Cykl Carnota

Rozważania poniższe dotyczą maszyny cieplnej wyidealizowanej, w której procesy przebiegają odwracalnie. Nie ma tu strat ciepła spowodowanych tarciem lub uchodzeniem przez ściany izolujące. Maszyna ta wykonuje cykl zamknięty Carnota, tzn. po pewnej liczbie przemian wraca z powrotem do stanu wyjściowego. Ciałem, które podlega procesowi cyklicznemu, jest gaz doskonały.

Cykl Carnota składa się z 4 kolejnych procesów:

I. Rozprężania izotermicznego w temperaturze Tl.

II. Rozprężania adiabatycznego przy zmianie temperatury od Tl do T2.

III. Sprężania izotermicznego w temperaturze T2.

IV. Sprężania adiabatycznego przy zmianie temperatury od T2 do Tl.

Po przejściu tych czterech procesów gaz wraca

do stanu wyjściowego. Rysunek 1 przedstawia

wykres cyklu Carnota we współrzędnych p, V;

poniżej wykresu są pokazane położenia tłoka w

zbiorniku gazu na początku i na końcu każdego

procesu. Zbiornik gazu ma ścianki i tłok z osłony adiabatycznej, tzn. nie przepuszczającej

ciepła, doskonale zaś przepuszczająca ciepło podstawa może być ustawiona na zbiorniku ciepła o temperaturze T1, zwanym grzejnicą, lub

na zbiorniku o temperaturze niższej T2, zwanym chłodnicą, albo też na osłonie adiabatycznej A.

Punkty 2 i 3 cyklu Carnota mogą być dowolnie

obrane, byleby leżały na izotermach

odpowiadających temperaturom Tl i T2,

natomiast punkt 4 o współrzędnych p4, V4, T4

nie może być dowolnie obrany na izotermie, ponieważ wartości p4 i V4 są wyznaczone przez wartości pl, V1, T1 punktu początkowego 1 oraz temperaturę T2. Zmiany objętości gazu i jego temperatury oraz wielkość pracy wykonanej przez gaz i ilość ciepła pobranego w poszczególnych procesach cyklu zestawione są

w Tabeli 1.

Rysunek 1 Cykl Carnota: a) Wykres cyklu, b)

położenie tłoka na początku i na końcu każdego procesu

Tabela 1

Rozprężanie

Rozprężanie

Sprężanie

Sprężanie

Proces

izotermiczne

adiabatyczne

izotermiczne

adiabatyczne

Zmiana

V → V

V → V

V → V

V → V

objętości

1

2

2

3

3

4

4

1

Zmiana

T = const.

T → T

T = const.

T → T

temperatury

1

1

2

2

2

1

Wykonana

V

V

1

W = RT ln

W = c T − T

4

W = − RT ln

W = c T − T

4

v ( 1

2 )

2

V ( 2

1 )

praca

1

V

3

2

V

2

3

Ciepło pobrane

Q

0

Q

0

1

2

Dla procesów adiabatycznych (II i IV) możemy zapisać następujące związki:

χ 1

−

χ 1

V

T = V − T

3

2

2

1

χ

.

1

−

χ 1

V

T = V − T

4

2

1

1

Dzieląc stronami otrzymujemy:

χ 1

−

χ 1

−

 V 

 V 

3

2

=









 V

V

4 

 1 

czyli:

V

V

3

2

=

. *

V

V

4

1

Praca wykonana w procesie III wynosi:

V 4

W = − RT ln

3

2

,

V 3

V

W = RT ln 3 .

3

2

V 4

Korzystając z * możemy zapisać:

V

W = − RT ln 1 ,

3

2

V 2

czyli:

W = W

− .

1

3

Podczas cyklu gaz pobrał z grzejnicą o temperaturze T1 ciepło Q1 i oddał do chłodnicy o temperaturze T2 ilość ciepła Q2 oraz wykonał pracę W1+W2, a pobrał W3+W4.

Widzimy, że suma prac w procesach adiabatycznych jest równa 0. Zatem suma prac pobranych i wykonanych w cyklu Carnota, wynosi:

V

W = W + W = R T − T

1

3

( 1 2 )ln 1 .

V 2

Z I zasady termodynamiki dla przemiany izotermicznej mamy W = Q

− , czyli:

V 1

W = RT ln

= − Q

1

1

1

V 2

i analogicznie:

V 1

W = − RT ln

= − Q

3

2

2

V 2

stąd:

V

W = W + W = R T − T

= − Q + Q

1

3

( 1

)ln 1

2

( 1

2 ).

V 2

Ponieważ V1 < V2, więc W1 jest ujemne, W3 – dodatnie, W zaś ujemne, gdyż T1 > T2. Zatem Q1 jest dodatnie, Q2 jest ujemne i oznacza ciepło oddane. Rezultatem cyklu jest więc praca W

wykonana przez gaz kosztem pobranego ciepła Q − Q .

W > W

T > T

1

2 Ponieważ

1

2 bo 1

2 ,

więc Q > Q ,

1

2

czyli ciepło pobrane jest większe od oddanego.

Wprowadzamy definicję wydajności (sprawności) cyklu jako stosunek ciepła Q − Q

1

2

zamienionego na pracę do całkowitego ciepła pobranego Q : 1

Q − Q

1

2

η =

.

Q 1

Dla silnika Carnota można również zapisać:

R(

V

T − T

1

) ln 1

2

W

V 2

η =

=

,

W 1

V

RT ln 1

1

V 2

czyli:

T − T

1

2

η =

.

T 1

I twierdzenie Carnota:

Wszystkie maszyny termodynamiczne odwracalne pracujące między tymi samymi temperaturami mają tę samą sprawność.

II twierdzenie Carnota

Silnik nieodwracalny nie może mieć większej sprawności od silnika odwracalnego.