Projekt 3

Równania różniczkowe zwyczajne

Problem 1

W 1798 Malthus zaproponował prosty model wzrostu populacji, w którym założono że, populacja składa
się jednego, jednorodnego gatunku.

Z powyższych założeń otrzymujemy że

.

k = u-z

Gdzie x(t) jest wielkością populacji w danym momencie, u wskaźnikiem zgonów, z wskaźnikiem zgonów.
Ponieważ model ten prowadzi do nieograniczonego, wykładniczego rozrostu populacji model ten został
wzbogacony założeniem o skończonej dostępności zasobów, tzw. problem logistyczny opisany
równaniem:

.

1. Narysuj przebieg x(t) dla obu modeli dla różnych k (<0, >0, =0). Do jakich wniosków prowadzą

oba modele? W domu podaj rozwiązanie analityczne, przeanalizuj rozwiązanie.

2. Dla jakich x, x’(t) = 0? Co to oznacza? Czy są to punkty stabilne, czy nie?
3. W roku 1950 populacja Polski wynosiła ok. 25,008 mln, 1970 32,642 mln a 1990 38,183 mln. Ile

według wz. Malthusa a ile według modelu logistycznego powinna wynosić populacja Polski
obecnie a ile za 30 lat?

4. Dodatkowe. Rozwiąż układ metodą różnić skończonych przy pomocy Excella.

Problem 2

Do zbiornika wpływa woda z szybkością 10 l/min. Zawartość zbiornika jest mieszana a następnie
opuszcza go z szybkością 10 l/min. Do zbiornika dodwana jest również sól w ilości 0.1 kg/min.
Początkowo zbiornik zawiera 10 kg soli w 100 l wody.

1. Ułóż równanie różniczkowe opisujące problem.
2. Podaj rozwiązanie numeryczne (analityczne w domu).
3. Ile soli będzie w zbiorniku po 1 h?
4. Jakie jest jest zachowanie asymptotyczne modelu?