13

4. Podstawowe prawa gazowe

Powietrze w zamkniętym zbiorniku wytwarza nacisk na jego ściany; wielkość tego nacisku
wyrażamy przez podanie wartości ciśnienia (absolutnego). Stan fizyczny powietrza w
zamkniętym zbiorniku jednoznaczne określają trzy parametry:
· temperatura

T

,

· ciśnienie

p

,

· objętość

V

.

Zależność masy m gazu zawartego w zamkniętym zbiorniku od temperatury, ciśnienia i
objętości wyraża w przybliżeniu równanie stanu gazu (prawo Clapeyrona)

T

R

m

V

p









gdzie: R - stała gazowa (dla powietrza R = 287 Nm/kgK).
Abstrakcyjny czynnik, którego własności są zgodne z prawem Clapeyrona nazywa się gazem
idealnym. W obliczeniach inżynierskich traktuje się powietrze jako gaz idealny.

Z prawa Clapeyrona wynika szereg zależności opisujące tzw. przemiany gazowe.

Jeżeli objętość zbiornika, w którym zamknięta jest pewna ilość powietrza zostanie
zmniejszona od

1

V do

2

V z zachowaniem niezmiennej temperatury, to ciśnienie wzrośnie od

początkowej wartości

1

p do

2

p . Taka zmiana stanu zawartej w zbiorniku ilości powietrza

nazywa się przemianą izotermiczną. Zależność pomiędzy parametrami stanu początkowego i
końcowego przemiany izotermicznej wyraża prawo Boyle’a i Mariotte’a

2

2

1

1

V

p

V

p







jeżeli

.

const

T



lub

.

const

V

p





Ogrzewanie powietrza, w wyniku czego wzrośnie jego temperatura od wartości

1

T do

2

T ,

przy zachowaniu stałej wartości ciśnienia w zbiorniku, powoduje wzrost jego objętości
powietrza, proporcjonalny do wzrostu temperatury. Taka zmiana stanu powietrza nazywa się
przemianą izobaryczną. Zależność pomiędzy parametrami stanu początkowego i końcowego
przemiany izobarycznej wyraża prawo Gay–Lussaca

2

2

1

1

T

V

T

V



lub

2

1

2

1

T

T

V

V



jeżeli

.

const

p



lub

.

const

T

V



Wzrost temperatury powietrza od wartości

1

T do

2

T , przy niezmiennej objętości, powoduje

wzrost ciśnienia w zbiorniku, proporcjonalny do wzrostu temperatury. Taka zmiana stanu
powietrza nazywa się przemianą izochoryczną. Zależność pomiędzy parametrami stanu
początkowego i końcowego przemiany izochorycznej wyraża prawo Charlesa

2

2

1

1

T

p

T

p



lub

2

1

2

1

T

T

p

p



jeżeli

.

const

V



lub

.

const

T

p



14

Wymienione trzy prawa, opisujące zmiany stanu gazu w zamkniętym zbiorniku, można
wyrazić w postaci jednego równanie, zwanego ogólnym równaniem stanu gazu.

2

2

2

1

1

1

T

V

p

T

V

p







lub

.

const

T

V

p





Prawo Boyle’a i Mariotte’a wyraża związek pomiędzy parametrami stanu początkowego
(objętością

1

V i ciśnieniem

1

p ) pewnej masy powietrza o temperaturze T i parametrami

stanu końcowego (objętością

2

V i ciśnieniem

2

p ), jeżeli temperatura powietrza w stanie

końcowym jest taka sama jak w stanie początkowym. Wiadomo jednak, że podczas sprężania
pewnej masy powietrza o temperaturze otoczenia jego temperatura wzrasta, po czym, w
wyniku oddawania przez ogrzane powietrze ciepła do otoczenia, ponownie osiąga
temperaturę otoczenia. W stanie przejściowym prawo Boyle’a i Mariotte’a nie jest spełnione.
Zależność pomiędzy objętością

1

V i ciśnieniem

1

p oraz objętością

2

V i ciśnieniem

2

p , kiedy

1

2

T

T



, wyraża równanie

n

n

V

p

V

p

2

2

1

1







Wartość wykładnika n zależy od ilości ciepła doprowadzonego (lub odprowadzonego) do
powietrza poddawanego przemianie. Przemiana taka nazywa się przemianą politropową; n -
wykładnikiem przemiany politropowej. Szczególnym przypadkiem przemiany politropowej
jest przemiana dokonująca się przy braku przepływu ciepła pomiędzy powietrzem
poddawanym przemianie i otoczeniem. Przemiana taka nazywa się przemianą adiabatyczną.
Wykładnik przemiany adiabatycznej przyjęto oznaczać symbolem



, przy czym

4

,

1





.

W przypadku przemiany adiabatycznej obowiązuje równanie





2

2

1

1

V

p

V

p







Procesy szybkiego sprężania lub rozprężania mogą być traktowane jako przemiany
adiabatyczne.

Z równania przemiany adiabatycznej wynikają zależności:



















2

1

1

2

V

V

p

p

lub



1

2

1

1

2

















p

p

V

V

Wstawiając jedną z nich do ogólnego równania stanu gazu otrzymuje się dla przemiany
adiabatycznej:

1

2

1

1

2





















V

V

T

T

lub





1

1

2

1

2



















p

p

T

T

Pojemność cieplna (danego ciała) – ilość ciepła niezbędna do ogrzania danego ciała o 1 K.
Ciepło właściwe (kilogramowe) – ilość ciepła niezbędna do ogrzania 1 kg substancji o 1 K.

W przypadku gazów rozróżnia się:

- ciepło właściwe przy stałej objętości



C ,

- ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu

p

C

.

Ponieważ przy ogrzewaniu przy stałym ciśnieniu część energii cieplnej jest zużywana na
pracę rozszerzania gazu równą

)

(

1

2

V

V

p





, to



C

C

p



.

15

Przy ogrzewaniu gazu bez zmiany jego objętości należy dostarczyć ciepło

)

(

1

2

1

T

T

C

m

Q











Przy ogrzewaniu gazu pod stałym ciśnieniem (ze zmianą jego objętości) należy dostarczyć
ciepło

)

(

1

2

2

T

T

C

m

Q

p









Zatem równanie energii ma postać

)

(

)

(

)

(

1

2

1

2

1

2

V

V

p

T

T

C

m

T

T

C

m

p























Z prawa Clapeyrona otrzymuje się:

p

T

R

m

V

1

1







oraz

p

T

R

m

V

2

2







Zatem

)

(

)

(

1

2

1

2

T

T

R

m

V

V

p













Po uwzględnieniu tego wyrażenia, z równania energii otrzymuje się:

R

C

C

p







lub

R

C

C

p







.

Dla powietrza:

R

C

p





2

7

R

C





2

5



Energia wewnętrzna

U

- iloczyn masy gazu, jego temperatury i ciepła właściwego przy

stałej objętości (ilość ciepła potrzebna do ogrzania danej ilości gazu bez zmiany jego
objętości od zera bezwzględnego do jego temperatury)



C

T

m

U







u

m

U





, gdzie

T

C

u







u - energia wewnętrzna właściwa – energia wewnętrzna 1 kg substancji.

Energia wewnętrzna danego ciała jest funkcją tylko jego temperatury.

Entalpia I - iloczyn masy gazu, jego temperatury i ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu
(ilość ciepła potrzebna do ogrzania danej ilości gazu przy stałym ciśnieniu od zera
bezwzględnego do jego temperatury)

p

C

T

m

I







i

m

I





, gdzie

T

C

i

p





i - entalpia właściwa – entalpia 1 kg substancji.

)

(

1

2

V

V

p

U

I









I zasada termodynamiki

Ciepło doprowadzone do układu może być zużyte na zwiększenie energii wewnętrznej lub
wykonanie pracy bezwzględnej.

16

W przypadku przemiany izotermicznej

.

const

T



więc

0





U

, zatem dostarczone ciepło

przekształca się na pracę bezwzględną lub włożona praca przekształca się w ciepło
odprowadzane na zewnątrz.

W przypadku przemiany adiabatycznej

0



Q

, zatem włożona praca zużywana jest tylko na

przyrost energii wewnętrznej lub praca bezwzględna jaką wykonuje rozprężający się gaz
dokonuje się kosztem zmniejszenia jego energii wewnętrznej.

Na podstawie I zasady termodynamiki można wyznaczyć wartości ciepła właściwego



C i

p

C

.

Obliczmy jaką pracę wykonuje powietrze zawarte w cylindrze o powierzchni przekroju A
zamkniętym tłokiem, rozprężające się adiabatycznie od ciśnienia początkowego

1

p do

ciśnienia końcowego

2

p .

Siła oddziaływania powietrza na tłok wykonuje pracę na drodze od położenia początkowego

1

x do położenia końcowego

2

x . Praca

L

jaką wykona powietrze jest















2

1

2

1

V

V

x

x

dV

p

dx

A

p

L

Uwzględniając, że































V

V

p

V

V

p

p

1

1

1

1

,

otrzymuje się



















































1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

2

1

V

V

V

p

dV

V

V

p

dV

p

L

V

V

V

V

Uwzględniając, że



1

2

1

1

2

















p

p

V

V

otrzymuje się

















































1

1

2

1

1

1

5

,

2

p

p

V

p

L

W wyniku wykonania przez powietrze pracy zmniejsza się jego energia wewnętrzna o

)

(

2

1

T

T

C

m

U













Uwzględniając, że

1

1

1

T

R

V

p

m







oraz























1

2

1

1

2

p

p

T

T

, otrzymuje się





















































1

1

2

1

1

1

p

p

R

V

p

C

U

Z równania

U

L





otrzymuje się

R

C





5

,

2



.

R

R

C

C

p









5

,

3

