Elektrony i dziury
•
struktura pasmowa
•
podział ciał stałych
•
masa efektywna nośników
•
pojęcie dziury
•
półprzewodniki
Co to jest teoria pasmowa
Teoria pasmowa jest kwantowo-mechanicznym opisem
zachowania elektronów w krystalicznym ciele stałym.
Nazwa teoria pasmowa pochodzi od
najważniejszej cechy widma
energetycznego w krysztale:
w przeciwieństwie do dyskretnych
poziomów dla izolowanych atomów,
widmo energetyczne kryształu
charakteryzują pasma energii
dozwolonych o skończonej szerokości
Wady modelu elektronów
swobodnych
a
przyjęcie stałego potencjału
w modelu elektronów swobodnych
nie uwzględnia dyskretnej struktury
krystalicznej ciał stałych
a
istotny wpływ na zachowanie
elektronów odgrywa ich
oddziaływanie z jonami sieci
a
brak również uwzględnienia
oddziaływania elektronów pomiędzy sobą
a
oba typy oddziaływań można rozdzielić stosując
różne rodzaje przybliżeń: jednoelektronowe,
elektronów prawie swobodnych lub silnie
związanych
E
x
0
∞
∞
Powstawanie pasm
a
jako punkt wyjścia przyjmujemy
funkcje falowe i zdegenerowane
poziomy energetyczne
pojedynczych atomów
a
w wyniku zbliżania atomów
następuje rozszczepienie
poziomów w pasma i ewentualne
przekrywanie (zlewanie)
a
szerokość pasma zależy od
przekrywania odpowiednich
funkcji falowych
a
głęboko leżące poziomy są
nieznacznie poszerzone i
zachowują swój atomowy
charakter
odległość r
r
0
en
er
gi
a elektr
onu
E
1s
2s
2p
Izolowane, swobodne atomy Na
ρ
ρ
Na
Na
3s
1
3s
1
2s
2
2s
2
1s
2
1s
2
2p
6
2p
6
+
+
0
r >> a
Poziom zerowy
U
U
3s
2s
1s
a
w atomie swobodnym
każdy poziom jest 2(2l+1)
krotnie zdegenerowany
a
dla N atomów liczba
podpoziomów wynosi
2N(2l+1)
a
bariera potencjału nie
zezwala elektronom
swobodnie poruszać się
między atomami
a
elektrony są zlokalizowane,
funkcje falowe nie
zachodzą na siebie
Zmiana stanu elektronów
przy zbliżaniu się atomów
Na
+
+
+
+
Na
Na
Na
a = 4.3A
o
0
3s
2s
1s
3s
2p
2s
1s
ρ
ρ
a
obniżenie poziomu potencjału
poniżej stanu 3s
a
elektrony 3s stają się
swobodne
a
funkcje falowe tych
elektronów zachodzą na siebie
a
funkcje falowe elektronów
wewnętrznych nie ulegają
zmianie
a
pojedyncze poziomy ulegają
rozszczepieniu tworząc pasmo
Przy odległościach równych stałej sieci 0,43 nm otrzymujemy:
Zapełnianie pasm przez
elektrony
a
izolatory i półprzewodniki - niższe pasma
całkowicie zapełnione, wyższe poczynając
od pewnego, całkowicie puste
a
metale proste - nad całkowicie zapełnionymi
pasmami istnieje pasmo zapełnione
częściowo
a
metale z pasmami nakładającymi się -
najwyższe całkowicie zapełnione pasmo,
zachodzi na położone nad nim najniższe
pasmo puste, wtedy oba zapełniają się
częściowo
Pod względem charakteru zapełnienia pasm przez elektrony
możemy podzielić wszystkie ciała na trzy grupy:
E
k
Podział ciał stałych
O własnościach fizycznych ciał stałych decydują:
a
kształt i sposób obsadzenia elektronami dwóch najważniejszych
pasm energetycznych
`
pasma przewodnictwa - najniższego pasma nie
zapełnionego
`
pasma podstawowego (walencyjnego) - najwyższego
pasma obsadzonego przez elektrony
a
odległość między tymi pasmami E
g
- zwana przerwą
energetyczną (pasmem zabronionym)
`
izolatory E
g
> 3 eV - nie przewodzą prądu
`
półprzewodniki E
g
< 3 eV, choć GaN ( 3,4 eV)
diament (5,4 eV)
`
metale E
g
= 0 - pasma zachodzą na siebie
a
ta sama substancja może mieć w pewnych warunkach bądź
właściwości półprzewodnikowe, bądź metaliczne
E
Masa efektywna elektronu
a
Masa efektywna jest charakterystyką rozważanego pasma a
nie elektronu
a
pojęcie masy efektywnej ma znaczenie fizyczne, gdyż wyraża
wpływ periodycznego potencjału sieci na dynamikę elektronu
a
m* opisuje ruch elektronu pod wpływem sił zewnętrznych F
a
siły wewnętrzne wywierane przez sieć jako wynik
oddziaływania elektronu z potencjałem krystalicznym są
uwzględnione w wartości m* różnej od masy rzeczywistej m
0
a
wartość m* jest z reguły mniejsza od m
0
siec
F
F
m
F
m
a
m
+
=
=
*
0
0
*
m
F
a =
siec
F
F
F
m
m
+
=
0
*
1
2
2
2
*
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
dk
E
d
m
h
-k
e
k
e
0
k
E
∗
+
h
v
m
k
E
2
2
2
h
E
v
E
c
∗
+
e
c
m
k
E
2
2
2
h
-q
Pasma paraboliczne
...
