Egzamin z Podstaw Matematyki

4 lipca 2009

seria 1

................................................................................................

Imi¦

Nazwisko

Grupa

Nr. indeksu

Zad 1. (12 p.)

Napisz zaprzeczenie zdania: [(p ∨ q) ⇒ r] ∧ (r ⇒ p) w taki sposób by znak

negacji nie staª przed »adnym nawiasem. Dla jakich warto±ci zda« p, q i r

zaprzeczenie to jest faªszywe?

Zad 2. (18 p.)

Niech A

n

b¦dzie odcinkiem 1 +

1

2n

, 3 −

1

n+1

. Opisz zbiory:

a) ∩

5
n=2

A

n

,

b) ∪

7
n=2

A

n

c) ∩

∞
n=1

A

n

,

d) ∪

∞
n=4

A

n

.

Zad 3. (18 p.)

Udowodnij lub znajd¹ kontrprzykªad na nast¦puj¡ce twierdzenia:

a) ∀

n∈N

5n − 6 6= n

2

b) ∃

t∈R

t + 2 = t

2

+ 1

c) ∀

n∈N

∃

t∈R

n + t = n

2

d) ∃

t∈R

∀

n∈N

t + n = n

2

gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych, za± R zbiór liczb rzeczywistych.

Zad 4. (18 p.)

Niech ϕ : R → R b¦dzie okre±lona wzorem:

ϕ(x) =

 x

2

− 2x, x ≤ 0

−

1
2

x,

x > 0

a) Napisz wzór na ϕ

−1

b) Napisz wzór na ϕ ◦ ϕ.

Zad 5. (18 p.)

Na zbiorze liczb naturalnych N wprowadzamy relacj¦ τ:
(a, b) ∈ τ ≡ a

4

= b

4

.

Sprawd¹ czy τ jest relacj¡:

a) antysymetryczn¡

b) relacj¡ równowa»no±ci,

c) porz¡dkiem.

Zad 6. (16 p.)
Niech g =

 1 2 3

4

5 6 7 8 9 10

6 8 2 10 5 9 1 3 7

4



h =

 1 2 3 4 5 6

7

8 9 10

3 7 4 5 1 9 10 6 8

2



b¦d¡ elementami grupy S

10

a) Przedstaw g i h

−1

w postaci iloczynów cykli rozª¡cznych,

b) Oblicz rz¦dy elementów: g, h

−1

i gh,

c) Które z elementów: g, h i gh s¡ permutacjami parzystymi,

d) Sprawd¹ czy gh = hg.

Egzamin z Podstaw Matematyki

4 lipca 2009

seria 2

................................................................................................

Imi¦

Nazwisko

Grupa

Nr. indeksu

Zad 1. (12 p.)

Napisz zaprzeczenie zdania: [(p ∨ q) ⇒ r] ∨ (r ⇒ p) w taki sposób by znak

negacji nie staª przed »adnym nawiasem. Dla jakich warto±ci zda« p, q i r

zaprzeczenie to jest faªszywe?

Zad 2. (18 p.)

Niech A

n

b¦dzie odcinkiem 1 +

1

2n

, 3 −

1

n+1



. Opisz zbiory:

a) ∩

6
n=2

A

n

,

b) ∪

7
n=1

A

n

c) ∩

∞
n=2

A

n

,

d) ∪

∞
n=3

A

n

.

Zad 3. (18 p.)

Udowodnij lub znajd¹ kontrprzykªad na nast¦puj¡ce twierdzenia:

a) ∀

n∈N

6 − 5n 6= n

2

b) ∃

t∈R

t + 2 = t

2

+ 4

c) ∀

t∈R

∃

n∈N

t + n = n

2

d) ∃

n∈N

∀

t∈R

t + n = n

2

gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych, za± R zbiór liczb rzeczywistych.

Zad 4. (18 p.)

Niech ϕ : R → R b¦dzie okre±lona wzorem:

ϕ(x) =



1
2

x,

x ≤ 0

x

2

+ 2x, x > 0

a) Napisz wzór na ϕ

−1

b) Napisz wzór na ϕ ◦ ϕ.

Zad 5. (18 p.)

Niech τ ∈ R × R b¦dzie relacj¡ okre±lon¡ wzorem:
τ = {(x, y) ∈ R × R | y = |x|}

a) Narysuj wykres τ.

b) Zbadaj czy τ jest: i) relacj¡ symetryczn¡, ii) porz¡dkiem, iii) funkcj¡.

c) Opisz τ

−1

.

Zad 6. (16 p.)
Niech g =

 1 2 3

4

5 6 7 8 9 10

6 8 5 10 2 9 7 3 1

4



h =

 1 2 3 4 5 6 7

8

9 10

3 7 4 5 1 9 2 10 8

6



b¦d¡ elementami grupy S

10

a) Przedstaw g i h

−1

w postaci iloczynów cykli rozª¡cznych,

b) Oblicz rz¦dy elementów: g, h

−1

i gh,

c) Które z elementów: g, h i gh s¡ permutacjami parzystymi,

d) Sprawd¹ czy gh = hg.