Cykl Carnota
Rozważania poniższe dotyczą maszyny cieplnej wyidealizowanej, w której procesy przebiegają odwracalnie. Nie ma tu strat ciepła spowodowanych tarciem lub uchodzeniem przez ściany izolujące. Maszyna ta wykonuje cykl zamknięty Carnota, tzn. po pewnej liczbie przemian wraca z powrotem do stanu wyjściowego. Ciałem, które podlega procesowi cyklicznemu, jest gaz doskonały.
Cykl Carnota składa się z 4 kolejnych procesów:
I. Rozprężania izotermicznego w temperaturze Tl.
II. Rozprężania adiabatycznego przy zmianie temperatury od Tl do T2.
III. Sprężania izotermicznego w temperaturze T2.
IV. Sprężania adiabatycznego przy zmianie temperatury od T2 do Tl.
Po przejściu tych czterech procesów gaz wraca
do stanu wyjściowego. Rysunek 1 przedstawia
wykres cyklu Carnota we współrzędnych p, V;
poniżej wykresu są pokazane położenia tłoka w
zbiorniku gazu na początku i na końcu każdego
procesu. Zbiornik gazu ma ścianki i tłok z osłony adiabatycznej, tzn. nie przepuszczającej
ciepła, doskonale zaś przepuszczająca ciepło podstawa może być ustawiona na zbiorniku ciepła o temperaturze T1, zwanym grzejnicą, lub
na zbiorniku o temperaturze niższej T2, zwanym chłodnicą, albo też na osłonie adiabatycznej A.
Punkty 2 i 3 cyklu Carnota mogą być dowolnie
obrane, byleby leżały na izotermach
odpowiadających temperaturom Tl i T2,
natomiast punkt 4 o współrzędnych p4, V4, T4
nie może być dowolnie obrany na izotermie, ponieważ wartości p4 i V4 są wyznaczone przez wartości pl, V1, T1 punktu początkowego 1 oraz temperaturę T2. Zmiany objętości gazu i jego temperatury oraz wielkość pracy wykonanej przez gaz i ilość ciepła pobranego w poszczególnych procesach cyklu zestawione są
w Tabeli 1.
Rysunek 1 Cykl Carnota: a) Wykres cyklu, b)
położenie tłoka na początku i na końcu każdego procesu
Tabela 1
Rozprężanie
Rozprężanie
Sprężanie
Sprężanie
Proces
izotermiczne
adiabatyczne
izotermiczne
adiabatyczne
Zmiana
V → V
V → V
V → V
V → V
objętości
1
2
2
3
3
4
4
1
Zmiana
T = const.
T → T
T = const.
T → T
temperatury
1
1
2
2
2
1
Wykonana
V
V
1
W = RT ln
W = c T − T
4
W = − RT ln
W = c T − T
4
v ( 1
2 )
2
V ( 2
1 )
praca
1
V
3
2
V
2
3
Ciepło pobrane
Q
0
Q
0
1
2
Dla procesów adiabatycznych (II i IV) możemy zapisać następujące związki:
−
χ 1
V
T = V − T
3
2
2
1
χ
.
1
−
χ 1
V
T = V − T
4
2
1
1
Dzieląc stronami otrzymujemy:
χ 1
−
χ 1
−
V
V
3
2
=
V
V
4
1
czyli:
V
V
3
2
=
. *
V
V
4
1
Praca wykonana w procesie III wynosi:
V 4
W = − RT ln
3
2
,
V 3
V
W = RT ln 3 .
3
2
V 4
Korzystając z * możemy zapisać:
V
W = − RT ln 1 ,
3
2
V 2
czyli:
W = W
− .
1
3
Podczas cyklu gaz pobrał z grzejnicą o temperaturze T1 ciepło Q1 i oddał do chłodnicy o temperaturze T2 ilość ciepła Q2 oraz wykonał pracę W1+W2, a pobrał W3+W4.
Widzimy, że suma prac w procesach adiabatycznych jest równa 0. Zatem suma prac pobranych i wykonanych w cyklu Carnota, wynosi:
V
W = W + W = R T − T
1
3
( 1 2 )ln 1 .
V 2
Z I zasady termodynamiki dla przemiany izotermicznej mamy W = Q
− , czyli:
V 1
W = RT ln
= − Q
1
1
1
V 2
i analogicznie:
V 1
W = − RT ln
= − Q
3
2
2
V 2
stąd:
V
W = W + W = R T − T
= − Q + Q
1
3
( 1
)ln 1
2
( 1
2 ).
V 2
Ponieważ V1 < V2, więc W1 jest ujemne, W3 – dodatnie, W zaś ujemne, gdyż T1 > T2. Zatem Q1 jest dodatnie, Q2 jest ujemne i oznacza ciepło oddane. Rezultatem cyklu jest więc praca W
wykonana przez gaz kosztem pobranego ciepła Q − Q .
W > W
T > T
1
2 Ponieważ
1
2 bo 1
2 ,
więc Q > Q ,
1
2
czyli ciepło pobrane jest większe od oddanego.
Wprowadzamy definicję wydajności (sprawności) cyklu jako stosunek ciepła Q − Q
1
2
zamienionego na pracę do całkowitego ciepła pobranego Q : 1
Q − Q
1
2
η =
.
Q 1
Dla silnika Carnota można również zapisać:
V
T − T
1
) ln 1
2
W
V 2
η =
=
,
W 1
V
RT ln 1
1
V 2
czyli:
T − T
1
2
η =
.
T 1
I twierdzenie Carnota:
Wszystkie maszyny termodynamiczne odwracalne pracujące między tymi samymi temperaturami mają tę samą sprawność.
II twierdzenie Carnota
Silnik nieodwracalny nie może mieć większej sprawności od silnika odwracalnego.