Et IA, grudzie´n 2013

PrzykÃladowe zadania z egzamin´

ow i zalicze´

n poprawkowych z algebry.

1. (3pkt.) Podaj wz´or de Moivre’a. Zastosuj ten wz´or do obliczenia (−1 + i)

10

.

2. (3pkt.) Podaj definicj¸e macierzy nieosobliwej. Czy iloczyn macierzy nieosobliwych tego samego

stopnia jest macierz¸a nieosobliw¸a? Odpowied´z uzasadnij.

3. (3pkt.) Ile rozwi¸aza´n mo˙ze mie´c ukÃlad n r´owna´n liniowych z n niewiadomymi? Podaj odpowied-

nie warunki i przykÃlady.

4. (3pkt.) Podaj definicj¸e j¸adra i obrazu odwzorowania liniowego oraz zwi¸azek mi¸edzy ich wymi-

arami.

5. (3pkt.) Podaj definicj¸e wymiaru przestrzeni wektorowej. Ile jest r´owny wymiar przestrzeni

generowanej przez wektory v

1

= (1, 0, 2, 4), v

2

= (−1, 2, 4, 6), v

3

= (−3, 2, 0, −2), v

4

=

(−2, 0, −4, −8)?

6. (3pkt.) Podaj definicj¸e iloczynu wektorowego. Jaka jest interpretacja geometryczna dÃlugo´sci

wektora ~u×~v? Znajd´z wektor jednostkowy prostopadÃly do dw´och danych wektor´ow ~u = (1, 2, 3)
i ~v = (−1, 0, 2).

7. a) (5pkt.) Na pÃlaszczy´znie zespolonej zaznacz zbi´or

A =

½

z ∈ C : |z + i| ≤ |1 − i|

2

∧

π

4

≤ Argz ≤

3π

4

¾

.

b) (5pkt.) W zbiorze liczb zespolonych C rozwi¸a˙z r´ownanie

z

2

= ¯

z.

8. (10 pkt.) Dane s¸a macierze A =





0

0 −1

0

1

2

2 −1

4



 oraz B =





0 −1 −1
2

1

0

0 −4

3



.

a) Wyznacz macierz odwrotn¸a do macierzy A;
b) Wyznacz macierz X speÃlniaj¸ac¸a r´ownanie AX + B = I, I oznacza macierz jednost-
kow¸a.

9. a)(4pkt.) Zbadaj ilo´s´c rozwi¸aza´n ukÃladu r´owna´n















−x +

y +

z + 2t =

1

2x − 3y − 2z + 3t =

2

−x + 2y +

z + 5t = −1

x − 3y −

z + 2t =

4

b) (6pkt.) Rozwi¸a˙z ukÃlad r´owna´n







2x −

y +

z = 1

x − 3y −

z = 2

3x +

y − 2z = 0

.

10. a) (6pkt.) Dane jest odwzorowanie liniowe L : R

3

→ R

3

, L(x, y, z) = (x + 2y, y − z, −y + z).

Napisz macierz tego odwzorowania w bazach kanonicznych. Wyznacz j¸adro odwzorowania L
oraz jego baz¸e.

b) (4pkt.) Sprawd´z, czy wektory v

1

= (0, −1, −2, 5), v

2

= (0, 0, −1, 2), v

3

= (0, −1, 0, 3),

v

4

= (0, 0, 0, 2) tworz¸a baz¸e przestrzeni wektorowej R

4

.

11. a) (6pkt.) Sprawd´z, czy liczba z

0

=

√

3

2

−

i

2

jest pierwiastkiem wielomianu W (z) = z

24

− 1.

b) (6pkt.) W zbiorze liczb zespolonych C rozwi¸a˙z r´ownanie z

2

− 6z + 9 − 8i = 0.

12. a) (4pkt.) Wymie´n wÃlasno´sci wyznacznika macierzy.

b) (3pkt.) Ile wynosi wyznacznik macierzy C = 3A

−1

B

T

, je´sli macierze A i B s¸a macierzami

kwadratowymi trzeciego stopnia, detA = 2 oraz detB = 3?

13. a) (2pkt.) Jak¸a macierz nazywamy macierz¸a nieosobliw¸a?

b) (10pkt.) Dane s¸a macierze A =





0

0

1

0

1 −1

−2 −1

1



 oraz B =





0 −1 −1
2

1

0

0 −4

3



.

Wyznacz macierz odwrotn¸a do macierzy A, a nast¸epnie macierz X speÃlniaj¸ac¸a r´ownanie A(X+
I) = B, I oznacza macierz jednostkow¸a.

14. a) (3pkt.) SformuÃluj twierdzenie Kroneckera-Capellego.

b) (10pkt.) Zbadaj ilo´s´c rozwi¸aza´n ukÃladu r´owna´n















−x +

y +

w −

z + 2t =

1

−x

− 3z + 2t =

2

−

y −

w +

z + 3t = −3

2x − 2y − 2w + 5z + 2t = −6

Je˙zeli ukÃlad ma rozwi¸azanie, wyznacz je.

