Elektrony i dziury

•

struktura pasmowa

•

podział ciał stałych

•

masa efektywna nośników

•

pojęcie dziury

•

półprzewodniki

 

Co to jest teoria pasmowa

Teoria pasmowa jest kwantowo-mechanicznym opisem

zachowania elektronów w krystalicznym ciele stałym.

Nazwa teoria pasmowa pochodzi od

najważniejszej cechy widma

energetycznego w krysztale:

w przeciwieństwie do dyskretnych

poziomów dla izolowanych atomów,

widmo energetyczne kryształu

charakteryzują pasma energii

dozwolonych o skończonej szerokości

 

Wady modelu elektronów

swobodnych

a

przyjęcie stałego potencjału

w modelu elektronów swobodnych

nie uwzględnia dyskretnej struktury

krystalicznej ciał stałych

a

istotny wpływ na zachowanie

elektronów odgrywa ich

oddziaływanie z jonami sieci

a

brak również uwzględnienia

oddziaływania elektronów pomiędzy sobą

a

oba typy oddziaływań można rozdzielić stosując

różne rodzaje przybliżeń: jednoelektronowe,

elektronów prawie swobodnych lub silnie

związanych

E

x

0

∞

∞

 

Powstawanie pasm

a

jako punkt wyjścia przyjmujemy

funkcje falowe i zdegenerowane

poziomy energetyczne

pojedynczych atomów

a

w wyniku zbliżania atomów

następuje rozszczepienie

poziomów w pasma i ewentualne

przekrywanie (zlewanie)

a

szerokość pasma zależy od

przekrywania odpowiednich

funkcji falowych

a

głęboko leżące poziomy są

nieznacznie poszerzone i

zachowują swój atomowy

charakter

odległość r

r

0

en

er

gi

a elektr

onu

E

1s

2s

2p

 

Izolowane, swobodne atomy Na

ρ

ρ

Na

Na

3s

1

3s

1

2s

2

2s

2

1s

2

1s

2

2p

6

2p

6

+

+

0

r >> a

Poziom zerowy

U

U

3s

2s

1s

a

w atomie swobodnym

każdy poziom jest 2(2l+1)

krotnie zdegenerowany

a

dla N atomów liczba

podpoziomów wynosi

2N(2l+1)

a

bariera potencjału nie

zezwala elektronom

swobodnie poruszać się

między atomami

a

elektrony są zlokalizowane,

funkcje falowe nie

zachodzą na siebie

 

Zmiana stanu elektronów

przy zbliżaniu się atomów

Na

+

+

+

+

Na

Na

Na

a = 4.3A

o

0

3s

2s

1s

3s

2p
2s

1s

ρ

ρ

a

obniżenie poziomu potencjału

poniżej stanu 3s

a

elektrony 3s stają się

swobodne

a

funkcje falowe tych

elektronów zachodzą na siebie

a

funkcje falowe elektronów

wewnętrznych nie ulegają

zmianie

a

pojedyncze poziomy ulegają

rozszczepieniu tworząc pasmo

Przy odległościach równych stałej sieci 0,43 nm otrzymujemy:

 

Zapełnianie pasm przez

elektrony

a

izolatory i półprzewodniki - niższe pasma

całkowicie zapełnione, wyższe poczynając

od pewnego, całkowicie puste

a

metale proste - nad całkowicie zapełnionymi

pasmami istnieje pasmo zapełnione

częściowo

a

metale z pasmami nakładającymi się -

najwyższe całkowicie zapełnione pasmo,

zachodzi na położone nad nim najniższe

pasmo puste, wtedy oba zapełniają się

częściowo

Pod względem charakteru zapełnienia pasm przez elektrony
możemy podzielić wszystkie ciała na trzy grupy:

E

k

 

Podział ciał stałych

O własnościach fizycznych ciał stałych decydują:

a

kształt i sposób obsadzenia elektronami dwóch najważniejszych

pasm energetycznych

`

pasma przewodnictwa - najniższego pasma nie

zapełnionego

`

pasma podstawowego (walencyjnego) - najwyższego

pasma obsadzonego przez elektrony

a

odległość między tymi pasmami E

g

- zwana przerwą

energetyczną (pasmem zabronionym)

`

izolatory E

g

> 3 eV - nie przewodzą prądu

`

półprzewodniki E

g

< 3 eV, choć GaN ( 3,4 eV)

diament (5,4 eV)

`

metale E

g

= 0 - pasma zachodzą na siebie

a

ta sama substancja może mieć w pewnych warunkach bądź

właściwości półprzewodnikowe, bądź metaliczne

E

 

