MO

Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15

1

Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –

ZADANIE 15

Z4/15.1. Zadanie 15

Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki prostej przedstawionej na rysunku

Z4/15.1. Wymiary belki podane są w metrach.

A

B

C

D

16,0 kN

32,0 kN/m

4,5

1,5

1,5

[m]

Rys. Z4/15.1. Belka prosta

Z4/15.2. Analiza kinematyczna belki

Rysunek Z4/15.2. przedstawia belkę prostą traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę

sztywną.

1

2

3

I

A

C

D

Rys. Z4/15.2. Belka prosta jako płaska tarcza sztywna

Tarcza sztywna na rysunku Z4/15.2 posiada trzy stopnie swobody. Jest ona podparta trzema prętami

podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem także trzy stopnie swobody. Został więc
spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4). Belka może więc być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.

Z4/15.3. Wyznaczenie reakcji podporowych

Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych musimy najpierw przyjąć ich dodatnie zwroty.

Rysunek Z4/15.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki.

Poziomą reakcję na podporze A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na

belkę na oś poziomą X.



X =H

A

=

0

H

A

=

0,0 kN

.

(Z4/15.1)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15

2

A

B

C

D

16,0 kN

32,0 kN/m

4,5

1,5

1,5

[m]

V

A

H

A

V

C

X

Y

Rys. Z4/15.3. Założone zwroty reakcji podporowych

Pionową reakcję na podporze A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających

na belkę względem punktu C.



M

C

=

V

A

⋅

6,0−32,0⋅4,5⋅

1

2

⋅

4,516,0⋅1,5=0

V

A

=

50,0 kN

.

(Z4/15.2)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

Pionową reakcję na podporze C otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających

na belkę względem punktu A.



M

A

=−

V

C

⋅

6,032,0⋅4,5⋅



1,5

1
2

⋅

4,5





16,0⋅7,5=0

V

C

=

110,0 kN

.

(Z4/15.3)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił

działających na belkę na oś pionową Y.



Y =V

A



V

C

−

32,0⋅4,5−16,0=50,0110,0−144,0−16,0=0

.

(Z4/15.4)

Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę zostały obliczone poprawnie i znajdują się
w równowadze.

Rysunek Z4/15.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach danej

belki.

A

B

C

D

16,0 kN

32,0 kN/m

4,5

1,5

1,5

[m]

50,0 kN

110,0 kN

Rys. Z4/15.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki prostej

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15

3

Z4/15.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB

Rysunek Z4/15.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

A

x

50,0 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z4/15.5. Siły działające w przedziale AB

W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu

zginającego będziemy korzystali z dwóch następujących zasad:

•

siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać
z minusem

•

siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy
zapisywać z plusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy
zapisywać z minusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego
będziemy zapisywać z plusem.

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.

Jak widać na rysunku Z4/15.5 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła
poprzeczna ma postać

T



x



=

50,0 kN

.

(Z4/15.5)

Moment zginający w przedziale AB będzie miał postać

M



x



=

50,0⋅x

.

(Z4/15.6)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

M



0,0



=

0,0 kNm

M



2,0



=

50,0⋅1,5=75,0 kNm

.

(Z4/15.7)

Jak wiadomo dodatnie momenty zginające rozciągają dolną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
dole.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.20) i (4.21). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15

4

dM



x



dx

=

50,0=T



x



.

(Z4/15.8)

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek

Z4/15.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.

Z4/15.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC

Rysunek Z4/15.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

A

B

32,0 kN/m

x

1,5

[m]

50,0 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z4/15.6. Siły działające w przedziale BC

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała

postać

q



x



=

27, 0

kN

m

.

(Z4/15.9)

Jak widać na rysunku Z4/15.6 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy z

równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły. Funkcja ta ma
postać

T



x



=

50,0−32,0⋅x

.

(Z4/15.10)

Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartości na obu
końcach przedziału. Wartości te wynoszą

T



0,0



=

50,0 kN

T



4,5



=

50,0−32,0⋅4,5=−94,0 kN

.

(Z4/15.11)

Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału BC wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc miejsce
zerowe w tym przedziale. Znajduje się ono

50,0−32,0⋅x

0

=

0

x

0

=

1,563 m

(Z4/15.12)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15

5

od początku przedziału BC czyli od punktu B.

Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą

część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.

M



x



=

50,0⋅



x1,5



−

32,0⋅x⋅

x

2

=−

16,0⋅x

2



50,0⋅x75,0

.

(Z4/15.13)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wynoszą one

M



0,0



=

0,0 kNm

M



1,563



=−

16,0⋅1,563

2



50,0⋅1,56375,0=114,1 kNm

M



4,5



=−

16,0⋅4,5

2



50,0⋅4,575,0=−24,0 kNm

.

(Z4/15.14)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.20) i (4.21). Równania te mają postać

dT



x



dx

=−

32,0=−q



x



,

(Z4/15.15)

dM



x



dx

=

50,0−32,0⋅x=T



x



.

(Z4/15.16)

Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek

Z4/15.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.

Z4/15.6. Funkcje sił przekrojowych w przedziale CD

Rysunek Z4/15.7 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale CD. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

N(x)

T(x)

M(x)

D

x

16,0 kN

X

Rys. Z4/15.7. Siły działające w przedziale CD

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.

Jak widać na rysunku Z4/15.7 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła
poprzeczna ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15

6

A

B

C

D

16,0 kN

32,0 kN/m

4,5

1,5

1,5

[m]

50,0 kN

110,0 kN

T(x) [kN]

M(x) [kNm]

50,0

94

,0

16,0

0,0

24

,0

0,0

75

,0

1,563

2,937

1,563

2,937

11

4,1

Rys. Z4/15.8. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej

T



x



=

16,0 kN

.

(Z4/15.17)

Moment zginający w przedziale CD będzie miał postać

M



x



=−

16,0⋅x

.

(Z4/15.18)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

M



0,0



=

0,0 kNm

M



1,5



=−

16,0⋅1,5=−24,0 kNm

.

(Z4/15.19)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.29) i (4.30). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać

dM



x



dx

=−

16,0=−T



x



.

(Z4/15.20)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/15. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 15

7

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek

Z4/15.8.

Z4/15.7. Wykresy sił przekrojowych

Rysunek Z4/15.8 przedstawia ostateczne wykresy funkcji siły poprzecznej oraz momentu zginającego

w belce złożonej.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni