1
2. Energia jako wielkość bazowa do opisu elektromechanicznego
przetwarzania energii
Zjawiska elektryczne i mechaniczne mają zupełnie inną naturę fizyczną i aby je rozpatrywać
łącznie wykorzystuje się energię, która jest wielkością fizyczną wspólną dla tych zjawisk. Zbiór
elementów elektrycznych i mechanicznych nazywa się układem elektromechanicznym. Elektrycznymi
elementami są: cewka, kondensator, rezystor oraz źródło napięcia. Elementy mechaniczne związane są
z rodzajem ruchu. Dla ruchu liniowego rozróŜniamy elementy: masę, spręŜynę, elementy tłumiące
oraz źródło siły, dla ruchu obrotowego odpowiadają im: masa wirująca, spręŜysty element obrotowy
oraz źródło momentu obrotowego. W tego typu układach moŜe dochodzić do zmiany charakteru
energii – energia elektryczna moŜe zostać zamieniona (przetworzona) na energię mechaniczną lub
odwrotnie. Proces taki nazywamy elektromechaniczną przemianą energii.
Do opisu zjawisk elektrycznych i mechanicznych towarzyszących przemianom energii
wykorzystuje się ujednolicony opis elementów układu elektromechanicznego – zarówno
mechanicznych jak i elektrycznych. Opis taki wynika z przyporządkowania jednakowych formuł
matematycznych typom elementów układu elektromechanicznego, niezaleŜnie od ich fizycznej natury.
NajwaŜniejszą rolę w procesie przemiany energii odgrywają tzw. elementy konserwatywne, które, w
wyidealizowanej postaci, mają zdolność gromadzenia energii i zwracania jej do układu
elektromechanicznego bez start. WyróŜnia się dwa typy takich elementów: elementy typu
kinetycznego, które mają zdolność magazynowania energii kinetycznej, w jej mechanicznej postaci,
oraz elementy typu potencjalnego, które mogą magazynować energię potencjalną w rozumieniu
mechaniki. KaŜda z tych dwóch grup elementów jest opisywana jednakowymi formułami
matematycznymi, wiąŜącymi całkowicie róŜne wielkości fizyczne.
Do grupy elementów typu kinetycznego naleŜą: cewka (element ‘L’), masa skupiona (element
‘M’), oraz masa wirująca (element ‘J’). Są one opisywane – w najprostszym przypadku – przez
powszechnie znane związki:
t
i
u
d
d
L
=
t
v
f
d
d
M
=
t
m
d
d
J
ω
=
w których przez
m
f
u
,
,
oznaczono – odpowiednio – napięcie, siłę oraz moment skrętny, a przez
ω
,
, v
i
prąd, prędkość liniową oraz prędkość kątową. Związki te są dla wszystkich tych trzech
elementów identyczne z matematycznego punktu widzenia, co pozwala uznać je za elementy jednego
typu. Związki te obowiązują w przypadkach, gdy parametry L, M oraz J mają wartości stałe i
jednoznacznie wyznaczają inne bardzo waŜne wielkości fizyczne takie jak:
-
strumień skojarzony cewki
i
L
=
ψ
-
pęd w ruchu liniowym
v
p
M
=
-
kręt w ruchu obrotowym
ω
=
J
k
Elementy takie są nazywane liniowymi, gdyŜ strumień skojarzony, pęd czy kręt zaleŜą liniowo od –
odpowiednio – prądu, prędkości liniowej czy prędkości obrotowej. W ogólniejszym przypadku
obowiązują związki
t
u
d
d
ψ
=
t
p
f
d
d
=
t
k
m
d
d
=
Muszą być one uzupełnione zaleŜnościami
)
(i
ψ
=
ψ
,
)
(v
p
p
=
oraz
)
(
ω
=
k
k
, które są one nazywane
charakterystykami elementów.
Dla opisu elektromechanicznych przemian energii stan takich elementów jest określany za pomocą
zgromadzonej w nich energii. W celu przedstawienia idei takiego opisu wystarczy go prześledzić dla
2
jednego elementu np. cewki, czyli elementu ‘L’. Chwilową wartość mocy tego elementu określa
elementarny związek
i
u
P
=
a energia zgromadzona w tym elemencie wynosi
ψ
=
ψ
=
=
∫
∫
∫
ψ
d
d
d
d
d
k
o
t
o
t
o
i
t
i
t
t
i
u
E
(2.1)
W celu obliczenia energii cewki naleŜy, zatem znać zaleŜność
)
(
ψ
=
i
i
, czyli wiedzieć jak zmienia się
prąd cewki na skutek zmian strumienia skojarzonego. W przypadku cewki o charakterystyce liniowej
i
L
=
ψ
otrzymuje się
L
2
1
d
L
d
2
k
ψ
=
ψ
ψ
=
ψ
=
∫
∫
ψ
ψ
o
o
i
E
(2.1a)
Na Rys.2.1A przedstawiono graficzną interpretację tych zaleŜności dla cewki o liniowej
charakterystyce, a na Rys. 2.1B dla cewki o charakterystyce nieliniowej (B)
i
ψ
)
,
(
i
ψ
i
ψ
)
,
(
i
ψ
o
E
o
E
E
E
A
B
Rys. 2.1. Charakterystyka elementu ‘L’ oraz interpretacja graficzna jego energii i koenergii
Na tych rysunkach pole nad krzywą reprezentuje energię zgromadzoną w cewce. Pole to reprezentuje
jednoznacznie stan cewki, jeŜeli charakterystyka cewki jest jednoznaczna. Zatem wartość energii
k
E
jednoznacznie określa stan cewki na równi z parą
)
,
(
i
ψ
. Z tego rysunku wynika, Ŝe stan cewki moŜna
równieŜ jednoznacznie określić podając wartość
ko
E
, czyli określając pole pod krzywą stanowiącą
charakterystykę cewki. Wartość
ko
E nosi nazwę koenergii, którą oblicza się ze wzoru
i
E
i
o
d
ko
∫
ψ
=
(2.2)
Dla cewki o charakterystyce liniowej
i
L
=
ψ
koenergia jest określona wzorem
2
ko
L
2
1
d
L
d
i
i
i
i
E
i
o
i
o
=
=
ψ
=
∫
∫
(2.2b)
3
oraz jest spełniony związek
ko
k
E
E
=
. NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe energia cewki jest funkcją strumienia
skojarzonego, natomiast jej koenergia jest funkcją prądu.
