Niwelacja

trygonometryczna

Niwelacja trygonometryczna jako

metoda

wyznaczania

różnic

wysokości w odniesieniu do geoidy

lub elipsoidy znajduje zastosowanie

dla

dużych

odległości,

rzędu

kilkunastu kilometrów dla geoidy i

kilkudziesięciu dla elipsoidy, może

być też wykorzystywana do celów

specjalnych, takich jak wyznaczanie

odchyleń pionu. W odniesieniu do

powierzchni płaskiej jest często

stosowana jako alternatywa dla

niwelacji geometrycznej.

Wyprowadzenie wzoru na

przewyższenie:

• W punktach A i B o

wysokościach odpowiednio H

A

i

H

B

zmierzone są kąty pionowe

(zenitalne z lub pochylenia a).
Promień świetlny z A do B lub
z B do A przebiega, na skutek
refrakcji, wzdłuż linii krzywej,
zwanej krzywą refrakcji o
średnim promieniu krzywizny
r. Proste AB' i BA' są to styczne
do krzywej refrakcji.

• Odległość s

0

na poziomie

morza jest wyznaczona ze
współrzędnych punktów A i B.
Może być również za pomocą
dalmierza elektrooptycznego
zmierzona odległość skośna
AB, zamiast obliczonej
odległości s

0

.

Wyprowadzenie wzoru na

przewyższenie:

• Stosując wzór tangensów

do trójkąta AOB, gdzie O
jest środkiem kuli
ziemskiej, otrzymujemy:

• gdzie Z

A

i Z

B

są to kąty

poprawione o wpływ
refrakcji według zasad
podanych w rozdziale 4,
czyli Z

A

= z



+



A

; Z

B

= z

B

+



B

.

Wyprowadzenie wzoru na

przewyższenie:

•

Jeśli

przyjmiemy,

że

załamywany na całej swej drodze
promień świetlny tworzy łuk o
stałej krzywiźnie o promieniu r,
wtedy kąty refrakcji są równe
sobie w chwili obserwacji i
otrzymamy wzór na różnicę
wysokości

wyznaczoną

na

podstawie

jednoczesnych

pomiarów kątów zenitalnych na
obydwu wyznaczanych punktach

Przez założenie równości
kątów refrakcji,



A

=



B

, został

wyeliminowany ze wzoru na
różnicę

wysokości

czynnik

określający wpływ refrakcji.

Wyprowadzenie wzoru na

przewyższenie:

• Jeśli przyjmiemy

uproszczony matematyczny
model

refrakcji,

zakładający że promień
świetlny przebiega po łuku
koła o promieniu r i
wprowadzimy

pojęcie

średniego współ- czynnika
refrakcji dla celowej AB
równego:

•

Po

przekształceniach

otrzy- mujemy powszechnie
stoso- wany wzór na
przewyższenie:

Wyrażenie określa wpływ krzywizny Ziemi,

wyrażenie określa wpływ refrakcji.

• Jeśli za powierzchnię

odniesienia przyjmiemy
powierzchnię płaską,
wtedy końcowy wzór
wygląda następująco:

Odległości, dla których stosujemy takie rozwiązanie

nazywane bywają odległościami krótkimi. Granicą tych

odległości, tak zwanych krótkich, jest 300 m lub więcej, w

zależności od dokładności wyznaczanej różnicy wysokości.

Bardziej szczegółowe rozgraniczenie (zdefiniowanie odległości

tak zwanych krótkich) wynika z analizy dokładności niwelacji

trygonometrycznej. Wartość wpływu krzywizny Ziemi i refrakcji

należy porównać z wpływem błędu kąta i długości na wyznaczaną

różnicę wysokości przy założonych błędach pomiarów. Jeśli

sumaryczny wpływ krzywizny i refrakcji jest mniejszy od wpływu

błędów pomiarowych, to uznajemy go za nieistotny i możemy nie

wprowadzać do wyników niwelacji trygonometrycznej. Można

również za nieistotną uznać wartość tego wpływu znacznie

mniejszą od wymaganej dokładności wyznaczenia różnicy

wysokości.

Stosując niwelację trygonometryczną do wyznaczania

wysokości punktów niedostępnych, jesteśmy zmuszeni mierzyć

kąt pionowy na jednym końcu odcinka, nie ma wtedy możliwości

eliminowania wpływu refrakcji. Należy jednak podkreślić, że dla

krótkich odległości wpływ refrakcji na dokładność wyznaczania

różnicy wysokości nie przekracza zazwyczaj wpływu błędu

pomiaru kąta pionowego.

Parę słów o współczynniku

refrakcji...

Poprawki ze względu na wpływ refrakcji pionowej

są wprowadzane na podstawie wartości liczbowej
współczynnika refrakcji K.