15. (10pkt.) Dla odwzorowania liniowego L : R

3

→ R

4

, L(x, y, z) = (x − y, x − z, y − z, y − x)

wyznacz j¸adro, obraz oraz ich bazy i wymiary.

16. (6pkt.) Podaj definicj¸e iloczynu mieszanego wektor´ow w przestrzeni R

3

. Wyznacz obj¸eto´s´c

czworo´scianu o wierzchoÃlkach P

1

= (1, 1, 1), P

2

= (−1, 0, 1), P

3

= (5, 6, 7), P

4

= (2, 3, 1).

17. a) (6pkt.) W zbiorze liczb zespolonych C rozwi¸a˙z r´ownanie z

4

= i

6

− 15.

b) (6pkt.) Wyznacz cz¸e´s´c rzeczywist¸a, moduÃl oraz argument gÃl´owny liczby zespolonej

z =

4

−2 +

2

1−i

.

18. a) (8pkt.) Oblicz wyznaczniki macierzy A =













0 3 0 0 0
1 0 2 3 0
2 0 0 4 0
3 0 4 5 0
0 8 0 0 2













oraz B =

1
2

A

2

(A

T

)

−1

.

19. (10pkt.) Dane s¸a macierze A =





−2 1

1

1 0 −2
0 0

1



 oraz B =

£

1 −4 1

¤

.

Wyznacz macierz odwrotn¸a do macierzy A, a nast¸epnie macierz X speÃlniaj¸ac¸a r´ownanie

A

2

X = −B

T

.

20. a) (3pkt.) Jaki ukÃlad r´owna´n nazywamy ukÃladem Cramera? SformuÃluj twierdzenie o rozwi¸azaniach

tego ukÃladu.

b) (10pkt.) Zbadaj ilo´s´c rozwi¸aza´n ukÃladu r´owna´n







x

+ 2y − 3z = 1

3x −

y

+ 2z = 7

5x + 3y − 4z = 9

Je˙zeli ukÃlad ma rozwi¸azanie, wyznacz je.

21. (10pkt.) Dla odwzorowania liniowego L : R

3

→ R

2

, L(x, y, z) = (x − 3y + z, −2x + 6y − 2z)

wyznacz j¸adro, obraz oraz ich bazy i wymiary.

22. (7pkt.) a) Napisz r´ownanie pÃlaszczyzny przechodz¸acej przez trzy punkty P

1

= (0, 1, 0), P

2

=

(−1, 0, 1), P

3

= (5, 6, 7),

b) Napisz r´ownanie prostej przechodz¸acej przez punkt P

1

, prostopadÃlej do pÃlaszczyzny z punktu

a) .

23. a) (6pkt.) Podaj wz´or de Moivre’a. Oblicz

³

−

1

√

2

− i

√

6

2

´

24

.

b) (6pkt.) Liczb¸e z =

¡

3+i

1+2i

− 2i

3

¢

2

zapisz w postaci algebraicznej. Wyznacz cz¸e´s´c rzeczywist¸a,

moduÃl oraz argument gÃl´owny liczby z.

24. a) (4pkt.) Czy ka˙zde dwie macierze mo˙zna doda´c, pomno˙zy´c? Je´sli nie, jakie musz¸a by´c

speÃlnione warunki, aby mo˙zna byÃlo wykona´c te dziaÃlania?

b) (4pkt.) UzupeÃlnij wzory (A + B)

T

= ...., (AB)

T

= ...., (A

T

)

T

= ...., (AB)

−1

= ....

25. (10pkt.) Dane s¸a macierze A =





−1

0

1

1

0 −1



, B =





2 −1
0

3

1

4



, C =

·

12

6

9 −12

¸

.

Wyznacz macierz (A

T

B)

−1

, a nast¸epnie rozwi¸a˙z r´ownanie macierzowe (A

T

B)X = C.

26. (10pkt.) Zbadaj ilo´s´c rozwi¸aza´n ukÃladu r´owna´n















x

+ y − 2z −

t

+

u

= 0

2x − y +

z

+ 2t − 3u = 0

3x − y − 2z +

t

− 2u = 0

2x + y − 5z − 2t + 2u = 0

.

Je˙zeli ukÃlad ma rozwi¸azanie, wyznacz je.

27. a) (6pkt.) Dane jest odwzorowanie liniowe

L : R

2

3 (x, y) −→ (x − 3y, −2x + 6y, −x + 3y) ∈ R

3

.

Napisz macierz tego odwzorowania w bazach kanonicznych oraz wyznacz KerL i jego baz¸e.

b) (6pkt.) Podaj definicj¸e bazy i wymiaru przestrzeni wektorowej. Ile jest r´owny wymiar
przestrzeni generowanej przez wektory v

1

= (1, −1, 1, −1, 1), v

2

= (1, 1, 0, 0, 3),

v

3

= (3, 1, 1, −1, 7)?

28. (8pkt.) Podaj definicj¸e iloczynu skalarnego i iloczynu mieszanego wektor´ow w przestrzeni R

3

.

Jaka jest interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego? Wyznacz iloczyn skalarny wektor´ow
(−1, 0, 2) i (4, 1, 0).