Analogicznie moŜna zapisać wyraŜenia określające energię i koenergię masy w ruchu liniowym
p
v
E
p
o
d
k
∫
=
v
p
E
v
o
d
ko
∫
=
(2.3)
oraz w ruchu obrotowym
k
E
k
o
d
k
∫
ω
=
ω
ω
d
ko
∫
=
o
k
E
(2.4)
Dla elementów o liniowych charakterystykach otrzymuje się zaleŜności:
- dla ruchu liniowego
M
2
1
2
k
p
E
=
2
ko
M
2
1
v
E
=
(2.3a)
- dla ruchu obrotowego
J
2
1
2
k
k
E
=
2
ko
J
2
1
ω
=
E
(2.4a)
Grupę elementów typu potencjalnego stanowią: kondensator (element ‘C’), element spręŜysty
liniowy (element ‘K’) oraz element spręŜysty skrętny (element ‘
ϕ
K
’). JeŜeli ich charakterystyki są
liniowe to elementy te są opisywane przez związki
C
q
u
=
x
f
K
=
ϕ
=
ϕ
K
m
w których przez
m
f
u
,
,
oznaczono (tak jak poprzednio) napięcie, siłę oraz moment skrętny, a przez
ϕ
,
,
x
q
ładunek kondensatora, przesunięcie liniowe oraz kąt obrotu. W związkach tych nie występują
pochodne, więc mają one charakter zaleŜności algebraicznych. Jest to zasadnicza róŜnica w stosunku
do opisu elementów kinetycznych. W ogólniejszym przypadku związki te mogą być wyraŜone
nieliniowymi zaleŜnościami wiąŜącymi napięcie, siłę lub moment skrętny z ładunkiem, przesunięciem
liniowym czy kątem obrotu
)
(
q
u
u
=
,
)
(
x
f
f
=
oraz
)
(
ϕ
=
m
m
, które stanowią charakterystyki tych
elementów.
Opis energii i koenergii elementów potencjalnych moŜna, dla odmiany, prześledzić na przykładzie
elementu ‘K’. PoniewaŜ siła spręŜystości jest związana w ogólnym przypadku z przesunięciem
nieliniową zaleŜnością
)
(
x
f
f
=
energię moŜna obliczyć jako całkę siły względem przesunięcia
x
f
E
x
o
d
p
∫
=
(2.5)
W przypadku elementu spręŜystego o liniowej charakterystyce otrzymuje się
4
2
p
K
2
1
d
K
x
x
x
E
x
o
=
=
∫
(2.5a)
Na Rys. 2.2 przedstawiono graficzną interpretację tych zaleŜności dla elementu spręŜystego o liniowej
charakterystyce (A) oraz nieliniowej charakterystyce (B)
x
f
)
,
( x
f
x
f
)
,
( x
f
po
E
A
B
po
E
p
E
p
E
Rys. 2.2. Charakterystyka elementu ‘K’ oraz interpretacja graficzna jego energii i koenergii
Na tych rysunkach pole pod krzywą reprezentuje energię zgromadzoną w elemencie spręŜystym. Pole
to reprezentuje jednoznacznie stan elementu spręŜystego jeŜeli charakterystyka elementu jest
jednoznaczna. Zatem wartość energii
p
E
jednoznacznie określa jego stan na równi z parą
)
,
(
x
f
. Pole
pod krzywą takŜe jednoznacznie określa stan elementu i określa wartość koenergii, którą oblicza się ze
wzoru
f
x
E
f
o
d
po
∫
=
(2.6)
Dla elementu o charakterystyce liniowej koenergia jest określona wzorem
K
2
1
d
K
1
d
2
po
f
i
f
f
x
E
f
o
f
o
=
=
=
∫
∫
(2.6a)
oraz jest spełniony związek
po
p
E
E
=
.
Analogicznie moŜna zapisać wyraŜenia określające energię i koenergię obrotowego elementu
spręŜystego
ϕ
ϕ
d
p
∫
=
o
m
E
m
E
m
o
d
po
∫
ϕ
=
(2.7)
oraz kondensatora
q
u
E
q
o
d
p
∫
=
u
q
E
u
o
d
po
∫
=
(2.8)
Dla tych elementów o liniowych charakterystykach otrzymuje się zaleŜności:
- dla obrotowego elementu spręŜystego
5
2
p
K
2
1
ϕ
=
ϕ
E
M
2
1
2
po
m
E
=
(2.7a)
- oraz kondensatora
C
2
1
2
p
q
E
=
2
po
C
2
1
u
E
=
(2.8a)
Porównując opis elementów kinetycznych oraz potencjalnych naleŜy zauwaŜyć, Ŝe wielkości fizyczne
określające ich energie i koenergie spełniają związki
t
q
i
d
d
=
t
x
v
d
d
=
t
d
d
ϕ
=
ω
które jednoznacznie wskazują, Ŝe (stosując nazewnictwo mechaniki) współrzędnymi układu
elektromechanicznego są: ładunek –
q , przesunięcie liniowe – x , kąt obrotu –
ϕ
. W konsekwencji
prąd – i , prędkość liniowa – v oraz prędkość kątowa –
ω
naleŜy uznać za prędkości w tych
układach. Analogicznie za pędy naleŜy uznać: strumień skojarzony –
ψ
, pęd w ruchu liniowym – p
oraz kręt – k , a za siły elektromechaniczne napięcie – u , siłę – f oraz moment skrętny – m.
Dla dalszych rozwaŜań wprowadzono jednolite oznaczenia wielkości elektromechanicznych
niezaleŜnie od fizycznego charakteru elementu układu elektromechanicznego:
-
współrzędna elektromechaniczna – x ,
-
prędkość elektromechaniczna – x
& ,
-
pęd elektromechaniczny – p ,
-
siła elektromechaniczna – f .
Zestawienie przyporządkowania poszczególnym wielkościom fizycznym ich odpowiedników
elektromechanicznych zawiera Tabela 2.1.
Tabela 2.1
Wielkości
elektromechaniczne
Wielkości elektryczne
Wielkości mechaniczne
ruch liniowy
Wielkości mechaniczne
ruch obrotowy
współrzędna –
x
ładunek –
q
połoŜenie –
x
kąt –
ϕ
prędkość –
x
&
prąd –
i
prędkość –
v
prędkość kątowa –
ω
Pęd –
p
strumień skojarzony –
ψ
pęd –
p
kręt –
k
Siła –
f
napięcie –
u
siła –
f
moment obrotowy –
m
Przy takich oznaczeniach energię i koenergię elementu potencjalnego o nieliniowej charakterystyce
opisują całki:
∫
=
x
x
x
f
x
E
0
p
'
d
)
'
(
)
(
∫
=
f
f
f
f
x
f
E
0
'
d
)
'
(
)
(
po
(2.9)
przy czym zachodzi
x
f
f
E
x
E
)
(
)
(
po
p
=
+
.
6
Interpretację tych zaleŜności przedstawia Rys. 2.3. Dla elementu o charakterystyce liniowej energia
potencjalna równa się koenergii potencjalnej
)
(
)
(
po
p
f
E
x
E
=
.
x
f
)
,
(
x
f
)
(
po
f
E
)
(
p
x
E
Rys. 2.3. Charakterystyka elementu potencjalnego oraz interpretacja graficzna energii i koenergii potencjalnej
Energia i koenergia elementu kinetycznego o nieliniowej charakterystyce określone są całkami
∫
=
p
p
p
x
p
E
0
k
'
d
)
'
(
)
(
&
∫
=
x
x
x
p
x
E
&
&
&
&
0
ko
'
d
)
'
(
)
(
(2.10)
przy czym
x
p
x
E
p
E
&
&
)
(
)
(
ko
k
=
+
.
Dla elementu o charakterystyce liniowej energia oraz koenergia kinetyczna są sobie ilościowo równe
)
(
)
(
ko
k
x
E
p
E
&
=
.
p
)
,
(
x
p
&
x
&
)
(
ko
x
E
&
)
(
k
p
E
Rys. 2.4. Charakterystyka elementu kinetycznego oraz interpretacja graficzna energii i koenergii kinetycznej
Takie definicje energii i koenergii wymagają jednoznaczności charakterystyki elementu. Dla elementu
potencjalnego energia jednoznacznie określa stan elementu, jeŜeli kaŜdej wartości współrzędnej jest
jednoznacznie przyporządkowana wartość siły, czyli, gdy zaleŜność
)
(x
f
f
=
jest funkcją, natomiast
koenergia jednoznacznie określa stan elementu, jeŜeli kaŜdej wartości siły jest jednoznacznie
przyporządkowana wartość współrzędnej, czyli, gdy zaleŜność
)
( f
x
x
=
jest funkcją. Dla elementu
kinetycznego natomiast, energia określa jednoznacznie stan elementu, jeŜeli kaŜdej wartości pędu jest
jednoznacznie przyporządkowana wartość prędkości, czyli, jeŜeli zaleŜność
)
( p
x
x
&
&
=
jest funkcją, a
koenergia, jeŜeli kaŜdej wartości prędkości jest jednoznacznie przyporządkowana wartość pędu, czyli,
gdy zaleŜność
)
(x
p
p
&
=
jest funkcją.
7
Układ elektromechaniczny jest zbiorem wzajemnie powiązanych ze sobą elementów potencjalnych
i kinetycznych (czyli konserwatywnych) oraz elementów dyssypatywnych rozpraszających jedynie
energię, a takŜe źródeł doprowadzających lub odprowadzających energię. W elektromechanicznym
przetwarzaniu energii biorą udział jedynie elementy konserwatywne i energia w nich zgromadzona
jest podstawą dla opisu tego procesu. Równania opisujące procesy zachodzące w układzie
elektromechanicznym, czyli zmiany w czasie współrzędnych, prędkości sił oraz pędów
elektromechanicznych moŜna otrzymać stosując tzw. „formalizm Lagrange’a”, czyli procedurę
tworzenia równań na podstawie funkcji opisujących całkowitą energię i koenergię wszystkich
elementów tworzących układ elektromechaniczny.
W
największym
uproszczeniu
proces
zapisywania
równań
Lagrange’a
dla
układu
elektromechanicznego jest następujący. NaleŜy utworzyć funkcję, która stanowi róŜnicę koenergii
kinetycznej
ko
E
oraz energii potencjalnej w układzie, nazywaną funkcją Lagrange’a
p
ko
E
E
L
−
=
(2.11)
Koenergię kinetyczną otrzymuje się sumując koenergię kaŜdego z elementów kinetycznych układu, a
energię potencjalną otrzymuje się sumując energie wszystkich jego elementów potencjalnych.
Koenergię kinetyczną oraz energię potencjalną w funkcji Lagrange’a naleŜy wyrazić przez
współrzędne i prędkości które są od siebie niezaleŜne, tj. przez taki zbiór współrzędnych i prędkości
elektromechanicznych, które są liniowo niezaleŜne w rozumieniu matematyki. Dla przypomnienia,
zbiór wielkości
)
,...,
,
(
N
2
1
x
x
x
jest liniowo niezaleŜny, jeŜeli ich kombinacja liniowa
N
N
2
2
1
1
a
a
a
x
x
x
+
+
+
L
daje wartość zero jedynie, gdy wszystkie współczynniki
N
2
1
a
,...,
a
,
a
są równe
zero. JeŜeli takich współrzędnych oraz prędkości jest ‘N’, to układ elektromechaniczny jest opisywany
układem równań róŜniczkowych o postaci
n
n
n
f
x
L
x
L
t
=
∂
∂
−
∂
∂
&
d
d
dla
}
N
,...,
2
,
1
{
∈
n
(2.12)
Najlepiej jest prześledzić proces zapisywania równań na bardzo prostym przykładzie. Niech będzie
to elementarny obwód utworzony przez szeregowo połączone elementy R, L, C oraz źródło napięcia
e(t), przedstawiony na Rys. 2.5. Formalnie obwód ten moŜna rozpatrywać jako układ
elektromechaniczny, w którym współrzędną elektromechaniczną jest ładunek q, a prędkością jest prąd
i.
i
L
C
u
R
e
Rys. 2.5. Szeregowy obwód R, L ,C jako przykład układu elektromechanicznego
Aby zapisać równanie tego układu naleŜy określić funkcje energii oraz ko energii poszczególnych
elementów, a następnie zapisać funkcję Lagrange’a
2
ko
L
2
1
i
E
=
,
C
2
1
2
p
q
E
=
,
C
2
1
L
2
1
2
2
p
ko
q
i
E
E
L
−
=
−
=
8
W tym przypadku układ ma jedną współrzędną, gdyŜ prąd cewki i ładunek kondensatora są powiązane
związkiem
t
q
i
d
d
=
, więc do opisu wystarczy jedno równanie Lagrange’a. Ma ono ma postać
u
q
L
i
L
t
=
∂
∂
−
∂
∂
d
d
gdyŜ
q
x
=
oraz
i
x
=
&
. Wykonując w tym równaniu otrzymuje się
u
q
i
t
=
−
−
)
C
(
)
L
(
d
d
Napięcie występujące po prawej stronie tego równania (czyli zewnętrza siła elektromechaniczna)
reprezentuje energię doprowadzaną i odprowadzaną do elementów konserwatywnych (czyli cewki i
kondensatora). W rozpatrywanym obwodzie napięcie to wynosi
i
e
u
R
−
=
. Uwzględniając związek
i
t
q
d
d
=
, po uporządkowaniu otrzymuje się dobrze znane napięciowe równanie Kirchoffa tego obwodu
e
q
t
q
t
q
=
+
+
C
d
d
R
d
d
L
2
2
Jest to równanie, które w teorii obwodów wyraŜa ogólna zasadę, Ŝe suma napięć w zamkniętym oczku
jest równa zero. W nomenklaturze elektromechaniki równanie to wyraŜa równowagę sił
elektromechanicznych. Równanie to w klasyfikacji matematyki jest równaniem róŜniczkowych
zwyczajnym liniowym o współczynnikach stałych. Tego typu równanie moŜna bardzo prosto
rozwiązać, co pozwala analizować właściwości zmian ładunku i prądu elektrycznego w takim
obwodzie.