Współczynnik ten może być wyznaczany różnymi

sposobami. Bardzo często w praktyce przyjmuje się
pewną ustaloną średnią wartość współczynnika dla
danego obszaru; w Polsce przyjmuje się K = 0,13.
Wprowadzanie

poprawek

na

podstawie

wartości

współczynnika wyznaczanego podczas wykonywania
pomiarów jest znacznie dokładniejsze i pewniejsze, ale
jednocześnie bardzo pracochłonne. Dlatego współczynnik
K jest wyznaczany tylko w celach badawczych i dla
określania poprawek do pomiarów o szczególnym
znaczeniu. W pozostałych wypadkach przyjmuje się u nas
K = 0,13.

Dokładność niwelacji

trygonometrycznej

Wpływ błędu pomiaru kąta, błędu długości i

orientacyjny wpływ błędu współczynnika refrakcji
możemy określić z wzoru na błąd średni funkcji
niezależnych obserwacji. Różniczkując funkcję:

względem s, z oraz K i podstawiając wartości

pochodnych cząstkowych do wzoru Gaussa na błąd
średni funkcji bezpośrednich, niezależnych obserwacji,
otrzymamy:

Dokładność niwelacji

trygonometrycznej

Analizując wzór na średni błąd różnicy wysokości

widać, że:

- wpływ błędu pomiaru kąta wyrażony wzorem rośnie

proporcjonalnie do odległości;

- wpływ błędu długości (ctgz)m

s

ma znaczenie tylko przy

dużych różnicach wysokości;

- wpływ błędu współczynnika refrakcji wyrażony

wzorem s

20

rośnie proporcjonalnie do kwadratu

odległości.

Dokładność niwelacji

trygonometrycznej

Jedno

jest

pewne:

niwelacja trygonometryczna
jest

mniej

dokładna

od

niwelacji geometrycznej.

Ma jednak zastosowanie głównie przy pomiarach,

gdzie są duże różnice wysokości np. w górach, gdzie nie
jest wymagana duża dokładność i przy innych pomiarach
inżynieryjnych, ale o tym później.

Technika pomiaru

Pomiar

kąta

pionowego

wymaga,

jak

wiadomo, wykonania celowania tylko na

jedno ramię kąta; drugie ramię kąta — prosta

pozioma lub pionowa — jest realizowana za

pomocą libeli kolimacyjnej teodolitu lub

urządzenia

poziomującego

indeks

koła

pionowego. Dokładność realizowania linii

poziomej lub pionowej jest w każdym

teodolicie

odpowiednio

dobrana

do

dokładności

odczytywania

i

celowania.

Pomimo to pomiar kąta pionowego jest

wykonywany z nieco mniejszą dokładnością

niż kąta poziomego.

Technika pomiaru

Błąd celu kreską poziomą teodolitu jest

przeważnie większy niż kreską pionową,

szczególnie jeśli celujemy na świecę wieży

triangulacyjnej lub podwyższonego sygnału,

na wieżę kościelną, na różne cele naturalne.

Również

wiele

geodezyjnych

tarcz

celowniczych posiada kształt dogodniejszy do

celowania kreską pionową niż poziomą.

Kształt celu zmusza często do celowania

pojedynczą kreską poziomą, co — jak

wiadomo — jest znacznie mniej dokładne niż

wprowadzanie

obrazu

sygnału

między

podwójną kreskę krzyża celowniczego.

Technika pomiaru

Wpływ refrakcji jest znacznie większy na kierunek pionowy

niż na kierunek poziomy. Poprawka ze względu na refrakcję

nie uwalnia kąta pionowego z całego wpływu refrakcji.

Pozostaje pewna część wpływu niewyeliminowana, która

powoduje zwiększenie błędu pomiaru.
Mierząc kąty pionowe, oprócz przestrzegania wszystkich

wskazówek ogólnych co do poprawnej obsługi teodolitu,

należy również zwracać baczną uwagę na możliwe unikanie

nadmiernych wpływów refrakcji oraz wszędzie tam, gdzie to

jest możliwe — eliminowanie tych wpływów.
Wiadomo, że największe i właściwie niemożliwe do opisania,

chociażby przybliżonym modelem matematycznym, wpływy

refrakcji występują w przyziemnych warstwach atmosfery.

Dlatego też podwyższone stanowiska pomiarowe, stosowane

na punktach sieci geodezyjnych w celu umożliwienia

widoczności punktów, są bardzo korzystne; zmniejszają one

wpływ refrakcji na pomiary kątowe.

Technika pomiaru

Wybór pory dnia do pomiarów kątów jest
zagadnieniem ważnym. Wyniki badań i
dociekań wielu autorów wskazują, że
najwłaściwszą ze względu na refrakcję
porą dnia do wykonywania pomiarów, jest
w naszym klimacie środek dnia, czyli od
godziny 10-tej do 17-tej. W tym czasie
występują

najmniejsze

gradienty

termiczne, czyli najmniejsze zróżnicowania
współczynnika refrakcji. Poglądy te nie są
zdecydowanie jednakowe.

Zastosowanie niwelacji

trygonometrycznej

wyznaczanie wysokości punktów

niedostępnych

wyznaczanie różnic wysokości

punktów za

pomocą konstrukcji

pomiarowych

wyznaczanie różnic wysokości

reperów za pomocą ciągu

niwelacyjnego

Wyznaczanie wysokości punktów

niedostępnych

Typowym przykładem zastosowania

niwelacji trygonometrycznej jest pomiar
wysokości wieży.

Dla odległości do 200 m i z pomiarem długości

dalmierzem elektrooptycznym błąd pomiaru nie powinien
przekraczać 10 mm!

Wyznaczanie wysokości punktów

niedostępnych

Wysokość wieży liczona od cokołu:

gdzie A = r • tg

2

. Jeżeli

wieża

ma

przekrój

kwadratowy

lub

prostokątny, wartość r

może być wyznaczona

wprost, a w przypadku

wieży okrągłej w wyniku

pomiaru jej obwodu.

Wyznaczanie wysokości punktów

niedostępnych

Jeśli wieża jest niedostępna, można założyć bazę b i z jej

końców, oprócz kątów pionowych, należy także zmierzyć kąty
poziome 

1

, 

2

oraz długość bazy Najpierw oblicza się d

1

i d

2

;

oraz r według wzoru:

Wysokość wieży określa się

dwukrotnie z obu stanowisk J

1

i J

2

i następnie oblicza się wartość średnią.

Wyznaczanie wysokości punktów

niedostępnych

Jeżeli warunki terenowe uniemożliwiają założenie trójkąta ,

można tak usytuować stanowiska J

1

i J

2

, aby znajdowały się w

jednej płaszczyźnie pionowej z wyznaczanym punktem.

Wyznaczanie wysokości punktów

niedostępnych

Na podstawie rysunku można napisać, że:

Po określeniu odległości x obliczamy wysokość obiektu H za

pomocą jednego z dwóch podanych wyżej wzorów.

Wyznaczanie różnic wysokości punktów

za pomocą konstrukcji pomiarowych

Niwelacja

trygonometryczna

może

być

także

zastosowana

do

wyznaczania

różnicy

wysokości

dowolnych punktów . Wówczas musimy celować na
sygnały ustawione na znanych wysokościach ponad
wyznaczanymi punktami.

Wyznaczanie różnic wysokości punktów

za pomocą konstrukcji pomiarowych

Do tego rodzaju pomiarów najlepiej stosować zwykle

łaty niwelacyjne i celować wprost na nie, np. na pełne
metry lub na przesuwane wzdłuż nich tarcze sygnałowe.

Wyznaczanie różnic

wysokości reperów

za pomocą ciągu niwelacyjnego

W

terenach

górzystych

wykonywanie

pomiarów różnic wysokości metodą niwelacji

geometrycznej jest uciążliwe i pracochłonne

z powodu dużej liczby stanowisk niwelatora

w stosunku do długości ciągu.

Duża

liczba

stanowisk

powoduje

obniżenie

dokładności

niwelacji

geometrycznej na kilometr ciągu. Dlatego w

terenach górzystych zastosowanie niwelacji

trygonometrycznej

jest

uzasadnione,

szczególnie ekonomicznie.

Wyznaczanie różnic

wysokości reperów

za pomocą ciągu niwelacyjnego

Wyznaczanie różnic

wysokości reperów

za pomocą ciągu niwelacyjnego

Możliwości niwelacji trygonometrycznej w tym zakresie
zostały znakomicie wykorzystane przez zastosowanie
dalmierzy elektrooptycznych do pomiaru długości celowych

Wielkością wyznaczaną jest różnica wysokości pomiędzy
reperem I a reperem II. Odległość pomiędzy reperami zostaje
rozbita na przęsła. Pomiary kątów pionowych i odległości
najwygodniej jest wykonać po rozstawieniu statywów wzdłuż
całego odcinka pomiędzy reperami. Dla zastosowanego
zestawu przyrządów trzeba znać różnice wysokości nad
spodarką: osi obrotu teodolitu, dalmierza i sygnału, jeśli takie
różnice występują w zastosowanym zestawie przyrządów.
Wskazane jest, aby pomiar kątów pionowych był wykonywany
na każdym przęśle jednocześnie w obydwu kierunkach przez
dwóch obserwatorów. Jedno-czesność pomiarów pozwala w
dużym stopniu wyeliminować wpływ refrakcji.

Wyznaczanie różnic

wysokości reperów

za pomocą ciągu niwelacyjnego

Ciąg taki może być wykorzystany do pomiaru
wysokości reperów w terenach mocno
górzystych, o dużych kątach nachylenia
terenu typu Tatry.

Wykonywanie pomiarów za pomocą niwelacji
geometrycznej było by może dokładniejsze,
ale o wiele bardziej pracochłonne, mało
ekonomiczne i co najważniejsze nie zawsze
możliwe – wymagało by to nieraz bardzo
krótkich celowych.

Przykładowy sprzęt do wykonywania

niwelacji trygonometrycznej

Dawniej...

Teodolit Carl Zeiss

Przykładowy sprzęt do wykonywania

niwelacji trygonometrycznej

...i dzisiaj.

Tachimetr TOPCON GPT-6003