1. Przekształcenie Abela w matematyce ubezpieczeń na Ŝycie
Wyprowadźmy tzw. Przekształcenie Abela ( sumowanie przez części [ang. summation by
parts]), które jest stosowane przy wyprowadzaniu niektórych wzorów w matematyce
ubezpieczeń na Ŝycie. W większości podręczników, w których znajdują się wzory otrzymane
za pomocą Przekształcenia Abela, jest tylko wspomniane, Ŝe wzór został zastosowany. Istotne
jest jego poznanie i zrozumienie, aby dowody wzorów nie były problemowe.
Wzór na sumowanie przez części moŜna otrzymać w następujący sposób:
1=1
∑
∑
=
=
=
n
x
n
x
x
g
x
f
x
f
x
g
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
∑
∑
∑
∑
=
−
=
=
=
+
+
+
+
−
=
−
+
n
x
n
x
n
x
n
x
x
g
x
f
x
g
x
f
x
f
x
g
x
f
x
g
2
1
1
1
1
)
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
+
+
+
+
−
+
+
=
+
−
+
n
x
n
x
n
x
n
x
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
f
g
x
f
x
g
x
f
x
g
1
1
1
1
)
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
1
1
+
∆
−
−
+
+
=
∆
∑
∑
=
=
x
f
x
g
f
g
x
g
x
f
x
f
x
g
n
x
n
x
Ostatni wiersz traktowany jest jako wzór na sumowanie przez części.
Dojdziemy do tego samego wyniku w inny sposób:
∑
∑
∑
=
=
=
=
−
+
+
−
=
∆
n
x
n
x
n
x
x
f
x
g
x
f
x
g
f
g
f
g
x
f
x
g
2
2
1
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
∑
∑
−
=
=
=
+
+
−
+
+
−
=
1
1
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
n
x
n
x
x
f
x
g
x
f
x
g
f
g
f
g
∑
∑
=
=
=
+
+
+
+
+
−
+
+
−
=
n
x
n
x
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
g
1
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
1
)(
1
(
)
1
(
)
(
)
1
)(
1
(
)
1
(
)
1
(
1
+
∆
+
−
+
+
=
∑
=
x
f
x
g
g
x
f
x
g
n
x
.
(i) Przykładowe zastosowanie Przekształcenia Abela w wyprowadzaniu wzorów.
Udowodnimy wzór na jednorazową składkę netto renty na całe Ŝycie. Mamy :
∑
∞
=
••
⋅
=
0
k
x
k
k
x
p
v
a
.
Dowód:
Wartość aktualna ciągu wypłat w rencie na całe Ŝycie z góry wynosi:
1
2
...
1
+
••
=
+
+
+
+
=
k
k
a
v
v
v
Y
.
