N

IWELACJA

T

RYGONOMETRYCZNA

1

N

IWELACJA

T

RYGONOMETRYCZNA

polega na

wyznaczeniu ró nicy wysoko ci pomi dzy dwoma

punktami na fizycznej powierzchni Ziemi na

podstawie

pomiarów

k towych

(odległo

zenitalna) i liniowych (odległo mi dzy punktami).

szukane:

H

el

ij

= H

el

j

- H

el

i

,

powierzchnia odniesienia: elipsoida

N

IWELACJA

T

RYGONOMETRYCZNA

2

Pomiar Z

ij

niemo liwy bo:

wpływ ziemskiego pola siły ci ko ci – odległo

zenitalna z

ij

mierzona jest od normalnej do

powierzchni

ekwipotencjalnej

(stycznej

do

rzeczywistej linii pionu w punkcie P

i

– wektor g

i

),

wpływ atmosfery ziemskiej – pionowa refrakcja

atmosferyczna.

i

i

ij

ij

z

Z

ε

δ

+

+

=

gdzie:

•

Z

ij

– odległo zenitaln Z

ij

odniesion do normalnej

do elipsoidy n

i

oraz do niezniekształconej wpływem

atmosfery celowej P

i

– P

j

,

•

z

ij

– obserwowana odległo zenitalna,

•

δ

i

– k t refrakcji pionowej w punkcie P

i

dla celowej

P

i

– P

j

,

•

ε

i

– odchylenie pionu w azymucie linii P

i

– P

j

,

P

RZEWY SZENIE

J

EDNOSTRONNE

przyjmujemy e łuk elipsoidy

j

i

P

P

−

jest łukiem kołowym

o promieniu równym redniemu promieniowi krzywizn

przekrojów normalnych w punktach P

i

, P

j

w azymucie

celowej (uproszczenie to dla odległo ci mi dzy punktami

s=30km powoduje bł d wysoko ci 1mm i dla odległo ci

wi kszych nie powinno by stosowane);

pomijamy wpływ wichrowato ci normalnych do elipsoidy

w punktach P

i

i P

j

– ró nica wysoko ci obliczana jest w

płaszczy nie przekroju normalnego punktu celowania - P

i

(maksymalny wpływ tego uproszczenia na

H nie

przekroczy 0.014 mm dla s=100km, H=10km).

N

IWELACJA

T

RYGONOMETRYCZNA

3

c

i

Z

s

H

H

H

ij

ij

el

i

el

j

el

ij

−

+

−

=

−

=

∆

2

cos

2

cos

γ

γ

ij

e

j

ij

Z

H

R

s

sin

sin

+

=

γ

lub

R

s

ij

=

γ

N

IWELACJA

T

RYGONOMETRYCZNA

4

N

IWELACJA

T

RYGONOMETRYCZNA

D

WUSTRONNA

wykonywane s wzajemne obserwacje odległo ci

zenitalnej z dwóch ko ców celowej P

i

– P

j

,

odległo ci zenitalne z

ij

, z

ji

w punktach P

i

, P

j

, oraz

długo ci sko ne s

ij

i s

ji

,

pozwala na uproszczenie problemu poprzez

eliminacj niektórych czynników …

−

=

−

°

−

+

=

2

sin

2

cos

180

ij

ji

ij

ji

ij

Z

Z

Z

Z

Z

γ

γ

(

)

2

cos

2

1

sin

γ

ij

ji

ij

el

ij

Z

Z

s

H

−

=

∆

- rednia z pomiarów wzajemnych

gdzie:

i

i

ij

ij

z

Z

ε

δ

+

+

=

,

j

j

ji

ji

z

Z

ε

δ

−

+

=

N

IWELACJA

T

RYGONOMETRYCZNA

5

Atmosfera ziemska, która jest o rodkiem dla obserwacji

w niwelacji trygonometrycznej, charakteryzuje si

zmiennym współczynnikiem załamania, co powoduje

zakrzywienie promienia wietlnego i zmienn pr dko

fali pomiarowej. Zgodnie z zasad Fermata tor

promienia wietlnego jest taki, aby czas przebiegu fali T

wzdłu toru był minimalny.

zakrzywienie promienia wietlnego -

δ

, k

zmienna pr dko fali pomiarowej – n rzeczywiste

Opisuj c wpływ atmosfery na pomiar odległo ci

zenitalnej wprowadzamy redni współczynnik refrakcji:

r

R

k

=

gdzie: R – promie łuku elipsoidy

r – promie łuku celowej przyjmowanej za łuk

okr gu, (np. dla fal optycznych przyjmowany

cz sto jako r=8R k 0.13).

