Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

1

4.



4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

Rozdział ten poświęcony jest wyprowadzeniu twierdzenia o pracy wirtualnej, jednak wywód należy

poprzedzić wyjaśnieniem dwóch zagadnień: przemieszczenia wirtualnego (niezbędne w wirtualnym stanie
przemieszczeń) oraz obciążenia wirtualnego (niezbędne w wirtualnym stanie obciążeń).

Przemieszczenie wirtualne musi spełniać kilka charakterystycznych, ale bardzo ważnych warunków,

musi być:

•

pomyślane,

•

możliwe, tzn. kinematycznie dopuszczalne,

•

niezależne od czynników zewnętrznych (np. obciążeń),

•

bardzo małe w porównaniu z wymiarami ciała,

•

niezależne od czasu,

•

ciągłe (co najmniej raz różniczkowalne).

Obciążenie wirtualne (zewnętrzne lub wewnętrzne) podobnie jak przemieszczenie musi być:

•

pomyślane,

•

możliwe, tzn. kinematycznie dopuszczalne,

•

niezależne od czynników zewnętrznych (np. obciążeń),

•

małe w odniesieniu do wymiarów i obciążeń zewnętrznych,

•

niezależne od czasu,

•

nie musi być ciągłe (może być punktowe) – zasada de Saint-Venanta.

4.1. Wirtualny stan przemieszczeń

Interpretacja:

Przyjmujemy dowolny układ pozostający w równowadze

p(x)

U(x)

Rys. 4.1. Rzeczywisty model układu prętowego, obciążonego rzeczywistymi siłami p(x), pod wpływem których

doznaje przemieszczeń

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

2

U(x)

M

V

H

Rys. 4.2. Ten sam układ ale z wymuszonym przemieszczeniem wirtualnym

U

 x

(kinematycznie dopuszczalnym)

Wyprowadzenie:

Przyjmujemy dowolny pręt (rys. 4.3) o długości skończonej

l , końcach i, k oraz dowolnie obciążony siłami

zewnętrznymi

p(x).

k

i

l

p(x)

Rys. 4.3. Pręt o długości l

Wyobraźmy sobie następnie bardzo mały fragment tego pręta o długości

dx (rys. 4.4). Działają na niego siły

uogólnione, wewnętrzne przyjmujące dowolną kombinację, powstałą od sił normalnych, tnących i momentów.

p(x)

T(x)

N(x)

N(x)+dN(x)

M(x)

M(x)+dM(x)

dx

T(x)+dT(x)

Rys. 4.4. Fragment pręta dx

W celu uproszczenia obliczeń przeanalizujemy kolejno przypadki obciążeń: siłą normalną, siłą tnącą i
momentem zginającym.

4.1.1. Przypadek I (działanie sił normalnych)

Zakładamy, że dowolne obciążenie pręta siłą

p(x) powoduje powstanie tylko sił biernych poziomych Q

i

i

Q

k

wobec czego na nasz element

dx będzie działała tylko uogólniona siła normalna (podłużna, osiowa) N(x)

(rys. 4.5).

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

3

p(x)

N(x)

N(x)+dN(x)

dx

dy

k

i

l

p(x)

Q

i

Q

k

Rys. 4.5. Działanie uogólnionej siły normalnej w pręcie i w elemencie dx

Zapisujemy równanie równowagi dla elementu

dx (tzn. w każdym punkcie tego pręta) otrzymujemy wyrażenie:

∑

X

=0  −N  xN xdN x p xdx=0

dN

 x p xdx=0/: dx

dN

x

dx

 px=0

(4.1)

Następnie nadajemy temu prętowi pewne wirtualne przemieszczenie (rys. 4.6), zgodnie z działaniem
uogólnionych sił normalnych, spełniające warunki podane na początku rozdziału. Przyjmujemy jego wartość
równą

 ux

i

k

δu(X)

u

k

u

i

Rys. 4.6. Wirtualne przemieszczenie pręta

Mnożymy równanie (4.1) obustronnie przez przemieszczenie wirtualne

 ux

a następnie całkujemy w

granicach od

x=0 do x=l,:

[

dN

x

dx

 p x

]

 ux=0

∫

0

l

 ux

[

dN

 x

dx

 p x

]

dx

=0

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

4

∫

0

l

 ux

dN

 x

dx

dx



∫

0

l

 ux pxdx=0

(4.2)

W celu obliczenia całki

∫

0

l

 ux

dN

 x

dx

dx

skorzystamy z twierdzenia o całkowaniu przez części,

∫

udv

=uv−

∫

vdu

u

= ux

dv

=

dN

 x

dx

dx

du

=

d

 ux

dx

dx

v

=

∫

dN

 x

dx

dx

=N  x

∫

0

l

 ux

dN

 x

dx

dx

= ux N x

∣

0

l

−

∫

0

l

N

x

d

 ux

dx

dx

Równanie (4.2) uzyska więc postać:

 ux N x

∣

0

l

−

∫

0

l

N

 x

d

 ux

dx

dx



∫

0

l

 ux pxdx=0

 ul N l− u0 N 0−

∫

0

l

N

x

d

 ux

dx

dx



∫

0

l

 ux pxdx=0

u

k

Q

k

−u

i

−Q

i



∫

0

l

 ux pxdx=

∫

0

l

N

 x

d

 ux

dx

dx

(4.3)

Znak “-” przy sile

Q

i

wynika z tego, że Q

i

jest siłą ściskającą (z założenia dodatni znak mają jedynie siły

powodujące rozciąganie pręta) (rys. 4.7)

Q

i

Q

k

i

k

Rys. 4.7. Znakowanie sił

Po uporządkowaniu otrzymano zależność:

Q

k

u

k

Q

i

u

i



∫

0

l

 ux pxdx=

∫

0

l

N

x

d

 ux

dx

dx

(4.4)

gdzie:

Q

k

u

k

Q

i

u

i

- całkowita praca sił zewnętrznych (biernych) na przemieszczeniach wirtualnych,

∫

0

l

 ux pxdx

- całkowita praca sił zewnętrznych (czynnych) na przemieszczeniach wirtualnych,

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

5

∫

0

l

N

 x

d

 ux

dx

dx

- całkowita praca sił wewnętrznych (normalnych) na wirtualnych przemieszczeniach

wewnętrznych.

Wobec oznaczeń:

L

z

=Q

k

u

k

Q

i

u

i



∫

0

l

 ux pxdx

L

w

=

∫

0

l

N

 x

d

 ux

dx

dx

(4.5)

mamy:

L

z

=L

w

(4.6.)

L

z

- praca wszystkich rzeczywistych sił czynnych obciążających układ oraz biernych, pracujących na

przemieszczeniach wirtualnych (wymuszonych kinematycznie),

L

w

- praca wszystkich sił wewnętrznych rzeczywistych na wirtualnych przemieszczeniach wewnętrznych.

Definicja:

Praca rzeczywistych sił zewnętrznych (biernych i czynnych) na przemieszczeniach wirtualnych jest równa
pracy sił wewnętrznych (wynikających z działania obciążeń zewnętrznych) na wewnętrznych
przemieszczeniach wirtualnych.

Wniosek:

∑

k

P

k





k



∑

j

R

j





j



∑∫

s

p

susds=

∫

s

N

xxdx

d

 ux

dx

=x

(4.7)

gdzie:

P

k

- siły czynne skupione,

R

j

- siły bierne,

p

s

- obciążenie rozłożone na pręcie czynne,

N

x

- siły wewnętrzne.

Warto zaznaczyć, że we wzorze nadal obowiązują zależności fizyczne odpowiadające stanowi wirtualnemu:

x=

N x

EA

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

6

4.1.2. Przypadek II (działanie sił tnących)

Zakładamy, że dowolne obciążenie pręta siłą

p(x) powoduje powstanie tylko sił biernych pionowych T

i

i

T

k

wobec czego na nasz element

dx będzie działała tylko uogólniona siła tnąca (poprzeczna) T(x) (rys. 4.8)

k

i

T

i

T

k

l

p(x)

dx

p(x)

T(x)

T(x)+dT(x)

