1. Przekształcenie Abela w matematyce ubezpieczeń na życie
Wyprowadźmy tzw. Przekształcenie Abela ( sumowanie przez części [ang. summation by
parts]), które jest stosowane przy wyprowadzaniu niektórych wzorów w matematyce
ubezpieczeń na życie. W większości podręczników, w których znajdują się wzory otrzymane
za pomocą Przekształcenia Abela, jest tylko wspomniane, że wzór został zastosowany. Istotne
jest jego poznanie i zrozumienie, aby dowody wzorów nie były problemowe.
Wzór na sumowanie przez części można otrzymać w następujący sposób:
1=1
∑
∑
=
=
=
n
x
n
x
x
g
x
f
x
f
x
g
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
∑
∑
∑
∑
=
−
=
=
=
+
+
+
+
−
=
−
+
n
x
n
x
n
x
n
x
x
g
x
f
x
g
x
f
x
f
x
g
x
f
x
g
2
1
1
1
1
)
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
+
+
+
+
−
+
+
=
+
−
+
n
x
n
x
n
x
n
x
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
f
g
x
f
x
g
x
f
x
g
1
1
1
1
)
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
1
1
+
∆
−
−
+
+
=
∆
∑
∑
=
=
x
f
x
g
f
g
x
g
x
f
x
f
x
g
n
x
n
x
Ostatni wiersz traktowany jest jako wzór na sumowanie przez części.
Dojdziemy do tego samego wyniku w inny sposób:
∑
∑
∑
=
=
=
=
−
+
+
−
=
∆
n
x
n
x
n
x
x
f
x
g
x
f
x
g
f
g
f
g
x
f
x
g
2
2
1
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
∑
∑
−
=
=
=
+
+
−
+
+
−
=
1
1
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
n
x
n
x
x
f
x
g
x
f
x
g
f
g
f
g
∑
∑
=
=
=
+
+
+
+
+
−
+
+
−
=
n
x
n
x
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
g
1
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
1
)(
1
(
)
1
(
)
(
)
1
)(
1
(
)
1
(
)
1
(
1
+
∆
+
−
+
+
=
∑
=
x
f
x
g
g
x
f
x
g
n
x
.
(i) Przykładowe zastosowanie Przekształcenia Abela w wyprowadzaniu wzorów.
Udowodnimy wzór na jednorazową składkę netto renty na całe życie. Mamy :
∑
∞
=
••
⋅
=
0
k
x
k
k
x
p
v
a
.
Dowód:
Wartość aktualna ciągu wypłat w rencie na całe życie z góry wynosi:
1
2
...
1
+
••
=
+
+
+
+
=
k
k
a
v
v
v
Y
.
Stosując oznaczenia z Przekształcenia Abela oznaczmy:
1
)
(
+
••
=
k
a
x
g
,
[ ]
x
k
x
k
k
x
x
k
p
p
q
p
x
f
1
)
(
+
+
−
=
⋅
=
∆
,
x
k
p
x
f
=−
)
(
,
1
1
2
1
1
1
1
)
(
)
1
(
)
(
+
+
+
=
−
−
−
−
−
=
−
+
=
∆
k
k
k
v
v
v
v
v
x
g
x
g
x
g
. Zgodnie z przekształceniem Abela
otrzymujemy :
(
)
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
+
+
+
∞
+
••
⋅
=
⋅
+
+
=
⋅
+
−
⋅
−
−
=
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
k
x
k
k
x
k
x
k
k
x
k
k
x
k
k
x
p
v
p
v
p
v
p
v
v
a
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
3 KULTURA I JEJ WPYW NA YCIE SPOECZNE
Konspekt do ubezpiecze na ycie, Archiwum, Semestr VI, Finanse
Mat 2 Zapotrezbowanie na ciepo
Mat odp na rep pom nauk id 2823 Nieznany
OZ, Prostownik sterowany jest tyrystorowym przekszta˙tnikiem nap˙cia przemiennego na nap
UBEZPIECZENIA NA YCIE WIC, ☆♥☆Coś co mnie kręci psychologia
Mat 2 Zapotrezbowanie na ciepło
3 KULTURA I JEJ WPYW NA YCIE SPOECZNE
28 Cenzura i jej wp éyw na ycie literackie w PRL ÔÇô u, rola roku 1976 w historii literatury, ogran
Film Warszawa po wyzwoleniu Katownie NKWD i UB na Pradze
08 Przykładowy test - I st, Licencja Pracownika Ochrony Stopnia I i II, ►Materiały na licencje och
Mat na inf arkusz kalk, Powtórka arkusze kalkulacyjne
Zamiana na ułamek niewłaściwy i wyłączanie całości mat, Sprawdziany, matematyka
%c5%bbycie na egzoplanetach
więcej podobnych podstron