanicznego bez start. Wyróżnia się dwa typy takich elementów: elementy typu
kinetycznego, które mają zdolność magazynowania energii kinetycznej, w jej mechanicznej postaci,
oraz elementy typu potencjalnego, które mogą magazynować energię potencjalną w rozumieniu
mechaniki. Każda z tych dwóch grup elementów jest opisywana jednakowymi formułami
matematycznymi, wiążącymi całkowicie różne wielkości fizyczne.

Do grupy elementów typu kinetycznego należą: cewka (element ‘L’), masa skupiona (element

‘M’), oraz masa wirująca (element ‘J’). Są one opisywane – w najprostszym przypadku – przez
powszechnie znane związki:

t

i

u

d

d

L

=

t

v

f

d

d

M

=

t

m

d

d

J

ω

=

w których przez

m

f

u

,

,

oznaczono – odpowiednio – napięcie, siłę oraz moment skrętny, a przez

ω

,

, v

i

prąd, prędkość liniową oraz prędkość kątową. Związki te są dla wszystkich tych trzech

elementów identyczne z matematycznego punktu widzenia, co pozwala uznać je za elementy jednego
typu. Związki te obowiązują w przypadkach, gdy parametry L, M oraz J mają wartości stałe i
jednoznacznie wyznaczają inne bardzo ważne wielkości fizyczne takie jak:
-

strumień skojarzony cewki

i

L

=

ψ

-

pęd w ruchu liniowym

v

p

M

=

-

kręt w ruchu obrotowym

ω

=

J

k

Elementy takie są nazywane liniowymi, gdyż strumień skojarzony, pęd czy kręt zależą liniowo od –
odpowiednio – prądu, prędkości liniowej czy prędkości obrotowej. W ogólniejszym przypadku
obowiązują związki

t

u

d

d

ψ

=

t

p

f

d

d

=

t

k

m

d

d

=

Muszą być one uzupełnione zależnościami

)

(i

ψ

=

ψ

,

)

(v

p

p

=

oraz

)

(

ω

=

k

k

, które są one nazywane

charakterystykami elementów.
Dla opisu elektromechanicznych przemian energii stan takich elementów jest określany za pomocą
zgromadzonej w nich energii. W celu przedstawienia idei takiego opisu wystarczy go prześledzić dla

2

jednego elementu np. cewki, czyli elementu ‘L’. Chwilową wartość mocy tego elementu określa
elementarny związek

i

u

P

=

a energia zgromadzona w tym elemencie wynosi

ψ

=

ψ

=

=

∫

∫

∫

ψ

d

d

d

d

d

k

o

t

o

t

o

i

t

i

t

t

i

u

E

(2.1)

W celu obliczenia energii cewki należy, zatem znać zależność

)

(

ψ

=

i

i

, czyli wiedzieć jak zmienia się

prąd cewki na skutek zmian strumienia skojarzonego. W przypadku cewki o charakterystyce liniowej

i

L

=

ψ

otrzymuje się

L

2

1

d

L

d

2

k

ψ

=

ψ

ψ

=

ψ

=

∫

∫

ψ

ψ

o

o

i

E

(2.1a)

Na Rys.2.1A przedstawiono graficzną interpretację tych zależności dla cewki o liniowej
charakterystyce, a na Rys. 2.1B dla cewki o charakterystyce nieliniowej (B)

i

ψ

)

,

(

i

ψ

i

ψ

)

,

(

i

ψ

o

E

o

E

E

E

A

B

Rys. 2.1. Charakterystyka elementu ‘L’ oraz interpretacja graficzna jego energii i koenergii

Na tych rysunkach pole nad krzywą reprezentuje energię zgromadzoną w cewce. Pole to reprezentuje
jednoznacznie stan cewki, jeżeli charakterystyka cewki jest jednoznaczna. Zatem wartość energii

k

E

jednoznacznie określa stan cewki na równi z parą

)

,

(

i

ψ

. Z tego rysunku wynika, że stan cewki można

również jednoznacznie określić podając wartość

ko

E

, czyli określając pole pod krzywą stanowiącą

charakterystykę cewki. Wartość

ko

E nosi nazwę koenergii, którą oblicza się ze wzoru

i

E

i

o

d

ko

∫

ψ

=

(2.2)

Dla cewki o charakterystyce liniowej

i

L

=

ψ

koenergia jest określona wzorem

2

ko

L

2

1

d

L

d

i

i

i

i

E

i

o

i

o

=

=

ψ

=

∫

∫

(2.2b)

3

oraz jest spełniony związek

ko

k

E

E

=

. Należy zauważyć, że energia cewki jest funkcją strumienia

skojarzonego, natomiast jej koenergia jest funkcją prądu.

Analogicznie można zapisać wyrażenia określające energię i koenergię masy w ruchu liniowym

p

v

E

p

o

d

k

∫

=

v

p

E

v

o

d

ko

∫

=

(2.3)

oraz w ruchu obrotowym

k

E

k

o

d

k

∫

ω

=

ω

ω

d

ko

∫

=

o

k

E

(2.4)

Dla elementów o liniowych charakterystykach otrzymuje się zależności:
- dla ruchu liniowego

M

2

1

2

k

p

E

=

2

ko

M

2

1

v

E

=

(2.3a)

- dla ruchu obrotowego

J

2

1

2

k

k

E

=

2

ko

J

2

1

ω

=

E

(2.4a)

Grupę elementów typu potencjalnego stanowią: kondensator (element ‘C’), element sprężysty

liniowy (element ‘K’) oraz element sprężysty skrętny (element ‘

ϕ

K

’). Jeżeli ich charakterystyki są

liniowe to elementy te są opisywane przez związki

C

q

u

=

x

f

K

=

ϕ

=

ϕ

K

m

w których przez

m

f

u

,

,

oznaczono (tak jak poprzednio) napięcie, siłę oraz moment skrętny, a przez

ϕ

,

,

x

q

ładunek kondensatora, przesunięcie liniowe oraz kąt obrotu. W związkach tych nie występują

pochodne, więc mają one charakter zależności algebraicznych. Jest to zasadnicza różnica w stosunku
do opisu elementów kinetycznych. W ogólniejszym przypadku związki te mogą być wyrażone
nieliniowymi zależnościami wiążącymi napięcie, siłę lub moment skrętny z ładunkiem, przesunięciem
liniowym czy kątem obrotu

)

(

q

u

u

=

,

)

(

x

f

f

=

oraz

)

(

ϕ

=

m

m

, które stanowią charakterystyki tych

elementów.

Opis energii i koenergii elementów potencjalnych można, dla odmiany, prześledzić na przykładzie

elementu ‘K’. Ponieważ siła sprężystości jest związana w ogólnym przypadku z przesunięciem
nieliniową zależnością

)

(

x

f

f

=

energię można obliczyć jako całkę siły względem przesunięcia

x

f

E

x

o

d

p

∫

=

(2.5)

W przypadku elementu sprężystego o liniowej charakterystyce otrzymuje się

4

2

p

K

2

1

d

K

x

x

x

E

x

o

=

=

∫

(2.5a)

Na Rys. 2.2 przedstawiono graficzną interpretację tych zależności dla elementu sprężystego o liniowej
charakterystyce (A) oraz nieliniowej charakterystyce (B)

x

f

)

,

( x

f

x

f

)

,

( x

f

po

E

A

B

po

E

p

E

p

E

Rys. 2.2. Charakterystyka elementu ‘K’ oraz interpretacja graficzna jego energii i koenergii

Na tych rysunkach pole pod krzywą reprezentuje energię zgromadzoną w elemencie sprężystym. Pole
to reprezentuje jednoznacznie stan elementu sprężystego jeżeli charakterystyka elementu jest
jednoznaczna. Zatem wartość energii

p

E

jednoznacznie określa jego stan na równi z parą

)

,

(

x

f

. Pole

pod krzywą także jednoznacznie określa stan elementu i określa wartość koenergii, którą oblicza się ze
wzoru

f

x

E

f

o

d

po

∫

=

(2.6)

Dla elementu o charakterystyce liniowej koenergia jest określona wzorem

K

2

1

d

K

1

d

2

po

f

i

f

f

x

E

f

o

f

o

=

=

=

∫

∫

(2.6a)

oraz jest spełniony związek

po

p

E

E

=

.

Analogicznie można zapisać wyrażenia określające energię i koenergię obrotowego elementu
sprężystego

ϕ

ϕ

d

p

∫

=

o

m

E

m

E

m

o

d

po

∫

ϕ

=

(2.7)

oraz kondensatora

q

u

E

q

o

d

p

∫

=

u

q

E

u

o

d

po

∫

=

(2.8)

Dla tych elementów o liniowych charakterystykach otrzymuje się zależności:
- dla obrotowego elementu sprężystego

5

2

p

K

2

1

ϕ

=

ϕ

E

M

2

1

2

po

m

E

=

(2.7a)

- oraz kondensatora

C

2

1

2

p

q

E

=

2

po

C

2

1

u

E

=

(2.8a)

Porównując opis elementów kinetycznych oraz potencjalnych należy zauważyć, że wielkości fizyczne
określające ich energie i koenergie spełniają związki

t

q

i

d

d

=

t

x

v

d

d

=

t

d

d

ϕ

=

ω

które jednoznacznie wskazują, że (stosując nazewnictwo mechaniki) współrzędnymi układu
elektromechanicznego są: ładunek –

q , przesunięcie liniowe – x , kąt obrotu –

ϕ

. W konsekwencji

prąd – i , prędkość liniowa – v oraz prędkość kątowa –

ω

należy uznać za prędkości w tych

układach. Analogicznie za pędy należy uznać: strumień skojarzony –

ψ

, pęd w ruchu liniowym – p

oraz kręt – k , a za siły elektromechaniczne napięcie – u , siłę – f oraz moment skrętny – m.

Dla dalszych rozważań wprowadzono jednolite oznaczenia wielkości elektromechanicznych

niezależnie od fizycznego charakteru elementu układu elektromechanicznego:
-

współrzędna elektromechaniczna – x ,

-

prędkość elektromechaniczna – x

& ,

-

pęd elektromechaniczny – p ,

-

siła elektromechaniczna – f .

Zestawienie przyporządkowania poszczególnym wielkościom fizycznym ich odpowiedników
elektromechanicznych zawiera Tabela 2.1.

Tabela 2.1

Wielkości

elektromechaniczne

Wielkości elektryczne

Wielkości mechaniczne

ruch liniowy

Wielkości mechaniczne

ruch obrotowy

współrzędna –

x

ładunek –

q

położenie –

x

kąt –

ϕ

prędkość –

x

&

prąd –

i

prędkość –

v

prędkość kątowa –

ω

Pęd –

p

strumień skojarzony –

ψ

pęd –

p

kręt –

k

Siła –

f

napięcie –

u

siła –

f

moment obrotowy –

m

Przy takich oznaczeniach energię i koenergię elementu potencjalnego o nieliniowej charakterystyce
opisują całki:

∫

=

x

x

x

f

x

E

0

p

'

d

)

'

(

)

(

∫

=

f

f

f

f

x

f

E

0

'

d

)

'

(

)

(

po

(2.9)

przy czym zachodzi

x

f

f

E

x

E

)

(

)

(

po

p

=

+

.

6

Interpretację tych zależności przedstawia Rys. 2.3. Dla elementu o charakterystyce liniowej energia
potencjalna równa się koenergii potencjalnej

)

(

)

(

po

p

f

E

x

E

=

.

x

f

)

,

(

x

f

)

(

po

f

E

)

(

p

x

E

Rys. 2.3. Charakterystyka elementu potencjalnego oraz interpretacja graficzna energii i koenergii potencjalnej

Energia i koenergia elementu kinetycznego o nieliniowej charakterystyce określone są całkami

∫

=

p

p

p

x

p

E

0

k

'

d

)

'

(

)

(

&

∫

=

x

x

x

p

x

E

&

&

&

&

0

ko

'

d

)

'

(

)

(

(2.10)

przy czym

x

p

x

E

p

E

&

&

)

(

)

(

ko

k

=

+

.

Dla elementu o charakterystyce liniowej energia oraz koenergia kinetyczna są sobie ilościowo równe

)

(

)

(

ko

k

x

E

p

E

&

=

.

p

)

,

(

x

p

&

x

&

)

(

ko

x

E

&

)

(

k

p

E

Rys. 2.4. Charakterystyka elementu kinetycznego oraz interpretacja graficzna energii i koenergii kinetycznej

Takie definicje energii i koenergii wymagają jednoznaczności charakterystyki elementu. Dla elementu
potencjalnego energia jednoznacznie określa stan elementu, jeżeli każdej wartości współrzędnej jest
jednoznacznie przyporządkowana wartość siły, czyli, gdy zależność

)

(x

f

f

=

jest funkcją, natomiast

koenergia jednoznacznie określa stan elementu, jeżeli każdej wartości siły jest jednoznacznie
przyporządkowana wartość współrzędnej, czyli, gdy zależność

)

( f

x

x

=

jest funkcją. Dla elementu

kinetycznego natomiast, energia określa jednoznacznie stan elementu, jeżeli każdej wartości pędu jest
jednoznacznie przyporządkowana wartość prędkości, czyli, jeżeli zależność

)

( p

x

x

&

&

=

jest funkcją, a

koenergia, jeżeli każdej wartości prędkości jest jednoznacznie przyporządkowana wartość pędu, czyli,
gdy zależność

)

(x

p

p

&

=

jest funkcją.

7

Układ elektromechaniczny jest zbiorem wzajemnie powiązanych ze sobą elementów potencjalnych

i kinetycznych (czyli konserwatywnych) oraz elementów dyssypatywnych rozpraszających jedynie
energię, a także źródeł doprowadzających lub odprowadzających energię. W elektromechanicznym
przetwarzaniu energii biorą udział jedynie elementy konserwatywne i energia w nich zgromadzona
jest podstawą dla opisu tego procesu. Równania opisujące procesy zachodzące w układzie
elektromechanicznym, czyli zmiany w czasie współrzędnych, prędkości sił oraz pędów
elektromechanicznych można otrzymać stosując tzw. „formalizm Lagrange’a”, czyli procedurę
tworzenia równań na podstawie funkcji opisujących całkowitą energię i koenergię wszystkich
elementów tworzących układ elektromechaniczny.
W

największym

uproszczeniu

proces

zapisywania

równań

Lagrange’a

dla

układu

elektromechanicznego jest następujący. Należy utworzyć funkcję, która stanowi różnicę koenergii
kinetycznej

ko

E

oraz energii potencjalnej w układzie, nazywaną funkcją Lagrange’a

p

ko

E

E

L

−

=

(2.11)

Koenergię kinetyczną otrzymuje się sumując koenergię każdego z elementów kinetycznych układu, a
energię potencjalną otrzymuje się sumując energie wszystkich jego elementów potencjalnych.
Koenergię kinetyczną oraz energię potencjalną w funkcji Lagrange’a należy wyrazić przez
współrzędne i prędkości które są od siebie niezależne, tj. przez taki zbiór współrzędnych i prędkości
elektromechanicznych, które są liniowo niezależne w rozumieniu matematyki. Dla przypomnienia,
zbiór wielkości

)

,...,

,

(

N

2

1

x

x

x

jest liniowo niezależny, jeżeli ich kombinacja liniowa

N

N

2

2

1

1

a

a

a

x

x

x

+

+

+

L

daje wartość zero jedynie, gdy wszystkie współczynniki

N

2

1

a

,...,

a

,

a

są równe

zero. Jeżeli takich współrzędnych oraz prędkości jest ‘N’, to układ elektromechaniczny jest opisywany
układem równań różniczkowych o postaci

n

n

n

f

x

L

x

L

t

=

∂

∂

−

∂

∂

&

d

d

dla

}

N

,...,

2

,

1

{

∈

n

(2.12)

Najlepiej jest prześledzić proces zapisywania równań na bardzo prostym przykładzie. Niech będzie

to elementarny obwód utworzony przez szeregowo połączone elementy R, L, C oraz źródło napięcia
e(t), przedstawiony na Rys. 2.5. Formalnie obwód ten można rozpatrywać jako układ
elektromechaniczny, w którym współrzędną elektromechaniczną jest ładunek q, a prędkością jest prąd
i.

i

L

C

u

R

e

Rys. 2.5. Szeregowy obwód R, L ,C jako przykład układu elektromechanicznego

Aby zapisać równanie tego układu należy określić funkcje energii oraz ko energii poszczególnych
elementów, a następnie zapisać funkcję Lagrange’a

2

ko

L

2

1

i

E

=

,

C

2

1

2

p

q

E

=

,

C

2

1

L

2

1

2

2

p

ko

q

i

E

E

L

−

=

−

=

8

W tym przypadku układ ma jedną współrzędną, gdyż prąd cewki i ładunek kondensatora są powiązane

związkiem

t

q

i

d

d

=

, więc do opisu wystarczy jedno równanie Lagrange’a. Ma ono ma postać

u

q

L

i

L

t

=

∂

∂

−

∂

∂

d

d

gdyż

q

x

=

oraz

i

x

=

&

. Wykonując w tym równaniu otrzymuje się

u

q

i

t

=

−

−

)

C

(

)

L

(

d

d

Napięcie występujące po prawej stronie tego równania (czyli zewnętrza siła elektromechaniczna)
reprezentuje energię doprowadzaną i odprowadzaną do elementów konserwatywnych (czyli cewki i
kondensatora). W rozpatrywanym obwodzie napięcie to wynosi

i

e

u

R

−

=

. Uwzględniając związek

i

t

q

d

d

=

, po uporządkowaniu otrzymuje się dobrze znane napięciowe równanie Kirchoffa tego obwodu

e

q

t

q

t

q

=

+

+

C

d

d

R

d

d

L

2

2

Jest to równanie, które w teorii obwodów wyraża ogólna zasadę, że suma napięć w zamkniętym oczku
jest równa zero. W nomenklaturze elektromechaniki równanie to wyraża równowagę sił
elektromechanicznych. Równanie to w klasyfikacji matematyki jest równaniem różniczkowych
zwyczajnym liniowym o współczynnikach stałych. Tego typu równanie można bardzo prosto
rozwiązać, co pozwala analizować właściwości zmian ładunku i prądu elektrycznego w takim
obwodzie.

Ta sama procedura zapisywania równań może być zastosowana do układu mechanicznego
przedstawionego na Rys. 2.6., w którym masa M porusza się liniowo bez tarcia, lecz jej ruch jest
ograniczony idealną sprężyną o stałej K oraz tłumikiem o stałej D. Jest to także przykład układu
elektromechanicznego o współrzędnej x oraz prędkości v.

z

f

Rys. 2.6. Elementarny układ mechaniczny jako przykład układu elektromechanicznego

Analogicznie jak poprzednio, należy określić funkcje energii oraz koenergii, a następnie funkcję
Lagrange’a

2

ko

M

2

1

v

E

=

,

2

p

K

2

1

x

E

=

,

2

2

p

ko

K

2

1

M

2

1

x

v

E

E

L

−

=

−

=

Ten układ ma także tylko jedną współrzędną x, więc do opisu wystarczy jedno równanie Lagrangea’a