Masa efektywna elektronu

a

Masa efektywna jest charakterystyką rozważanego pasma a

nie elektronu

a

pojęcie masy efektywnej ma znaczenie fizyczne, gdyż wyraża

wpływ periodycznego potencjału sieci na dynamikę elektronu

a

m* opisuje ruch elektronu pod wpływem sił zewnętrznych F

a

siły wewnętrzne wywierane przez sieć jako wynik

oddziaływania elektronu z potencjałem krystalicznym są

uwzględnione w wartości m* różnej od masy rzeczywistej m

0

a

wartość m* jest z reguły mniejsza od m

0

siec

F

F

m

F

m

a

m

+

=

=

*

0

0

*

m

F

a =

siec

F

F

F

m

m

+

=

0

*

1

2

2

2

*

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

dk

E

d

m

h

 

-k

e

k

e

0

k

E

∗

+

h

v

m

k

E

2

2

2

h

E

v

E

c

∗

+

e

c

m

k

E

2

2

2

h

-q

Pasma paraboliczne

...

)

(

2

0

2

2

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

=

k

dk

E

d

E

k

E

k

c

∗

+

=

e

c

m

k

E

k

E

2

)

(

2

2

h

Dla pasm parabolicznych zachowanie
pojedynczego elektronu w paśmie
przewodnictwa opisuje się stałą masą m

*

e

∗

∗

−

=

+

=

e

v

e

v

m

k

E

m

k

E

k

E

2

2

2

2

2

2

h

h

)

(

Podobnie będzie z elektronami w
paśmie walencyjnym, gdzie m

*

e

< 0

jest masą efektywną tych elektronów

e

przejście
proste

 

Odwrotne zjawisko

termoelektryczne

W metalach w których pasmo
walencyjne jest prawie całkowicie
zapełnione występuje odwrotne
zjawisko termoelektryczne - jakby
dziury (ładunki dodatnie) dyfundowały
od gorącego do zimnego końca

metal prosty

półmetal

T

1

> T

2

E

k

cynk Zn
kadm Cd
bizmut Bi

ujemna m*

 

Pojęcie dziury

W przypadku pasma prawie całkowicie zapełnionego zamiast o ruchu
brakującego elektronu o ujemnej masie wygodniej jest wprowadzić
pojęcie dziury h (hole) o dodatnim ładunku +e i v

h

= v

b.el

e

q

h

+

=

( )

( )

k

m

k

m

e

h

∗

∗

−

=

masa efektywna dziury jest
równy masie wzbudzonego
elektronu i ma znak
przeciwny, czyli jest dodatnia

Właściwości dziury:

E

el

k

pusty stan

b.el

k

e

E

h

k

dziura

k

h

el

b

h

k

k

.

−

=

el

b

h

v

v

.

=

im większa jest energia nieobsadzonego
przez elektron stanu w paśmie walencyjnym
tym mniejsza jest energia dziury

 

Półprzewodniki

a

Półprzewodniki to materiały o przerwie energetycznej poniżej

3 eV, które w temperaturze 0 K mają całkowicie zapełnione

pasmo walencyjne i puste pasmo przewodnictwa

a

w wyższych temperaturach pod wpływem wzbudzeń

termicznych, część elektronów z pasma walencyjnego

przechodzi do pasma przewodnictwa

a

swobodne elektrony w p.p. i dziury w p.w. decydują o

przewodnictwie elektrycznym półprzewodnika

a

konduktywność materiałów półprzewodnikowych zmienia się
w przedziale od 10

–8

do 10

6

(

Ωcm)

–1

 

Stan równowagi

W ogólnym przypadku poziomy Fermiego dla elektronów i dziur
mogą się nie pokrywać.

W stanie równowagi poziomy Fermiego pokrywają się

E

Fp

E

Fn

E

v

E

c

0

E

0’

E’

E

g

generacja

E

Fp

E

Fn

E

v

E

c

rekombinacja

E

Fn

+ E

Fp

= –E

g

E

Fn

= E

F

E

v

E

c

równowaga

E

Fp

kT

E

c

Fn

e

N

n

=

kT

E

v

Fp

e

N

p

=

 

a

Wpływ domieszek na właściwości fizyczne jest

zaniedbywalny

a

charakteryzują się doskonałą strukturą

krystaliczną, bez obcych atomów i defektów

strukturalnych

a

swobodne nośniki powstają tylko kosztem

rozerwania wiązań kowalencyjnych

a

liczba dziur jest równa liczbie swobodnych

elektronów i nazywa koncentracją samoistną

Półprzewodniki samoistne

i

n

p

n

=

=

 

Statystyka nośników w p.s.

i

n

p

n

=

=

(

)

kT

E

v

c

kT

E

E

v

c

kT

E

v

kT

E

c

i

g

Fp

Fn

Fp

Fn

e

N

N

e

N

N

e

N

e

N

np

n

−

+

=

=

=

=

2

(

)

(

)

kT

E

h

e

i

g

e

m

m

h

kT

n

2

4

3

3

2

3

2

2

−

∗

∗

π

=

kT

E

v

c

i

g

e

N

N

n

2

−

=

Koncentracja równowagowa w półprzewodniku samoistnym określona
jest przez szerokość pasma zabronionego i temperaturę półprzewodnika

Półprzewodnik

Si

Ge

Sn

E

g

(eV)

1,12

0,67

0,08

n

i

(m

-3

)

2·10

16

3·10

19

1·10

24

T (K)

100

300

600

n

i

(m

-3

)

3·10

7

3·10

19

6·10

23

 

Położenie poziomu Fermiego

∗

∗

+

−

=

e

h

g

F

m

m

kT

E

E

ln

4

3

2

E

T

E

c

E

v

E

F

∗

∗

=

e

h

m

m

∗

∗

>

e

h

m

m

∗

∗

<

e

h

m

m

Dla większości samoistnych
półprzewodników w
temperaturach pokojowych
przesunięcie poziomu
Fermiego można zaniedbać,
czyli E

F

= –E

g

/2

 

Półprzewodniki samoistne

i domieszkowe

półprzewodniki typu p
przewodnictwo dziurowe
domieszki akceptorowe: B, Ga, In
III grupa układu okresowego

półprzewodniki typu n
przewodnictwo elektronowe
domieszki donorowe: P, As, Sb
V grupa układu okresowego

 

Położenie poziomu Fermiego

0

E

F

T

i

T

s

E

d

E

c

T

0

E

v

niskie

temp.

wyczerpanie

domieszki

przewodnictwo

samoistne

 

Zależność koncentracji

elektronów od temperatury

1

T

tg

E

k

j

α

1

2

=

tg

E

k

g

α

2

2

=

1

T

s

1

T

i

E

d

Dla T < T

s

kT

E

c

d

d

e

N

N

n

2

2

1

2

1

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

Dla T > T

i

(

)

kT

E

v

c

i

g

e

N

N

n

2

2

1

−

=

d

N

n =

 

Dla typu p

Dla T < T

s

kT

E

v

a

a

e

N

N

p

2

2

1

2

1

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

p

n

n

i

2

=

Dla T

s

< T < T

i

n

N

p

a

+

=

2

i

n

np =

2

4

2

2

i

a

a

n

N

N

p

+

+

=

2

4

2

2

i

a

a

n

N

N

n

+

+

−

=

N

a

~ n

i

Dla T > T

i

i

n

p

n

=

=

n

i

>> N

d

(

)

kT

E

v

c

i

g

e

N

N

n

2

2

1

−

=

E

a

E

g

kT

E

F

½E

g

 

Ruchliwość nośników

a

ruchliwość nośników to średnia prędkość unoszenia (dryftu) przy

jednostkowym natężeniu zewnętrznego pola elektrycznego

μ = v

d

/E

a

ustalona wartość ruchliwości jest wynikiem zderzeń nośników z
fononami i domieszkami sieci

a

średnia prędkość dryftu zależy od natężenia pola elektrycznego i czasu

pomiędzy zderzeniami (czas relaksacji zderzeniowej

τ)

a

ruchliwość nie zależy od czynników zewnętrznych a jedynie od
właściwości ciała stałego

τ

∗

=

e

d

m

eE

v

∗

τ

=

=

μ

e

d

e

m

e

E

v

 

Zależność ruchliwości od

temperatury

a

w niskich temperaturach przeważa
rozpraszanie na domieszkach

a

w wyższych temperaturach
ruchliwość maleje w wyniku
wzrostu rozpraszania na

drganiach akustycznych sieci

a

ze wzrostem koncentracji domieszki
ruchliwość nośników maleje

a

ruchliwość elektronów jest
zazwyczaj większa od ruchliwości

dziur

Rozpraszanie
na domieszkach

Rozpraszanie
na fononach

μ~T

3/2

μ~T

-3/2

N

d

N >N

d

d

,

R

uc

hl

iw

o

ść

Temperatura

2

3

T

~

μ

2

3

−

μ

T

~

T=300K

Si

Ge

InSb

InAs

PbS

μ

h

(

m

2

/Vs

)

0,060

0,190

0,075

0,046

0,060

μ

e

(

m

2

/Vs

)

0,150

0,390

7,700

3,300

0,055

 

Przewodnictwo

półprzewodników

E

n

m

e

v

en

j

e

d

r

r

r

τ

∗

=

−

=

2

E

j

r

r

σ

=

∗

τ

=

σ

e

m

n

e

2

e

e

enμ

=

σ

h

h

epμ

=

σ

prędkość dryftu określa gęstość prądu

porównując z
prawem Ohma

(

)

h

e

p

n

e

μ

+

μ

=

σ

w półprzewodnikach transport ładunku jest spowodowany zarówno
elektronami, jak i dziurami, konduktywność wyraża się wzorem:

∗

=

e

e

m

e

τ

μ