K t refrakcji wynosi:

R

ks

r

s

2

2

=

=

δ

Najwi kszy wpływ na k t refrakcyjny maj :

warunki meteorologiczne w pobli u stanowiska,

przede wszystkim pionowy gradient temperatury.

Zakrzywienie toru nie ma praktycznego wpływu na

pomierzon odległo sko n (np. ró nica mi dzy

ci ciw a strzałk dla 10km i k=0.13 wynosi

∆

S=0.01

mm).

N

IWELACJA

T

RYGONOMETRYCZNA

6

N

IWELACJA

T

RYGONOMETRYCZNA O

K

RÓTKICH

B

OKACH

Wyznaczaj c przewy szenie mi dzy dwoma reperami

dzielimy to przewy szenie na kilka stanowisk

instrumentu – analogicznie do podziały odcinka na

stanowiska niwelatora – i sumujemy jednostkowe

ró nice wysoko ci.

Rozwijaj c w szereg Taylora wzór jednostronnej

niwelacji

trygonometrycznej

(pomijaj c

wyrazy

wy szych rz dów i przyjmuj c cos(

γ

/2)=1 – bł d 0.1mm

dla s=2km) otrzymamy:

−

+

−

=

∆

2

sin

cos

γ

δ

ε

i

i

ij

ij

ij

ij

el

ij

z

s

z

s

H

Przyjmuj c:

sin

2

ij

i

i

ij

s

k

z

R

δ

=

sin

ij

ij

s

z

R

γ

=

otrzymamy:

(

)

(

)

i

ij

ij

ij

ij

i

ij

ij

el

ij

k

R

z

s

z

s

z

s

H

−

+

−

=

∆

1

2

sin

sin

cos

2

ε

N

IWELACJA

T

RYGONOMETRYCZNA

7

Obliczaj c analogicznie przewy szenie

∆

H

el

ji

i

obliczaj c

redni otrzymamy wzór ko cowy na

dwustronn wzajemn niwelacj trygonometryczn :

(

) (

) ( )

(

)

j

i

ij

ij

j

i

ij

ij

ji

ij

ij

el
ij

z

s

k

k

R

z

s

z

z

s

H

ε

ε

+

−

−

−

−

=

∆

sin

2

1

4

sin

cos

cos

2

1

2

Stosuj c:

odpowiedni dobór punktów,

jednoczesny moment pomiaru – obserwacje

synchroniczne,

identyczny przebieg obustronnych celowych –

obserwacje wzajemne

krótkie celowe

mo emy zało y , e k

i

= k

j

, wówczas:

(

)

(

)

j

i

ij

ij

ji

ij

ij

el
ij

z

s

z

z

s

H

ε

ε

+

−

−

=

∆

sin

2

1

cos

cos

2

1

Pierwszy wyraz – elementarna ró nica wysoko ci

wyznaczona na podstawie pomiaru z

ij

, z

ji

i s

ij

;

Drugi wyraz - opisuje wpływ ziemskiego pola siły

ci ko ci i ł czy wyniki niwelacji trygonometrycznej z

przewy szeniem elipsoidalnym.

N

IWELACJA

T

RYGONOMETRYCZNA

8

Je eli znamy odchylenia pionu w punktach

pocz tkowym i ko cowym w wyniku niwelacji

trygonometrycznej otrzymamy elipsoidaln ró nic

wysoko ci.