Ta sama procedura zapisywania równań moŜe być zastosowana do układu mechanicznego
przedstawionego na Rys. 2.6., w którym masa M porusza się liniowo bez tarcia, lecz jej ruch jest
ograniczony idealną spręŜyną o stałej K oraz tłumikiem o stałej D. Jest to takŜe przykład układu
elektromechanicznego o współrzędnej x oraz prędkości v.
z
f
Rys. 2.6. Elementarny układ mechaniczny jako przykład układu elektromechanicznego
Analogicznie jak poprzednio, naleŜy określić funkcje energii oraz koenergii, a następnie funkcję
Lagrange’a
2
ko
M
2
1
v
E
=
,
2
p
K
2
1
x
E
=
,
2
2
p
ko
K
2
1
M
2
1
x
v
E
E
L
−
=
−
=
Ten układ ma takŜe tylko jedną współrzędną x, więc do opisu wystarczy jedno równanie Lagrangea’a
9
f
x
L
v
L
t
=
∂
∂
−
∂
∂
d
d
gdyŜ
x
x
=
oraz
v
x
=
&
. Po wykonaniu przewidzianych operacji matematycznych trzymuje się
f
x
v
t
=
−
−
)
K
(
)
M
(
d
d
Zewnętrza siła
z
f
działająca na masę zgodnie z umownie przyjętym kierunkiem ruchu ma znak
dodatni, natomiast element tłumiący wprowadza zawsze siłę przeciwna do ruchu, czyli ujemną
v
f
f
z
D
−
=
. PoniewaŜ
v
t
x
d
d
=
, po uporządkowaniu otrzymuje się elementarne równanie ruchu tego
układu
z
f
x
t
x
t
x
=
+
+
K
d
d
D
d
d
M
2
2
wyraŜające równowagę sił działających na masę. Analogicznie jak poprzednie równanie obwodu R, L,
C jest równanie róŜniczkowe zwyczajne liniowe o współczynnikach stałych. Równanie takie moŜna
łatwo rozwiązać i określić zachowanie się tego układu.
Te dwa przykłady pokazują, Ŝe stosując jedną metodykę – zwaną formalizmem Lagrange’a – moŜna
opisywać zarówno obwody elektryczne jak i układy mechaniczne.
W konsekwencji, formalizm Lagrange’a pozwala opisywać układy elektromechaniczne, co ilustruje
poniŜszy przykład. Układy z Rys. 2.5 oraz Rys. 2.6. zostały ze sobą powiązane tak, Ŝe masa,
wykonana z materiału ferromagnetycznego, porusza się wewnątrz cewki.
i
L(x)
C
R
e
M
K
x
D
Rys. 2.7. Przykład elementarnego układu elektromechanicznego
Zmiana połoŜenia materiału ferromagnetycznego w cewce powoduje, Ŝe energia pola magnetycznego
(więc takŜe i koenergia) zmienia się, staję się więc zaleŜna od połoŜenia. Obecnie funkcje koenergii,
energii oraz funkcja Lagrange’a mają postaci
2
2
ko
M
2
1
)
L(
2
1
v
i
x
E
+
=
2
2
p
K
2
1
C
2
1
x
q
E
+
=
+
−
+
=
−
=
2
2
2
2
p
ko
K
2
1
C
2
1
M
2
1
)
L(
2
1
x
q
v
i
x
E
E
L
10
W zapisie funkcji koenergii cewki symbolicznie zaznaczono, Ŝe jej indukcyjność jest zaleŜna od
połoŜenia ferromagnetycznej zwory w cewce. Ten układ elektromechaniczny ma dwie niezaleŜne
współrzędne i prędkości:
q
x
=
1
,
x
x
=
2
oraz
i
x
=
1
&
,
v
x
=
2
&
, naleŜy więc zapisać dwa równania
Lagrange’a:
i
e
q
L
i
L
t
R
d
d
−
=
∂
∂
−
∂
∂
v
f
x
L
v
L
t
z
D
d
d
−
=
∂
∂
−
∂
∂
Wykonanie operacji matematycznych przewidzianych w tych równaniach daje równania
(
)
i
e
q
i
x
t
R
)
C
(
)
L(
d
d
−
=
−
−
( )
v
f
x
i
x
x
v
t
z
D
K
)
L(
2
1
M
d
d
2
−
=
−
∂
∂
−
Po uporządkowaniu tych równań otrzymuje się:
t
q
x
x
t
x
e
q
t
q
t
q
x
d
d
)
L(
d
d
C
d
d
R
d
d
)
L(
2
2
∂
∂
−
=
+
+
2
2
2
d
d
)
L(
2
1
K
d
d
D
d
d
M
∂
∂
+
=
+
+
t
q
x
x
f
x
t
x
t
x
z
W tych równaniach po prawej stronie występują człony, które pojawiły się w wyniku sprzęŜenia
zjawisk elektrycznych i mechanicznych. W równaniu napięć pojawił się dodatkowy człon określający
napięcie wywoływane ruchem ferromagnetycznej zwory w cewce, a w równaniu ruchu
mechanicznego pojawił się człon określający siłę wywoływaną przez prąd w cewce. Oznacza to, Ŝe
moŜna wytwarzać energię elektryczną w rozpatrywanym obwodzie elektrycznym wywołując ruch
zwory w cewce lub generować energię mechaniczną w wyniku przepływu prądu przez cewkę. Śledząc
przyczynę pojawienia się tych członów w równaniach nietrudno dojść do wniosku, Ŝe pojawiły się one
gdyŜ zmiana połoŜenia elementu ferromagnetycznego (masy) powodowała zmianę koenergii, więc
równieŜ energii cewki. Energia jednego z elementów układu elektromechanicznego zaleŜała zarówno
od wielkości elektrycznej jak i od wielkości mechanicznej. Jest to elementarny warunek przemiany
energii w układzie elektromechanicznym. Człony pojawiające się w wyniku sprzęŜenia zjawisk
elektrycznych i mechanicznych stanowią nieliniowe funkcje prądu oraz prędkości, mimo, Ŝe kaŜdy z
elementów tworzących ten układ elektromechaniczny ma liniową charakterystykę. To powoduje, Ŝe
otrzymane równania stanowią nieliniowy układ równań róŜniczkowych zwyczajnych. Jest to istotna
trudność, gdyŜ matematyka nie podaje efektywnego sposobu znajdywania rozwiązań takich równań w
postaci funkcji elementarnych. W praktyce inŜynierskiej tego typu równania rozwiązuje się metodami
numerycznymi przy uŜyciu wyspecjalizowanych pakietów obliczeniowych.