Rys. 4.8. Działanie sił poprzecznych na pręt i na wycinek pręta

Zapisując równanie równowagi dla elementu

dx (tzn. w każdym punkcie tego pręta) otrzymujemy wyrażenie:

∑

Z

=0  −T xT  xdT x p xdx=0

dT

 x pxdx=0/: dx

dT

 x

dx

 px=0

(4.8)

Następnie nadajemy temu prętowi pewne wirtualne przemieszczenie (rys. 4.9), zgodnie z działaniem
uogólnionych sił poprzecznych (tnących), spełniające warunki podane na początku rozdziału. Przyjmujemy
jego wartość równą:

 vx

v

i

v

k

δv(x)

Rys. 4.9. Wirtualne przemieszczenie pręta

Mnożymy równanie (4.8) obustronnie przez przemieszczenie wirtualne

 v x

a następnie całkujemy w

granicach od

x=0 do x=l :

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

7

[

dT

 x

dx

 px

]

 vx=0

∫

0

l

 vx

[

dT

 x

dx

 px

]

dx

=0

∫

0

l

 vx

dT

 x

dx

dx



∫

0

l

 vx pxdx=0

(4.9)

W celu obliczenia całki

∫

0

l

 vx

dT

 x

dx

dx

skorzystamy z twierdzenia o całkowaniu przez części,

∫

udv

=uv−

∫

vdu

u

= vx

dv

=

dT

 x

dx

dx

du

=

d

 vx

dx

dx

v

=

∫

dT

x

dx

dx

=T  x

∫

0

l

 vx

dT

 x

dx

dx

= vxT x

∣

0

l

−

∫

0

l

T

 x

d

 vx

dx

dx

Równanie (4.9) uzyska więc postać:

 vxT x

∣

0

l

−

∫

0

l

T

 x

d

 vx

dx

dx



∫

0

l

 vx pxdx=0

 vlT l−v0T 0−

∫

0

l

T

 x

d

 vx

dx

dx



∫

0

l

 vx pxdx=0

v

k

T

k

−v

i

−T

i



∫

0

l

 vx pxdx=

∫

0

l

T

 x

d

 vx

dx

dx

(4.10)

Znakowanie: Przyjęto zasadę zgodności zwrotów sił

T

i

i T

k

oraz przemieszczeń im odpowiadającym V

i

i

V

k

(rys. 4.10).

i

k

T

i

T

k

Rys. 4.10. Dodatnie zwroty sił poprzecznych

Znaki w wyrażeniu (4.10) wynikają z faktu, że znak dodatni siły

T(0) jest przeciwny do założonego zwrotu

siły

T

i

, a znak dodatni siły T(l) jest zgodny z założonym zwrotem siły T

k .

T

k

v

k

T

i

v

i



∫

0

l

vx pxdx=

∫

0

l

T

 x

d

 vx

dx

dx

(4.11)

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

8

W równaniu (4.11) poszczególne człony oznaczają:

T

k

v

k

T

i

v

i

- całkowita praca sił zewnętrznych (biernych) na przemieszczeniach wirtualnych,

∫

0

l

 vx pxdx

- całkowita praca sił zewnętrznych (czynnych) na przemieszczeniach wirtualnych,

∫

0

l

T

x

d

 vx

dx

dx

- całkowita praca sił wewnętrznych (tnących) na wirtualnych przemieszczeniach

wewnętrznych.

Wobec oznaczeń:

L

z

=T

k

v

k

T

i

v

i



∫

0

l

 vx pxdx

L

w

=

∫

0

l

T

 x

d

 vx

dx

dx

(4.12)

mamy:

L

z

=L

w

(4.13)

L

z

- praca wszystkich rzeczywistych sił czynnych obciążających układ oraz biernych pracujących na

przemieszczeniach wirtualnych (wymuszonych kinematycznie),

L

w

- praca wszystkich sił wewnętrznych rzeczywistych na wirtualnych przemieszczeniach wewnętrznych

Definicja:

Praca rzeczywistych sił zewnętrznych (biernych

R

j

i czynnych

P

k ,

p(s)) na przemieszczeniach wirtualnych jest

równa pracy sił wewnętrznych

T(x) (wynikających z działania obciążeń zewnętrznych) na wewnętrznych

przemieszczeniach wirtualnych.