Jednak nawet nieznajomo odchyle pionu nie

eliminuje tej metody wyznaczania przewy sze . W

pewnych szczególnych przypadkach wyniki niwelacji

trygonometrycznej bez uwzgl dnienia wpływu pola siły

ci ko ci równowa ne s przewy szeniom otrzymanym

z niwelacji geometrycznej.

Ró nica przewy szenia na stanowisku niwelacji

geometrycznej, a elipsoidalna ró nica przewy szenia:

N

IWELACJA

T

RYGONOMETRYCZNA

9

dla całego odcinka P

i

– P

j

:

Aby zachodziła równo mi dzy sum elementarnych

przewy sze uzyskanych z niwelacji geometrycznej i

przewy szeniem otrzymanych z niwelacji trygonometrycznej

musi zachodzi równo :

(

)

(

)

−

∆

=

+

−

−

j

i

j

i

P

P

P

P

j

i

ij

ij

ji

ij

ij

dl

h

z

s

z

z

s

ε

ε

ε

sin

2

1

cos

cos

2

1

Aby ten warunek był spełniony – zmiana odchyle

pionu musi mie charakter liniowy – celowe do 500m.

N

IWELACJA

T

RYGONOMETRYCZNA

10

Gdy celowe do 500 m:

„surowe wyniki” niwelacji geometrycznej i

trygonometrycznej s równe;

przewy szenie wyznaczone jest w „systemie

naturalnym” zwi zanym z lini pionu i powierzchni

ekwipotencjaln ;

po

wprowadzeniu

poprawek

systemowych

otrzymamy

przewy szenie

normalne,

ortometryczne;

wzór roboczy na przewy szenie elementarne:

(

)

ji

ij

ij

ij

z

z

s

h

cos

cos

2

1

−

=

∆

Jak dokładnie nale y mierzy z,s ?

(

)

2

2

2

cos

2

sin

s

z

H

m

z

m

z

s

m

⋅

+

=

∆

Aby wpływy poszczególnych bł dów obserwacji nie

przekraczały warto 1mm dla przewy szenia:

[ ]

mm

z

m

S

cos

1

<

z [g]

95

90

80

70

60

50

ms [mm] 12,7 6,4 3,2 2,2 1,7 1,4

N

IWELACJA

T

RYGONOMETRYCZNA

11

z

s

m

z

sin

2

<

dla s=400 m :

z [g]

95

90

80

70

60

50

mz [cc]

2,3 2,3 2,4 2,5 2,8 3,2

Bł d przewy szenia składaj cego si z n jednakowych

prz seł:

H

H

m

n

M

∆

∆

⋅

=

dla boku 1 km:

∆

s [m]/z [g]

100 90 60 50

50

0,76 1,03 2,67 3,22

100

1,04 1,14 2,06 2,34

200

1,50 1,52 1,79 1,90

300

1,73 1,73 1,73 1,73

500

2,35 2,33 2,07 1,93

Dowi zanie instrumentu do łaty:

α

tan

⋅

−

=

d

O

i

N

IWELACJA

T

RYGONOMETRYCZNA

12

Wnioski – technologia pomiaru:

pomiar odległo ci z dokładno ci milimetrow

(tereny górskie),

u redniony pomiar z dwóch stanowisk,

konieczno uwzgl dnienia poprawki

atmosferycznej,

pomiar temperatury i ci nienia na obu

stanowiskach – odczyty z dokładno ci 0.2

o

C,

0,5mmHg,

wilgotno powietrza na jednym ze stanowisk,

stała dodawania zastawu dalmierz-lustro,

k ty zenitalne mierzone synchronicznie – radio,

sekundowa dokładno pomiaru k tów,

pomiar w trzech seriach, ró nice mi dzy seriami <

10

cc

,

cel – obiektyw lunety lub specjalne tarcze –

obserwacje wzajemne,

krótsze prz sła w terenach o mało zró nicowanej

rze bie, dłu sze w terenach górskich;

dowi zanie do reperów – pomiar do łat przy „prawie

poziomej celowej”,

odległo instrumentu od łaty do 8m,

pomiar odległo ci do łaty z dokładno ci ~10 cm.