11
Przykłady
P. 2.1/. Dla układu elektromechanicznego z poniŜszego rysunku zapisać równania Lagrange’a i
sprowadzić je do postaci normalnej.
0
ε
1
ε
Rozwiązanie rozpoczniemy od zapisania funkcji Lagrange’a na którą składają się ko-energie
kinetyczne oraz energie potencjalne elementów całego układu.
+
−
+
=
−
=
2
2
2
2
p
ko
K
2
1
)
C(
2
1
M
2
1
L
2
1
x
x
q
v
i
E
E
L
gdzie M jest masą poruszającej się okładziny natomiast pojemność kondensatora jest funkcją
połoŜenia tej okładziny. MoŜna dostrzec, Ŝe układ pojemności stanowi szeregowe połączenie dwóch
kondensatorów płaskich o pojemnościach
1
C i
)
(
C
0
x . Pojemność wypadkowa jest sumą odwrotności
poszczególnych pojemności i zatem będzie wynosić
)
(
C
C
)
(
C
C
)
C(
0
1
0
1
x
x
x
+
⋅
=
gdzie
d
S
x
1
1
)
(
C
ε
=
;
x
l
S
x
−
ε
=
0
0
)
(
C
Po podstawieniu zaleŜności obowiązujących dla pojemności kondensatorów płaskich otrzymamy
zaleŜność na pojemność
)
C(x w postaci
)
(
)
C(
1
0
1
0
x
l
d
S
x
−
ε
+
ε
ε
ε
=
Zapisujemy ogólną postać równań Lagrange’a dla dwóch stopni swobody (N=2) wynikającą z liczby
współrzędnych niezaleŜnych występujących w funkcji Lagrange’a.
−
=
∂
∂
−
∂
∂
−
=
∂
∂
−
∂
∂
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
d
d
d
d
x
D
f
x
L
x
L
t
x
D
f
x
L
x
L
t
&
&
&
&
12
Przypisujemy wielkości wg oznaczeń na rysunku współrzędnym i prędkościom uogólnionym oraz
siłom zewnętrznym i współczynnikom dyssypacji.
D
;
0
;
;
R
;
;
;
2
2
2
2
1
1
1
1
=
=
=
=
=
=
=
=
D
f
v
x
x
x
D
e
f
i
x
q
x
&
&
Uwaga: Znak sił uogólnionych przyjmujemy za dodatni, jeŜeli działają zgodnie z kierunkiem
współrzędnych!
Podstawiamy przypisane zaleŜności do ogólnej postaci równań Lagrange’a.
−
=
∂
∂
−
∂
∂
−
=
∂
∂
−
∂
∂
v
x
L
v
L
t
i
e
q
L
i
L
t
D
0
d
d
R
d
d
Podstawiamy do powyŜszych równań funkcję Lagrange’a i wykonujemy stosowne róŜniczkowania.
−
=
∂
∂
−
−
−
−
=
−
−
v
x
x
q
x
v
t
i
e
x
q
i
t
D
)
)
(
C
1
(
2
K
(
)
M
(
d
d
R
)
)
(
C
(
)
L
(
d
d
2
Przekształcamy powyŜszy układ równań do postaci normalnej
=
−
−
=
=
−
−
=
v
t
x
v
f
t
i
t
i
x
q
e
t
e
d
dx
)
K
D
(
M
1
d
dv
d
dq
)
R
)
(
C
(
L
1
d
di
gdzie
S
q
x
x
q
f
e
0
2
2
2
)
)
(
C
1
(
2
ε
=
∂
∂
−
=
Siła przyciągania okładziny
e
f pochodzi z układu elektrycznego i wynika ze zmian pojemności
kondensatora pod wpływem ruchu okładziny.
13
P. 2.2/. Dla układu elektromechanicznego z poniŜszego rysunku zapisać równania przetwornika w
postaci normalnej oraz określić formułę na moment elektromagnetyczny działający na
ferromagnetyczny rdzeń.
i
)
(
L
ϕ
J
ϕ
u
z
m
Rozwiązanie jak zwykle rozpoczniemy od zapisania funkcji Lagrange’a
2
2
ko
p
ko
J
2
1
)
L(
2
1
ω
+
ϕ
=
=
−
=
i
E
E
E
L
gdzie J jest momentem bezwładności, natomiast indukcyjność cewki
)
L(
ϕ
jest funkcją połoŜenia
kątowego rdzenia.
Zapisujemy ogólną postać równań Lagrange’a dla dwóch stopni swobody (N=2) wynikającą z liczby
współrzędnych niezaleŜnych występujących w funkcji Lagrange’a.
−
=
∂
∂
−
∂
∂
−
=
∂
∂
−
∂
∂
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
d
d
d
d
x
D
f
x
L
x
L
t
x
D
f
x
L
x
L
t
&
&
&
&
Przypisujemy wielkości wg oznaczeń na rysunku współrzędnym i prędkościom uogólnionym oraz
siłom zewnętrznym i współczynnikom dyssypacji.
D
;
;
;
R
;
;
;
2
2
2
2
1
1
1
1
=
−
=
ω
=
ϕ
=
=
=
=
=
D
m
f
x
x
D
u
f
i
x
q
x
z
&
&
Podstawiamy przypisane zaleŜności do ogólnej postaci równań Lagrange’a.
ω
−
−
=
ϕ
∂
∂
−
ω
∂
∂
−
=
∂
∂
−
∂
∂
D
d
d
R
d
d
z
m
L
L
t
i
u
q
L
i
L
t
Podstawiamy do powyŜszych równań funkcję Lagrange’a i wykonujemy stosowne róŜniczkowania
ω
−
−
=
ω
−
=
ϕ
D
)
J
(
d
d
R
)
)
(
L
(
d
d
z
em
m
m
t
i
u
i
t
14
gdzie
ϕ
∂
ϕ
∂
=
ϕ
∂
∂
=
)
L(
2
1
2
i
L
m
em
jest momentem elektromagnetycznym przetwornika
Po przekształceniach powyŜszych równania do postaci normalnej otrzymujemy
ω
=
ϕ
ω
−
−
ϕ
∂
ϕ
∂
=
ω
ϕ
∂
ϕ
∂
ω
−
−
ϕ
=
t
m
i
t
i
i
u
t
i
z
d
d
)
D
)
L(
(
J
1
d
d
)
)
(
L
R
(
)
(
L
1
d
d
2
2
1
P. 2.3/. Wyznaczyć wartość siły elektromagnesu podmagnesowywanego magnesem trwałym.
∞
→
µ
Fe
r
∞
→
µ
Fe
r
i
S
x
M
m
l
i
S
S
z
z
∞
→
µ
Fe
r
S
Przedstawiony system elektromechaniczny jest układem o dwóch stopniach swobody, ze względu na
prąd płynący przez cewkę oraz ruch ferromagnetyka o masie M. Jak to zostało zauwaŜone wcześniej
zmiany energii po odpowiedniej współrzędnej prowadzić będą do generowania dodatkowych sił. W
układzie elektrycznym będzie to prowadziło do wytwarzania dodatkowych napięcie (np. w układzie z
cewką indukować się będzie SEM), natomiast w układzie mechanicznym powstawać będzie siła
elektromagnetyczna. JeŜeli w układzie nie występują kondensatory o pojemnościach zaleŜnych od
współrzędnej mechanicznej to wystarczy dla określenia siły elektromagnetycznej rozpatrywanie zmian
ko-energii układu elektrycznego po współrzędnej mechanicznej. Formuła na siłę elektromagnetyczną
przybiera, zatem formę
x
x
i
E
x
f
em
∂
∂
=
)
,
(
)
(
0
Zgodnie z rozwaŜaniami zamieszczonymi w dodatku wg formuły (D.50) wynika, Ŝe ko-energia układu
elektromagnetycznego złoŜonego z cewki oraz magnesu trwałego w obwodzie magnetycznym
wynosić będzie
µ
µ
µ
+
+
=
+
ψ
+
=
R
F
i
R
F
i
R
E
i
i
E
m
m
m
2
2
1
2
2
2
1
0
0
2
2
1
0
w
w
L
Przenosząc te rozwaŜania na nasz przykład otrzymamy
15
)
(
2
)
(
2
2z
)
(
2
(2z)
)
(
)
(
)
L(
)
,
(
2
2
1
2
2
2
1
0
0
2
2
1
0
x
R
R
F
i
x
R
R
F
i
x
R
R
x
E
i
x
i
x
x
i
E
x
m
m
x
m
m
x
m
m
µ
µ
µ
µ
µ
µ
+
+
+
+
+
=
=
+
ψ
+
=
gdzie
0
'
/
µ
=
m
r
m
l
B
F
- siła magnetomotoryczna magnesu (
rm
m
m
l
l
µ
=
/
'
)
S
l
R
m
m
0
'
µ
=
µ
- reluktancja magnesu trwałego
S
x
x
R
x
0
)
(
µ
=
µ
- reluktancja szczeliny powietrznej
Po podstawieniu zaleŜności określających reluktancje do formuły na ko-energię układu elektrycznego,
otrzymamy
x
l
S
F
i
x
l
S
F
i
x
l
S
x
i
E
m
m
m
m
m
2
2
2z
2
(2z)
)
,
(
'
0
2
2
1
'
0
2
'
0
2
2
1
0
+
µ
+
+
µ
+
+
µ
=
Wykonując róŜniczkowanie po współrzędnej mechanicznej x otrzymujemy zaleŜność przedstawiająca
siłę elektromagnesu
2
'
0
2
2
'
0
2
2
'
0
2
)
2
(
)
2
(
4z
)
2
(
4z
)
,
(
x
l
S
F
i
x
l
S
F
i
x
l
S
x
i
f
m
m
m
m
m
em
+
µ
−
+
µ
−
+
µ
−
=
Na uwagę zasługuje fakt ujemnego znaku siły, co świadczy o tym, Ŝe działa ona przeciwnie do
kierunku przyjętej współrzędnej mechanicznej.
Zadania
Zad. 2.1/. Wyznaczyć energię cewki o nieliniowej charakterystyce
3
ψ
=
a
i
.
Zad. 2.2/. Wyznaczyć konergię cewki o charakterystyce
3
i
a
=
ψ
.
Zad. 2.3/. Widząc, Ŝe wartość koenergii cewki o charakterystyce
3
ai
=
ψ
dla prądu 1A wynosi 30 J,
wyznaczyć wartość energii.
Zad. 2.4/. Jaka jest róŜnica pomiędzy wartością koenergii i energii dla cewki o charakterystyce
3
008
,
0
i
i
⋅
−
=
ψ
zakładając, Ŝe przez cewkę płynie prąd 5A ?
Zad. 2.5/. Dla kondensatora o charakterystyce
3
aQ
U
=
wyznaczyć funkcję energii.
Zad. 2.6/. Wiedząc, Ŝe energia kondensatora o charakterystyce
4
4
1
aQ
E
=
wynosi 0,25J przy napięciu
10V, wyznaczyć wartość ładunku kondensatora.
Zad. 2.7/. Dla układu z rysunku zapisać funkcję Lagrange’a oraz odpowiadające jej równania wiedząc,
Ŝe
3
a
i
=
ψ
.
16
Zad. 2.8/. Dla układu z rysunku zapisać funkcję Lagrange’a oraz odpowiadające jej równania, jeŜeli
siła spręŜyny wyraŜa się funkcją F =a x
3
.
Zad. 2.9/. Dla układu z rysunku zapisać funkcję Lagrange’a oraz odpowiadające jej równania.
ψ
(i)
C
R
u(t)
x
ϕ
J
m
z
M
Q =
Mg
a
M
F
z
=
Mg
x
17
Zad. 2.10/. Dla układu z rysunku zapisać funkcję Lagrange’a oraz odpowiadające jej równania.
Zad. 2.11/. Dla układu z rysunku zapisać funkcję Lagrange’a oraz odpowiadające jej równania.
Zad. 2.12/. Dla solenoidu przedstawionego na poniŜszym rysunku (a=2mm, b=20mm), obliczyć siłę z
jaką przyciągany jest nurnik, gdy szczelina powietrzna
δ
l
=5mm, a cewka o liczbie
zwojów
w =500 zasilona została prądem
I
i
=
=
10A.
i
w
a
b
r
δ
l
∞
→
µ
Fe
r
∞
→
µ
Fe
r
Zad. 2.13/. Dla układu elektromechanicznego z rysunku, na którym dielektryk o masie M jest
wciągany do kondensatora, zapisać równania Lagrange’a. Określić wielkość siły
pochodzącej z układu elektrycznego (Uwaga - naleŜy zauwaŜyć, Ŝe powstaje układ
dwóch równolegle połączonych pojemności).
18
0
ε
1
ε
Zad. 2.14/. Dla układu elektromagnetycznego złoŜonego z cewki 1 (cewka posiada
1
w
zwojów oraz
została zasilona prądem stałym
I
i
1
=
) nawiniętej na stalowym rdzeniu o nieskończonej
przenikalności magnetycznej z szczeliną powietrzną
δ
l
, obliczyć wartość SEM
indukowanej w poruszającej się cewce 2 (posiadającej
2
w
zwojów) umieszczonej w
szczelinie.
1
i
1
w
δ
l
b
a
S
⋅
=
∞
→
µ
Fe
r
x
a
b
d
b
2
w
Zad. 2.15/. Wyznaczyć wartość prądu cewki
I
i
=
taką, aby elektromagnes mógł podnieść
ferromagnetyczny rdzeń o zadanej masie M.
i
w
δ
l
∞
→
µ
Fe
r
∞
→
µ
Fe
r
∞
→
µ
Fe
r
x
S
S
S
S
M
19
Zad. 2.16/. Wyznaczyć wartość siły z jaką magnes przyciąga ferromagnetyczny rdzeń.
δ
l
∞
→
µ
Fe
r
x
S
S
S
S
m
l
∞
→
µ
Fe
r
M
Zad. 2.17/. Wyznaczyć wartość siły przyciągającej elektromagnesu.
∞
→
µ
Fe
r
∞
→
µ
Fe
r
i
w
2
d
S
=
a
x
M
2
d
S
=
K
D
Zad. 2.18/. Wyznaczyć wartość siły z jaką jednolity magnes trwały przyciąga Ŝelazny rdzeń.
m
l
∞
→
µ
Fe
r
x
S
S
S
M
1
≈
µ
m
r
S
N