Wniosek:

∑

k

P

k





k



∑

j

R

j





j



∑∫

s

p

svsds=

∫

s

T

 x 



śr

xdx

d

 vx

dx

= 



śr

x

(4.14)

gdzie:



śr

= 

Warto zaznaczyć, że we wzorze nadal obowiązują zależności fizyczne odpowiadające stanowi wirtualnemu.

x=

T x

GA

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

9

4.1.3. Przypadek III (działanie momentów zginających)

Zakładamy czyste zginanie tzn. dowolne obciążenie pręta

m(x) powoduje powstanie tylko sił biernych w

postaci momentów zginających

M

i

i M

k

,

stąd na nasz myślowo wycięty element

dx będzie działał tylko

uogólniony moment zginający

M(x) (rys. 4.11)

k

i

M

i

M

k

l

m(x)

m(x)

M(x)

M(x)+dM(x)

dx

Rys. 4.11. Działanie momentów zginających na pręt i na element dx

Zapisując równanie równowagi dla elementu

dx (tzn. w każdym punkcie tego pręta) otrzymujemy wyrażenie:

∑

M

=0  M  x−M x−dM  x−m xdx=0

−dM  x−m xdx=0/:−dx

dM

x

dx

m x=0

(4.15)

Następnie (analogicznie jak w poprzednim przypadku) nadajemy temu prętowi pewne wirtualne
przemieszczenie (rys. 4.12), zgodne z działaniem uogólnionych momentów zginających, o wartości równej

  x

l

φ

i

φ

k

δφ(x)

Rys. 4.12. Wirtualne przemieszczenie

Mnożymy równanie (4.15) obustronnie przez przemieszczenie wirtualne

 

 x

a następnie całkujemy w

granicach od

x=0 do x=l :

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

10

[

dM

 x

dx

mx

]

 x=0

∫

0

l

  x

[

dM

 x

dx

m x

]

dx

=0

∫

0

l

  x

dM

 x

dx

dx



∫

0

l

  xm xdx=0

(4.16)

W celu obliczenia całki

∫

0

l

  x

dM

 x

dx

dx

skorzystamy z twierdzenia o całkowaniu przez części,

∫

udv

=uv−

∫

vdu

u

=  x

dv

=

dM

 x

dx

dx

du

=

d

 x

dx

dx

v

=

∫

dM

 x

dx

dx

=M  x

∫

0

l

  x

dM

 x

dx

dx

= 

xM x

∣

0

l

−

∫

0

l

M

x

d

 x

dx

dx

Równanie (4.16) uzyska więc postać:

  xM  x

∣

0

l

−

∫

0

l

M

 x

d

  x

dx

dx



∫

0

l

 xm xdx=0

 l M l − 0M 0−

∫

0

l

M

x

d

  x

dx

dx



∫

0

l

 xmxdx=0



k

M

k

 

i

M

i



∫

0

l

  xm xdx−

∫

0

l

M

 x

d

  x

dx

dx

=0

(4.17)

Znaki w wyrażeniu (4.17) wynikają z faktu, że dodatni moment

M(0) jest zgodny z założonym dodatnim

momentem

M

i

,, a dodatni moment M(l) jest przeciwny do założonego dodatniego M

k

(przyjęto zasadę

zgodności dodatnich zwrotów

M

i

i M

k

oraz przemieszczeń im odpowiadających



i

,



k

) (rys. 4.13).

k

i

M

i

M

k

l

Rys. 4.13. Znakowanie sił

Po uwzględnieniu znaków otrzymano wyrażenie:

M

k



k

M

i



i



∫

0

l

 xmxdx=

∫

0

l

M

 x

d

  x

dx

dx

(4.18)

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

11

gdzie:

M

k



k

M

i



i

- całkowita praca sił zewnętrznych (biernych) na przemieszczeniach wirtualnych,

∫

0

l

  xm xdx

- całkowita praca sił zewnętrznych (czynnych) na przemieszczeniach wirtualnych,

∫

0

l

M

x

d

 x

dx

dx

- całkowita praca sił wewnętrznych (momentów) na wirtualnych przemieszczeniach

wewnętrznych.