)
(
2
0
2
2
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
=
k
dk
E
d
E
k
E
k
c
∗
+
=
e
c
m
k
E
k
E
2
)
(
2
2
h
Dla pasm parabolicznych zachowanie
pojedynczego elektronu w paśmie
przewodnictwa opisuje się stałą masą m
*
e
∗
∗
−
=
+
=
e
v
e
v
m
k
E
m
k
E
k
E
2
2
2
2
2
2
h
h
)
(
Podobnie będzie z elektronami w
paśmie walencyjnym, gdzie m
*
e
< 0
jest masą efektywną tych elektronów
e
przejście
proste
Odwrotne zjawisko
termoelektryczne
W metalach w których pasmo
walencyjne jest prawie całkowicie
zapełnione występuje odwrotne
zjawisko termoelektryczne - jakby
dziury (ładunki dodatnie) dyfundowały
od gorącego do zimnego końca
metal prosty
półmetal
T
1
> T
2
E
k
cynk Zn
kadm Cd
bizmut Bi
ujemna m*
Pojęcie dziury
W przypadku pasma prawie całkowicie zapełnionego zamiast o ruchu
brakującego elektronu o ujemnej masie wygodniej jest wprowadzić
pojęcie dziury h (hole) o dodatnim ładunku +e i v
h
= v
b.el
e
q
h
+
=
( )
( )
k
m
k
m
e
h
∗
∗
−
=
masa efektywna dziury jest
równy masie wzbudzonego
elektronu i ma znak
przeciwny, czyli jest dodatnia
Właściwości dziury:
E
el
k
pusty stan
b.el
k
e
E
h
k
dziura
k
h
el
b
h
k
k
.
−
=
el
b
h
v
v
.
=
im większa jest energia nieobsadzonego
przez elektron stanu w paśmie walencyjnym
tym mniejsza jest energia dziury
Półprzewodniki
a
Półprzewodniki to materiały o przerwie energetycznej poniżej
3 eV, które w temperaturze 0 K mają całkowicie zapełnione
pasmo walencyjne i puste pasmo przewodnictwa
a
w wyższych temperaturach pod wpływem wzbudzeń
termicznych, część elektronów z pasma walencyjnego
przechodzi do pasma przewodnictwa
a
swobodne elektrony w p.p. i dziury w p.w. decydują o
przewodnictwie elektrycznym półprzewodnika
a
konduktywność materiałów półprzewodnikowych zmienia się
w przedziale od 10
–8
do 10
6
(
Ωcm)
–1
Stan równowagi
W ogólnym przypadku poziomy Fermiego dla elektronów i dziur
mogą się nie pokrywać.
W stanie równowagi poziomy Fermiego pokrywają się
E
Fp
E
Fn
E
v
E
c
0
E
0’
E’
E
g
generacja
E
Fp
E
Fn
E
v
E
c
rekombinacja
E
Fn
+ E
Fp
= –E
g
E
Fn
= E
F
E
v
E
c
równowaga
E
Fp
kT
E
c
Fn
e
N
n
=
kT
E
v
Fp
e
N
p
=
a
Wpływ domieszek na właściwości fizyczne jest
zaniedbywalny
a
charakteryzują się doskonałą strukturą
krystaliczną, bez obcych atomów i defektów
strukturalnych
a
swobodne nośniki powstają tylko kosztem
rozerwania wiązań kowalencyjnych
a
liczba dziur jest równa liczbie swobodnych
elektronów i nazywa koncentracją samoistną
Półprzewodniki samoistne
i
n
p
n
=
=
Statystyka nośników w p.s.