9

f

x

L

v

L

t

=

∂

∂

−

∂

∂

d

d

gdyż

x

x

=

oraz

v

x

=

&

. Po wykonaniu przewidzianych operacji matematycznych trzymuje się

f

x

v

t

=

−

−

)

K

(

)

M

(

d

d

Zewnętrza siła

z

f

działająca na masę zgodnie z umownie przyjętym kierunkiem ruchu ma znak

dodatni, natomiast element tłumiący wprowadza zawsze siłę przeciwna do ruchu, czyli ujemną

v

f

f

z

D

−

=

. Ponieważ

v

t

x

d

d

=

, po uporządkowaniu otrzymuje się elementarne równanie ruchu tego

układu

z

f

x

t

x

t

x

=

+

+

K

d

d

D

d

d

M

2

2

wyrażające równowagę sił działających na masę. Analogicznie jak poprzednie równanie obwodu R, L,
C jest równanie różniczkowe zwyczajne liniowe o współczynnikach stałych. Równanie takie można
łatwo rozwiązać i określić zachowanie się tego układu.

Te dwa przykłady pokazują, że stosując jedną metodykę – zwaną formalizmem Lagrange’a – można
opisywać zarówno obwody elektryczne jak i układy mechaniczne.

W konsekwencji, formalizm Lagrange’a pozwala opisywać układy elektromechaniczne, co ilustruje
poniższy przykład. Układy z Rys. 2.5 oraz Rys. 2.6. zostały ze sobą powiązane tak, że masa,
wykonana z materiału ferromagnetycznego, porusza się wewnątrz cewki.

i

L(x)

C

R

e

M

K

x

D

Rys. 2.7. Przykład elementarnego układu elektromechanicznego

Zmiana położenia materiału ferromagnetycznego w cewce powoduje, że energia pola magnetycznego
(więc także i koenergia) zmienia się, staję się więc zależna od położenia. Obecnie funkcje koenergii,
energii oraz funkcja Lagrange’a mają postaci

2

2

ko

M

2

1

)

L(

2

1

v

i

x

E

+

=

2

2

p

K

2

1

C

2

1

x

q

E

+

=













+

−













+

=

−

=

2

2

2

2

p

ko

K

2

1

C

2

1

M

2

1

)

L(

2

1

x

q

v

i

x

E

E

L

10

W zapisie funkcji koenergii cewki symbolicznie zaznaczono, że jej indukcyjność jest zależna od
położenia ferromagnetycznej zwory w cewce. Ten układ elektromechaniczny ma dwie niezależne
współrzędne i prędkości:

q

x

=

1

,

x

x

=

2

oraz

i

x

=

1

&

,

v

x

=

2

&

, należy więc zapisać dwa równania

Lagrange’a:

i

e

q

L

i

L

t

R

d

d

−

=

∂

∂

−

∂

∂

v

f

x

L

v

L

t

z

D

d

d

−

=

∂

∂

−

∂

∂

Wykonanie operacji matematycznych przewidzianych w tych równaniach daje równania

(

)

i

e

q

i

x

t

R

)

C

(

)

L(

d

d

−

=

−

−

( )

v

f

x

i

x

x

v

t

z

D

K

)

L(

2

1

M

d

d

2

−

=













−

∂

∂

−

Po uporządkowaniu tych równań otrzymuje się:

t

q

x

x

t

x

e

q

t

q

t

q

x

d

d

)

L(

d

d

C

d

d

R

d

d

)

L(

2

2

∂

∂

−

=

+

+

2

2

2

d

d

)

L(

2

1

K

d

d

D

d

d

M













∂

∂

+

=

+

+

t

q

x

x

f

x

t

x

t

x

z

W tych równaniach po prawej stronie występują człony, które pojawiły się w wyniku sprzężenia
zjawisk elektrycznych i mechanicznych. W równaniu napięć pojawił się dodatkowy człon określający
napięcie wywoływane ruchem ferromagnetycznej zwory w cewce, a w równaniu ruchu
mechanicznego pojawił się człon określający siłę wywoływaną przez prąd w cewce. Oznacza to, że
można wytwarzać energię elektryczną w rozpatrywanym obwodzie elektrycznym wywołując ruch
zwory w cewce lub generować energię mechaniczną w wyniku przepływu prądu przez cewkę. Śledząc
przyczynę pojawienia się tych członów w równaniach nietrudno dojść do wniosku, że pojawiły się one
gdyż zmiana położenia elementu ferromagnetycznego (masy) powodowała zmianę koenergii, więc
również energii cewki. Energia jednego z elementów układu elektromechanicznego zależała zarówno
od wielkości elektrycznej jak i od wielkości mechanicznej. Jest to elementarny warunek przemiany
energii w układzie elektromechanicznym. Człony pojawiające się w wyniku sprzężenia zjawisk
elektrycznych i mechanicznych stanowią nieliniowe funkcje prądu oraz prędkości, mimo, że każdy z
elementów tworzących ten układ elektromechaniczny ma liniową charakterystykę. To powoduje, że
otrzymane równania stanowią nieliniowy układ równań różniczkowych zwyczajnych. Jest to istotna
trudność, gdyż matematyka nie podaje efektywnego sposobu znajdywania rozwiązań takich równań w
postaci funkcji elementarnych. W praktyce inżynierskiej tego typu równania rozwiązuje się metodami
numerycznymi przy użyciu wyspecjalizowanych pakietów obliczeniowych.

11

Przykłady

P. 2.1/. Dla układu elektromechanicznego z poniższego rysunku zapisać równania Lagrange’a i

sprowadzić je do postaci normalnej.

0

ε

1

ε

Rozwiązanie rozpoczniemy od zapisania funkcji Lagrange’a na którą składają się ko-energie
kinetyczne oraz energie potencjalne elementów całego układu.















+

−













+

=

−

=

2

2

2

2

p

ko

K

2

1

)

C(

2

1

M

2

1

L

2

1

x

x

q

v

i

E

E

L

gdzie M jest masą poruszającej się okładziny natomiast pojemność kondensatora jest funkcją
położenia tej okładziny. Można dostrzec, że układ pojemności stanowi szeregowe połączenie dwóch
kondensatorów płaskich o pojemnościach

1

C i

)

(

C

0

x . Pojemność wypadkowa jest sumą odwrotności

poszczególnych pojemności i zatem będzie wynosić

)

(

C

C

)

(

C

C

)

C(

0

1

0

1

x

x

x

+

⋅

=

gdzie

d

S

x

1

1

)

(

C

ε

=

;

x

l

S

x

−

ε

=

0

0

)

(

C

Po podstawieniu zależności obowiązujących dla pojemności kondensatorów płaskich otrzymamy
zależność na pojemność

)

C(x w postaci

)

(

)

C(

1

0

1

0

x

l

d

S

x

−

ε

+

ε

ε

ε

=

Zapisujemy ogólną postać równań Lagrange’a dla dwóch stopni swobody (N=2) wynikającą z liczby
współrzędnych niezależnych występujących w funkcji Lagrange’a.













−

=

∂

∂

−

∂

∂

−

=

∂

∂

−

∂

∂

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

d

d

d

d

x

D

f

x

L

x

L

t

x

D

f

x

L

x

L

t

&

&

&

&

12

Przypisujemy wielkości wg oznaczeń na rysunku współrzędnym i prędkościom uogólnionym oraz
siłom zewnętrznym i współczynnikom dyssypacji.

D

;

0

;

;

R

;

;

;

2

2

2

2

1

1

1

1

=

=

=

=

=

=

=

=

D

f

v

x

x

x

D

e

f

i

x

q

x

&

&

Uwaga: Znak sił uogólnionych przyjmujemy za dodatni, jeżeli działają zgodnie z kierunkiem
współrzędnych!

Podstawiamy przypisane zależności do ogólnej postaci równań Lagrange’a.












−

=

∂

∂

−

∂

∂

−

=

∂

∂

−

∂

∂

v

x

L

v

L

t

i

e

q

L

i

L

t

D

0

d

d

R

d

d

Podstawiamy do powyższych równań funkcję Lagrange’a i wykonujemy stosowne różniczkowania.













−

=

∂

∂

−

−

−

−

=

−

−

v

x

x

q

x

v

t

i

e

x

q

i

t

D

)

)

(

C

1

(

2

K

(

)

M

(

d

d

R

)

)

(

C

(

)

L

(

d

d

2

Przekształcamy powyższy układ równań do postaci normalnej

























=

−

−

=

=

−

−

=

v

t

x

v

f

t

i

t

i

x

q

e

t

e

d

dx

)

K

D

(

M

1

d

dv

d

dq

)

R

)

(

C

(

L

1

d

di

gdzie

S

q

x

x

q

f

e

0

2

2

2

)

)

(

C

1

(

2

ε

=

∂

∂

−

=

Siła przyciągania okładziny

e

f pochodzi z układu elektrycznego i wynika ze zmian pojemności

kondensatora pod wpływem ruchu okładziny.

13

P. 2.2/. Dla układu elektromechanicznego z poniższego rysunku zapisać równania przetwornika w

postaci normalnej oraz określić formułę na moment elektromagnetyczny działający na
ferromagnetyczny rdzeń.

i

)

(

L

ϕ

J

ϕ

u

z

m

Rozwiązanie jak zwykle rozpoczniemy od zapisania funkcji Lagrange’a

2

2

ko

p

ko

J

2

1

)

L(

2

1

ω

+

ϕ

=

=

−

=

i

E

E

E

L

gdzie J jest momentem bezwładności, natomiast indukcyjność cewki

)

L(

ϕ

jest funkcją położenia

kątowego rdzenia.
Zapisujemy ogólną postać równań Lagrange’a dla dwóch stopni swobody (N=2) wynikającą z liczby
współrzędnych niezależnych występujących w funkcji Lagrange’a.













−

=

∂

∂

−

∂

∂

−

=

∂

∂

−

∂

∂

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

d

d

d

d

x

D

f

x

L

x

L

t

x

D

f

x

L

x

L

t

&

&

&

&

Przypisujemy wielkości wg oznaczeń na rysunku współrzędnym i prędkościom uogólnionym oraz
siłom zewnętrznym i współczynnikom dyssypacji.

D

;

;

;

R

;

;

;

2

2

2

2

1

1

1

1

=

−

=

ω

=

ϕ

=

=

=

=

=

D

m

f

x

x

D

u

f

i

x

q

x

z

&

&

Podstawiamy przypisane zależności do ogólnej postaci równań Lagrange’a.












ω

−

−

=

ϕ

∂

∂

−

ω

∂

∂

−

=

∂

∂

−

∂

∂

D

d

d

R

d

d

z

m

L

L

t

i

u

q

L

i

L

t

Podstawiamy do powyższych równań funkcję Lagrange’a i wykonujemy stosowne różniczkowania












ω

−

−

=

ω

−

=

ϕ

D

)

J

(

d

d

R

)

)

(

L

(

d

d

z

em

m

m

t

i

u

i

t

14

gdzie

ϕ

∂

ϕ

∂

=

ϕ

∂

∂

=

)

L(

2

1

2

i

L

m

em

jest momentem elektromagnetycznym przetwornika

Po przekształceniach powyższych równania do postaci normalnej otrzymujemy



















ω

=

ϕ

ω

−

−

ϕ

∂

ϕ

∂

=

ω

ϕ

∂

ϕ

∂

ω

−

−

ϕ

=

t

m

i

t

i

i

u

t

i

z

d

d

)

D

)

L(

(

J

1

d

d

)

)

(

L

R

(

)

(

L

1

d

d

2

2

1

P. 2.3/. Wyznaczyć wartość siły elektromagnesu podmagnesowywanego magnesem trwałym.

∞

→

µ

Fe

r

∞

→

µ

Fe

r

i

S

x

M

m

l

i

S

S

z

z

∞

→

µ

Fe

r

S

Przedstawiony system elektromechaniczny jest układem o dwóch stopniach swobody, ze względu na
prąd płynący przez cewkę oraz ruch ferromagnetyka o masie M. Jak to zostało zauważone wcześniej
zmiany energii po odpowiedniej współrzędnej prowadzić będą do generowania dodatkowych sił. W
układzie elektrycznym będzie to prowadziło do wytwarzania dodatkowych napięcie (np. w układzie z
cewką indukować się będzie SEM), natomiast w układzie mechanicznym powstawać będzie siła
elektromagnetyczna. Jeżeli w układzie nie występują kondensatory o pojemnościach zależnych od
współrzędnej mechanicznej to wystarczy dla określenia siły elektromagnetycznej rozpatrywanie zmian
ko-energii układu elektrycznego po współrzędnej mechanicznej. Formuła na siłę elektromagnetyczną
przybiera, zatem formę

x

x

i

E

x

f

em

∂

∂

=

)

,

(

)

(

0

Zgodnie z rozważaniami zamieszczonymi w dodatku wg formuły (D.50) wynika, że ko-energia układu
elektromagnetycznego złożonego z cewki oraz magnesu trwałego w obwodzie magnetycznym
wynosić będzie

µ

µ

µ

+

+

=

+

ψ

+

=

R

F

i

R

F

i

R

E

i

i

E

m

m

m

2

2

1

2

2

2

1

0

0

2

2

1

0

w

w

L

Przenosząc te rozważania na nasz przykład otrzymamy

15

)

(

2

)

(

2

2z

)

(

2

(2z)

)

(

)

(

)

L(

)

,

(

2

2

1

2

2

2

1

0

0

2

2

1

0

x

R

R

F

i

x

R

R

F

i

x

R

R

x

E

i

x

i

x

x

i

E

x

m

m

x

m

m

x

m

m

µ

µ

µ

µ

µ

µ

+

+

+

+

+

=

=

+

ψ

+

=

gdzie

0

'

/

µ

=

m

r

m

l

B

F

- siła magnetomotoryczna magnesu (

rm

m

m

l

l

µ

=

/

'

)

S

l

R

m

m

0

'

µ

=

µ

- reluktancja magnesu trwałego

S

x

x

R

x

0

)

(

µ

=

µ

- reluktancja szczeliny powietrznej

Po podstawieniu zależności określających reluktancje do formuły na ko-energię układu elektrycznego,
otrzymamy

x

l

S

F

i

x

l

S

F

i

x

l

S

x

i

E

m

m

m

m

m

2

2

2z

2

(2z)

)

,

(

'

0

2

2

1

'

0

2

'

0

2

2

1

0

+

µ

+

+

µ

+

+

µ

=

Wykonując różniczkowanie po współrzędnej mechanicznej x otrzymujemy zależność przedstawiająca
siłę elektromagnesu

2

'

0

2

2

'

0

2

2

'

0

2

)

2

(

)

2

(

4z

)

2

(

4z

)

,

(

x

l

S

F

i

x

l

S

F

i

x

l

S

x

i

f

m

m

m

m

m

em

+

µ

−

+

µ

−

+

µ

−

=

Na uwagę zasługuje fakt ujemnego znaku siły, co świadczy o tym, że działa ona przeciwnie do
kierunku przyjętej współrzędnej mechanicznej.

Zadania

Zad. 2.1/. Wyznaczyć energię cewki o nieliniowej charakterystyce

3

ψ

=

a

i

.

Zad. 2.2/. Wyznaczyć konergię cewki o charakterystyce

3

i

a

=

ψ

.

Zad. 2.3/. Widząc, że wartość koenergii cewki o charakterystyce

3

ai

=

ψ

dla prądu 1A wynosi 30 J,

wyznaczyć wartość energii.

Zad. 2.4/. Jaka jest różnica pomiędzy wartością koenergii i energii dla cewki o charakterystyce

3

008

,

0

i

i

⋅

−

=

ψ

zakładając, że przez cewkę płynie prąd 5A ?

Zad. 2.5/. Dla kondensatora o charakterystyce

3

aQ

U

=

wyznaczyć funkcję energii.

Zad. 2.6/. Wiedząc, że energia kondensatora o charakterystyce

4

4

1

aQ

E

=

wynosi 0,25J przy napięciu

10V, wyznaczyć wartość ładunku kondensatora.

Zad. 2.7/. Dla układu z rysunku zapisać funkcję Lagrange’a oraz odpowiadające jej równania wiedząc,

że

3

a

i

=

ψ

.

16

Zad. 2.8/. Dla układu z rysunku zapisać funkcję Lagrange’a oraz odpowiadające jej równania, jeżeli

siła sprężyny wyraża się funkcją F =a x

3

.

Zad. 2.9/. Dla układu z rysunku zapisać funkcję Lagrange’a oraz odpowiadające jej równania.

ψ

(i)

C

R

u(t)

x

ϕ

J

m

z

M

Q =

Mg

a

M

F

z

=

Mg

x

17

Zad. 2.10/. Dla układu z rysunku zapisać funkcję Lagrange’a oraz odpowiadające jej równania.

Zad. 2.11/. Dla układu z rysunku zapisać funkcję Lagrange’a oraz odpowiadające jej równania.

Zad. 2.12/. Dla solenoidu przedstawionego na poniższym rysunku (a=2mm, b=20mm), obliczyć siłę z

jaką przyciągany jest nurnik, gdy szczelina powietrzna

δ

l

=5mm, a cewka o liczbie

zwojów

w =500 zasilona została prądem

I

i

=

=

10A.

i

w

a

b

r

δ

l

∞

→

µ

Fe

r

∞

→

µ

Fe

r

Zad. 2.13/. Dla układu elektromechanicznego z rysunku, na którym dielektryk o masie M jest

wciągany do kondensatora, zapisać równania Lagrange’a. Określić wielkość siły
pochodzącej z układu elektrycznego (Uwaga - należy zauważyć, że powstaje układ
dwóch równolegle połączonych pojemności).

18

0

ε

1

ε

Zad. 2.14/. Dla układu elektromagnetycznego złożonego z cewki 1 (cewka posiada

1

w

zwojów oraz

została zasilona prądem stałym

I

i

1

=

) nawiniętej na stalowym rdzeniu o nieskończonej

przenikalności magnetycznej z szczeliną powietrzną

δ

l

, obliczyć wartość SEM

indukowanej w poruszającej się cewce 2 (posiadającej

2

w

zwojów) umieszczonej w

szczelinie.

1

i

1

w

δ

l

b

a

S

⋅

=

∞

→

µ

Fe

r

x

a

b

d

b

2

w

Zad. 2.15/. Wyznaczyć wartość prądu cewki

I

i

=

taką, aby elektromagnes mógł podnieść

ferromagnetyczny rdzeń o zadanej masie M.

i

w

δ

l

∞

→

µ

Fe

r

∞

→

µ

Fe

r

∞

→

µ

Fe

r

x

S

S

S

S

M

19

Zad. 2.16/. Wyznaczyć wartość siły z jaką magnes przyciąga ferromagnetyczny rdzeń.

δ

l

∞

→

µ

Fe

r

x

S

S

S

S

m

l

∞

→

µ

Fe

r

M

Zad. 2.17/. Wyznaczyć wartość siły przyciągającej elektromagnesu.

∞

→

µ

Fe

r

∞

→

µ

Fe

r

i

w

2

d

S

=

a

x

M

2

d

S

=

K

D

Zad. 2.18/. Wyznaczyć wartość siły z jaką jednolity magnes trwały przyciąga żelazny rdzeń.

m

l

∞

→

µ

Fe

r

x

S

S

S

M

1

≈

µ

m

r

S

N