Wobec oznaczeń:

L

z

=M

k



k

M

i



i



∫

0

l

  xm xdx

L

w

=

∫

0

l

M

 x

d

  x

dx

dx

(4.19)

mamy:

L

z

=L

w

(4.20)

L

z

- praca wszystkich rzeczywistych sił czynnych obciążających układ oraz biernych, pracujących na

przemieszczeniach wirtualnych (wymuszonych kinematycznie),

L

w

- praca wszystkich sił wewnętrznych rzeczywistych na wirtualnych przemieszczeniach wewnętrznych.

Definicja:

Praca rzeczywistych sił zewnętrznych (biernych

R

j

i czynnych

P

k

,

p(s)) na przemieszczeniach wirtualnych jest

równa pracy sił wewnętrznych

M(x) (wynikających z działania obciążeń zewnętrznych) na wewnętrznych

przemieszczeniach wirtualnych.

Wniosek:

∑

k

P

k





k



∑

j

R

j





j



∑∫

s

p

s sds=

∫

s

M

x xdx

d

  x

dx

= x

(4.21)

Warto zaznaczyć, że we wzorze nadal obowiązują zależności fizyczne odpowiadające stanowi wirtualnemu.

x=



M

x

EJ

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

12

4.1.4. Przypadek IV (wszystkie siły)

Zakładamy, że dowolne obciążenie pręta

p(x) powoduje powstanie dowolnych sił biernych w postaci

uogólnionych sił poziomych, pionowych i momentów zginających (rys. 4.14).

k

i

l

p(x)

p(x)

T(x)

N(x)

N(x)+dN(x)

M(x)

M(x)+dM(x)

dx

T(x)+dT(x)

M

i

M

k

Q

i

Q

k

T

i

T

k

Rys. 4.14. Działanie uogólnionych sił

Zapisując równania równowagi, dla elementu

dx (tzn. w każdym punkcie pręta) otrzymujemy:

∑

X

=0 

dN

 x

dx

 p

x

 x=0

∑

Z

=0 

dT

 x

dx

 p

z

 x=0

∑

M

=0 

dM

x

dx

−m x=0

(4.22)

Moment od sił tnących pomijamy, gdyż ramię działania tych sił jest bliskie zeru.

4.1.5. Podsumowanie

Korzystając z zasady superpozycji dokonujemy sumowania powyższych rozwiązań:

∑

k

P

k





k



∑

j

R

j





j



∑∫

s

p

susds=

∑

{

∫

s

N

 xxdx

∫

s

T

 x xdx

∫

s

M

 x xdx

}

(4.23)

gdzie:

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

13

∑

k

P

k





k

- całkowita praca sił czynnych (skupionych) na przemieszczeniach wirtualnych,

∑

j

R

j





j

- całkowita praca sił biernych (reakcji) na przemieszczeniach wirtualnych (osiadaniach),

∑∫

s

p

susds

- całkowita praca obciążeń ciągłych na przemieszczeniach wirtualnych.

Warto zaznaczyć, że we wzorze tym nadal obowiązują zależności fizyczne odpowiadające stanowi
wirtualnemu:

x=

N x

EA

 x=

T x

GA

x=



M

x

EJ

Praca sił zewnętrznych na przemieszczeniach wirtualnych równa się pracy sił wewnętrznych na
odkształceniach wirtualnych.

Twierdzenie:

Jeżeli na układ działa obciążenie zewnętrzne spełniające warunki równowagi, to obciążenie zewnętrzne
wykonuje na przemieszczeniach wirtualnych pracę równą pracy uogólnionych sił przekrojowych na
wirtualnych odkształceniach (na wirtualnych przemieszczeniach wewnętrznych).