i
n
p
n
=
=
(
)
kT
E
v
c
kT
E
E
v
c
kT
E
v
kT
E
c
i
g
Fp
Fn
Fp
Fn
e
N
N
e
N
N
e
N
e
N
np
n
−
+
=
=
=
=
2
(
)
(
)
kT
E
h
e
i
g
e
m
m
h
kT
n
2
4
3
3
2
3
2
2
−
∗
∗
π
=
kT
E
v
c
i
g
e
N
N
n
2
−
=
Koncentracja równowagowa w półprzewodniku samoistnym określona
jest przez szerokość pasma zabronionego i temperaturę półprzewodnika
Półprzewodnik
Si
Ge
Sn
E
g
(eV)
1,12
0,67
0,08
n
i
(m
-3
)
2·10
16
3·10
19
1·10
24
T (K)
100
300
600
n
i
(m
-3
)
3·10
7
3·10
19
6·10
23
Położenie poziomu Fermiego
∗
∗
+
−
=
e
h
g
F
m
m
kT
E
E
ln
4
3
2
E
T
E
c
E
v
E
F
∗
∗
=
e
h
m
m
∗
∗
>
e
h
m
m
∗
∗
<
e
h
m
m
Dla większości samoistnych
półprzewodników w
temperaturach pokojowych
przesunięcie poziomu
Fermiego można zaniedbać,
czyli E
F
= –E
g
/2
Półprzewodniki samoistne
i domieszkowe
półprzewodniki typu p
przewodnictwo dziurowe
domieszki akceptorowe: B, Ga, In
III grupa układu okresowego
półprzewodniki typu n
przewodnictwo elektronowe
domieszki donorowe: P, As, Sb
V grupa układu okresowego
Położenie poziomu Fermiego
0
E
F
T
i
T
s
E
d
E
c
T
0
E
v
niskie
temp.
wyczerpanie
domieszki
przewodnictwo
samoistne
Zależność koncentracji
elektronów od temperatury
1
T
tg
E
k
j
α
1
2
=
tg
E
k
g
α
2
2
=
1
T
s
1
T
i
E
d
Dla T < T
s
kT
E
c
d
d
e
N
N
n
2
2
1
2
1
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Dla T > T
i
(
)
kT
E
v
c
i
g
e
N
N
n
2
2
1
−
=
d
N
n =
Dla typu p
Dla T < T
s
kT
E
v
a
a
e
N
N
p
2
2
1
2
1
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
p
n
n
i
2
=
Dla T
s
< T < T
i
n
N
p
a
+
=
2
i
n
np =
2
4
2
2
i
a
a
n
N
N
p
+
+
=
2
4
2
2
i
a
a
n
N
N
n
+
+
−
=
N
a
~ n
i
Dla T > T
i
i
n
p
n
=
=
n
i
>> N
d
(
)
kT
E
v
c
i
g
e
N
N
n
2
2
1
−
=
E
a
E
g
kT
E
F
½E
g
Ruchliwość nośników
a
ruchliwość nośników to średnia prędkość unoszenia (dryftu) przy
jednostkowym natężeniu zewnętrznego pola elektrycznego
μ = v
d
/E
a
ustalona wartość ruchliwości jest wynikiem zderzeń nośników z
fononami i domieszkami sieci
a
średnia prędkość dryftu zależy od natężenia pola elektrycznego i czasu
pomiędzy zderzeniami (czas relaksacji zderzeniowej
τ)
a
ruchliwość nie zależy od czynników zewnętrznych a jedynie od
właściwości ciała stałego
τ
∗
=
e
d
m
eE
v
∗
τ
=
=
μ
e
d
e
m
e
E
v
Zależność ruchliwości od
temperatury
a
w niskich temperaturach przeważa
rozpraszanie na domieszkach
a
w wyższych temperaturach
ruchliwość maleje w wyniku
wzrostu rozpraszania na
drganiach akustycznych sieci
a
ze wzrostem koncentracji domieszki
ruchliwość nośników maleje
a
ruchliwość elektronów jest
zazwyczaj większa od ruchliwości
dziur
Rozpraszanie
na domieszkach
Rozpraszanie
na fononach
μ~T
3/2
μ~T
-3/2
N
d
N >N
d
d
,
R
uc
hl
iw
o
ść
Temperatura
2
3
T
~
μ
2
3
−
μ
T
~
T=300K
Si
Ge
InSb
InAs
PbS
μ
h
(
m
2
/Vs
)
0,060
0,190
0,075
0,046
0,060
μ
e
(
m
2
/Vs
)
0,150
0,390
7,700
3,300
0,055
Przewodnictwo
półprzewodników
E
n
m
e
v
en
j
e
d
r
r
r
τ
∗
=
−
=
2
E
j
r
r
σ
=
∗
τ
=
σ
e
m
n
e
2
e
e
enμ
=
σ
h
h
epμ
=
σ
prędkość dryftu określa gęstość prądu
porównując z
prawem Ohma
(
)
h
e
p
n
e
μ
+
μ
=
σ
w półprzewodnikach transport ładunku jest spowodowany zarówno
elektronami, jak i dziurami, konduktywność wyraża się wzorem:
∗
=
e
e
m
e
τ
μ