Cykl Carnota

Rozważania poniższe dotyczą maszyny cieplnej wyidealizowanej, w której procesy
przebiegają odwracalnie. Nie ma tu strat ciepła spowodowanych tarciem lub uchodzeniem
przez ściany izolujące. Maszyna ta wykonuje cykl zamknięty Carnota, tzn. po pewnej liczbie
przemian wraca z powrotem do stanu wyjściowego. Ciałem, które podlega procesowi
cyklicznemu, jest gaz doskonały.
Cykl Carnota składa się z 4 kolejnych procesów:

I. Rozprężania izotermicznego w temperaturze T

l

.

II. Rozprężania adiabatycznego przy zmianie temperatury od T

l

do T

2

.

III. Sprężania izotermicznego w temperaturze T

2

.

IV. Sprężania adiabatycznego przy zmianie temperatury od T

2

do T

l

.

Po przejściu tych czterech procesów gaz wraca
do stanu wyjściowego. Rysunek 1 przedstawia
wykres cyklu Carnota we współrzędnych p, V;
poniżej wykresu są pokazane położenia tłoka w
zbiorniku gazu na początku i na końcu każdego
procesu. Zbiornik gazu ma ścianki i tłok z
osłony adiabatycznej, tzn. nie przepuszczającej
ciepła, doskonale zaś przepuszczająca ciepło
podstawa może być ustawiona na zbiorniku
ciepła o temperaturze T

1,

zwanym grzejnicą, lub

na zbiorniku o temperaturze niższej T

2

, zwanym

chłodnicą, albo też na osłonie adiabatycznej A.
Punkty 2 i 3 cyklu Carnota mogą być dowolnie
obrane, byleby leżały na izotermach
odpowiadających temperaturom T

l

i T

2

,

natomiast punkt 4 o współrzędnych p

4

, V

4

, T

4

nie może być dowolnie obrany na izotermie,
ponieważ wartości p

4

i V

4

są wyznaczone przez

wartości p

l

, V

1

, T

1

punktu początkowego 1 oraz

temperaturę T

2

. Zmiany objętości gazu i jego

temperatury oraz wielkość pracy wykonanej
przez gaz i ilość ciepła pobranego w
poszczególnych procesach cyklu zestawione są
w Tabeli 1.

Tabela 1

Proces

Rozprężanie
izotermiczne

Rozprężanie

adiabatyczne

Sprężanie

izotermiczne

Sprężanie

adiabatyczne

Zmiana

objętości

2

1

V

V

→

3

2

V

V

→

4

3

V

V

→

1

4

V

V

→

Zmiana

temperatury

.

1

const

T

=

2

1

T

T

→

.

2

const

T

=

1

2

T

T

→

Wykonana

praca

2

1

1

ln

V

V

RT

W

=

(

)

1

2

2

T

T

c

W

V

−

=

3

4

2

3

ln

V

V

RT

W

−

=

(

)

2

1

4

T

T

c

W

v

−

=

Ciepło pobrane

1

Q

0

2

Q

0

Dla procesów adiabatycznych (II i IV) możemy zapisać następujące związki:

Rysunek 1 Cykl Carnota: a) Wykres cyklu, b)
położenie tłoka na początku i na końcu każdego
procesu

1

1

1

2

1

4

1

1

2

2

1

3

T

V

T

V

T

V

T

V

−

−

−

−

=

=

χ

χ

χ

χ

.

Dzieląc stronami otrzymujemy:

1

1

2

1

4

3

−

−









=









χ

χ

V

V

V

V

czyli:

.

1

2

4

3

V

V

V

V

=

*

Praca wykonana w procesie III wynosi:

3

4

2

3

ln

V

V

RT

W

−

=

,

.

ln

4

3

2

3

V

V

RT

W

=

Korzystając z * możemy zapisać:

,

ln

2

1

2

3

V

V

RT

W

−

=

czyli:

.

3

1

W

W

−

=

Podczas cyklu gaz pobrał z grzejnicą o temperaturze T

1

ciepło Q

1

i oddał do chłodnicy o

temperaturze T

2

ilość ciepła Q

2

oraz wykonał pracę W

1

+W

2

, a pobrał W

3

+W

4

.

Widzimy, że suma prac w procesach adiabatycznych jest równa 0. Zatem suma prac
pobranych i wykonanych w cyklu Carnota, wynosi:

(

)

.

ln

2

1

2

1

3

1

V

V

T

T

R

W

W

W

−

=

+

=

Z I zasady termodynamiki dla przemiany izotermicznej mamy

,

Q

W

−

=

czyli:

1

2

1

1

1

ln

Q

V

V

RT

W

−

=

=

i analogicznie:

2

2

1

2

3

ln

Q

V

V

RT

W

−

=

−

=

stąd:

(

)

(

)

.

ln

2

1

2

1

2

1

3

1

Q

Q

V

V

T

T

R

W

W

W

+

−

=

−

=

+

=

Ponieważ V

1

< V

2

, więc W

1

jest ujemne, W

3

– dodatnie, W zaś ujemne, gdyż T

1

> T

2

. Zatem

Q

1

jest dodatnie, Q

2

jest ujemne i oznacza ciepło oddane. Rezultatem cyklu jest więc praca W

wykonana przez gaz kosztem pobranego ciepła

.

2

1

Q

Q

−

Ponieważ

2

1

W

W

>

bo

2

1

T

T

>

,

więc

,

2

1

Q

Q

>

czyli ciepło pobrane jest większe od oddanego.

Wprowadzamy definicję wydajności (sprawności) cyklu jako stosunek ciepła

2

1

Q

Q

−

zamienionego na pracę do całkowitego ciepła pobranego

:

1

Q

.

1

2

1

Q

Q

Q

−

=

η

Dla silnika Carnota można również zapisać:

(

)

,

ln

ln

2

1

1

2

1

2

1

1

V

V

RT

V

V

T

T

R

W

W

−

=

=

η

czyli:

.

1

2

1

T

T

T

−

=

η

I twierdzenie Carnota:
Wszystkie maszyny termodynamiczne odwracalne pracujące między tymi samymi
temperaturami mają tę samą sprawność.

II twierdzenie Carnota
Silnik nieodwracalny nie może mieć większej sprawności od silnika odwracalnego.