4.2. Wirtualny stan obciążeń (naprężeń)

Dotychczas korzystaliśmy z twierdzenia, że siły zewnętrzne wykonywały pracę na wirtualnych

przemieszczeniach równą pracy sił wewnętrznych na wewnętrznych przemieszczeniach wirtualnych. Poniższy
wywód jest identyczny jak w akapicie poprzednim, przy czym następuje zamiana wielkości. Przemieszczenia,
odkształcenia są rzeczywiste (symbolika bez nadkreśleń) natomiast obciążenia zewnętrzne i wewnętrzne są
wirtualne (rys. 4.15). Musimy przy tym zaznaczyć, że wirtualne obciążenie spełnia warunki statycznej
dopuszczalności (jest możliwe), niezależne od obciążeń zewnętrznych, czasu. Jest małe w odniesieniu do
wymiarów układu.

dx

dU

F

F+dF

p(x)

Rys. 4.15. Obciążenia i przemieszczenie elementu dx

Twierdzenie:

Jeżeli na układ działa zewnętrzne obciążenie wirtualne, spełniające warunki równowagi, to wykonuje ono

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

14

pracę na rzeczywistych przemieszczeniach (wywołanych przez rzeczywiste obciążenia zewnętrzne) równą
pracy wirtualnych sił przekrojowych na rzeczywistych odkształceniach (na rzeczywistych przemieszczeniach
wewnętrznych).

L

w

=L

z

(4.24)

L

z

- praca sił wirtualnych pracujących na rzeczywistych przemieszczeniach (wytworzonych przez

rzeczywiste przemieszczenia)

L

w

- praca wszystkich wirtualnych sił wewnętrznych pracujących na rzeczywistych odkształceniach

(przemieszczeniach wewnętrznych)

Poniżej został stworzony rzeczywisty model układu (rys. 4.16), obciążony siłami

p(x), pod wpływem których

doznaje przemieszczeń

U(x).

p(x)

U(x)

Rys. 4.16. Model rzeczywisty

Kolejny rysunek (rys. 4.17) przedstawia ten sam układ ale obciążony siłami wirtualnymi

Px

, pod wpływem

których doznaje przemieszczeń wirtualnych

u x

.

U(x)

P

Rys. 4.17. Obciążenia wirtualne

Pracę sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach opisujemy wzorem:

∑

k

P

k



k



∑

j

R

j



j



∑∫

s

psusds=

∑

{

∫

s

N xxdx

∫

s

T x xdx

∫

s



M

 xxdx

}

(4.25)

Po uwzględnieniu związków fizycznych na rzeczywiste odkształcenia:

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

15

 x=

N

x

EA

=

N

P

EA

 x=

T

x

GA

=

T

P

GA

x=

M

x

EJ

=

M

P

EJ

Możemy ostatecznie zapisać wzór na pracę sił wirtualnych:

∑

k

P

k



k



∑

j

R

j



j



∑∫

s

psusds=

∑

{

∫

s

N x N

P

EA

dx



∫

s

T xT

P

GA

dx



∫

s



M

 x M

P

EJ

dx

}

(4.26)

gdzie:

∑

k

P

k



k



∑

j

R

j



j

- całkowita praca wirtualnych sił zewnętrznych (biernych

R

j

i czynnych

P

k

) na

przemieszczeniach rzeczywistych (np. osiadanie podpór),

∑∫

s

psusds

- całkowita praca wirtualnych sił zewnętrznych (czynnych) na rzeczywistych

przemieszczeniach,

∑

{

∫

s

N x N

P

EA

dx



∫

s

T xT

P

GA

dx



∫

s



M

x M

P

EJ

dx

}

- praca wszystkich wirtualnych sił wewnętrznych na

rzeczywistych odkształceniach (przemieszczeniach wewnętrznych).

N

x

- funkcja sił normalnych wywołana od obciążenia zewnętrznego (rzeczywistego),



N

x

- funkcja sił normalnych wywołana od obciążenia wirtualnego,

T

 x

- funkcja sił poprzecznych wywołana od obciążenia zewnętrznego (rzeczywistego),

T x

- funkcja sił poprzecznych wywołana od obciążenia wirtualnego,

M

 x

- funkcja momentów wywołana od obciążenia zewnętrznego (rzeczywistego),



M

x

- funkcja momentów wywołana od obciążenia wirtualnego.

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater