EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I

Studia: dzienne/zaoczne

?

Kierunek: . . . . . . . . . . . . . . .

Data: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Imi ¾

e i nazwisko, nr indeksu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wynik egzaminu: . . . . . . . . . . . /

pkt

Nazwisko prowadz ¾

acego ´cwiczenia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ocena:

Ocena z ´cwicze´n: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

?

–niepotrzebne skre´sli´c

1.

Niech a

n

=

( 1)

n

n

2

dla n 2 N. Wówczas ci ¾

ag (a

n

):

(a) jest

/nie jest ograniczony, bo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) posiada

/nie posiada podci ¾

agu zbie·

znego do 0, bo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

/pkt

2.

Je´sli lim

n

!1

a

n

= 2 oraz

lim

n

!1

b

n

= 1, przy czym a

n

; b

n

> 0 dla n 2 N, to

(a)

lim

n

!1

n

p

a

n

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b)

lim

n

!1

n

p

b

n

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c)

lim

n

!1

(1 +

1

a

n

)

a

n

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(d)

lim

n

!1

(a

n

)

b

n

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(w przypadku braku jednoznacznej odpowiedzi piszemy tylko odpowiedni symbol)

/pkt

3.

Niech a

n

= ( 2)

n

dla n 2 N. Wówczas szereg

1

P

n=1

a

n

:

(a)

jest zbie·

zny

/rozbie·

zny

, bo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) spe÷

nia

/nie spe÷

nia

warunku koniecznego zbie·

zno´sci szeregów liczbowych, bo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

/pkt

4. Kryterium Leibniza

: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Szereg

1

P

n=1

( 1)

n

(1

1

n

)

n

2

jest zbie·

zny

/rozbie·

zny

na mocy kryterium:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , bo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

/pkt

5. De…nicja asymptoty pionowej

: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Naszkicuj wykres funkcji f : R ! R, je´sli wiadomo, ·

ze

lim

x

!1

f (x) = 0;

lim

x

!1

+

f (x) = +1;

lim

x

! 1

(f (x) + x) =

1;

lim

x

!+1

f (x) = 0:

Jakie asymptoty na pewno posiada taka funkcja?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

-3

-2

-1

1

2

3

4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

/pkt

6.

Niech f (x) =

(

jx

1j dla x 2 [0; +1);

x

2

dla x 2 (0; 2]:

Wówczas funkcja f

(a) jest

/nie jest ci ¾

ag÷

a w x

0

= 0, bo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) jest

/nie jest ró·

zniczkowalna w x

0

= 0, bo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c) jest

/nie jest ca÷

kowalna w przedziale [ 1; 2], bo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(d) nie posiada

/posiada styczn ¾

a w punkcie (1; 1) o równaniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

/pkt

7. Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego ró·

zniczkowalnej funkcji jednej zmiennej:

Je´sli . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Implikacja odwrotne:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Uzasadnij, ·

ze implikacja odwrotna jest fa÷

szywa.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

/pkt

8.

Naszkicuj wykres funkcji f

: R ! R, je´sli wiadomo, ·

ze

f

0

(2) = 0; f

0

(x) < 0 dla x > 2 oraz f

00

(x) < 0 dla x 2 R.

Uzupe÷

nij:

(a)

f posiada/nie posiada ekstremum lokalnego w punkcie

x

0

= 2, bo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b)

f posiada/nie posiada punkt przegi ¾

ecia, bo . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

-3

-2

-1

1

2

3

4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

/pkt

9. Twierdzenie o ca÷

kowaniu przez cz ¾

e´sci dla ca÷

ki nieoznaczonej

: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Je´sli f (x) =

x

4 x

2

; to funkcjami pierwotnymi funkcji f s ¾

a np funkcje:

F

1

(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F

2

(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wówczas

1

Z

0

x

4 x

2

dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . –jest to ca÷

ka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

/pkt

10.

Je´sli D jest obszarem ograniczonym krzywymi:

y = ln x; y = 1; x = 1; to jego pole jest równe:

jDj = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

-1

1

2

3

-1

1

2

x

y

/pkt