2 Opisy przestrzenne i przekształcenia układów współrzędnych

background image

1

2. Opisy przestrzenne i przekształcenia układów współrzędnych

Wyznaczając trajektorię ruchu końcówki technologicznej manipulatora jesteśmy

zainteresowani usytuowaniem obiektów w jego (trójwymiarowej) przestrzeni roboczej.

Obiektami tymi są człony manipulatora, narzędzia którymi robot operuje, przedmioty

znajdujące się w jego otoczeniu. Obiekty te opisane są przez dwa atrybuty: pozycję i

orientację. W celu matematycznego opisu tych atrybutów do każdego z obiektów (rys. 1)

przypisujemy układ współrzędnych. Układy współrzędnych przypisane do obiektów są

najczęściej prawoskrętnymi kartezjańskimi układami współrzędnych prostokątnych.

Rys 1. Przypisanie układów współrzędnych do obiektów

Przyjmijmy, że gdzieś w przestrzeni umieszczony jest nieruchomy globalny układ

współrzędnych. Globalny układ współrzędnych jest najczęściej związany z podstawą

manipulatora. Pozycje i orientacje obiektów można opisać względem globalnego

(podstawowego) układu współrzędnych lub względem innych kartezjańskich układów

współrzędnych.

2.1. Opis pozycji

Położenie dowolnego punktu w przestrzeni można określić za pomocą

wektora pozycji (3x1). Ze względu na to, że obok globalnego układu współrzędnych

będziemy często wprowadzać dodatkowe inne układy współrzędnych, wektory pozycji muszą

zawierać informację identyfikującą układ współrzędnych, w których zostały określone.

background image

2

Położenie dowolnie wybranego punktu A opisanego w układzie {0} jest określone za pomocą

wektora pozycji

A

r

0

(rys. 2).

Rys. 2. Wektor pozycji w układzie współrzędnych {0}

2.2. Przesunięcia układów współrzędnych

Opis dowolnie wybranego punktu A w dwóch układach współrzędnych kartezjańskich

{0} i {1}, których osie są wzajemnie równoległe, przedstawiono na rys. 3.

Rys. 3. Przesunięcie równoległe układów

Układ {1} otrzymano przez przesunięcie układu {0} o wektor

1

,

0

0

p

. Położenie punktu A w

układzie {0} jest opisane za pomocą wektora

A

r

0

, a w układzie {1} za pomocą wektora

A

r

1

.

Wektory te połączone są następującą zależnością

=

zA

yA

xA

A

r

r

r

0

0

0

0

r

nazwa układu współrzędnych

Wektor pozycji wyrażony układzie współrzędnych {0}

opisujący położenie punktu A

{0}

background image

3

+

=

zA

yA

xA

z

y

x

zA

yA

xA

r

r

r

p

p

p

r

r

r

1

1

1

1

,

0

0

1

,

0

0

1

,

0

0

0

0

0

.

Dalej równość ta będzie zapisywana w zwartej postaci

A

A

r

p

r

1

1

,

0

0

0

+

=

.

2.3. Opis orientacji (obroty układów współrzędnych)

W celu opisu orientacji ciała wiążemy z nim układ współrzędnych, a następnie

opisujemy orientacje tego układu współrzędnych względem układu odniesienia.

Rys. 4. Usytuowanie obiektu co do pozycji i orientacji

Układ współrzędnych {1}, związany z ciałem (rys. 4) jest przesunięty i obrócony

względem układu {0}. W celu znalezienia orientacji układu {1} względem układu {0} należy

początki układów umieścić w tym samym punkcie.

2.3.1. Obroty podstawowe

Jeżeli układ współrzędnych {1} otrzymano przez obrót układu podstawowego {0}

wokół jednej z jego osi, to taki obrót nazywany jest podstawowym, a odpowiadające mu

przekształcenie obrotem podstawowym.

W przestrzeni R

3

występują trzy możliwości takich obrotów. Pierwszy z nich, obrót

wokół osi X, przedstawiono na rys. 5. Punkt A może być opisany za pomocą wektora

0

r

A

lub

1

r

A

odpowiednio w układzie {0} lub {1}. Zależności pomiędzy tymi wektorami są zapisane

następującym związkiem macierzowym:

{1}

{0}

1

,

0

0

p

background image

4

Rys. 5. Obrót układu {0} wokół osi

0

X o kąt

θ

=

zA

yA

xA

zA

yA

xA

r

r

r

r

r

r

1

1

1

0

0

0

cos

sin

0

sin

cos

0

0

0

1

θ

θ

θ

θ

lub w zwartej postaci

A

A

X

r

R

r

1

0

)

,

(

θ

=

, gdzie

=

θ

θ

θ

θ

θ

cos

sin

0

sin

cos

0

0

0

1

)

,

( X

R

jest podstawową macierzą obrotu wokół osi X.

Pozostałe dwie podstawowe macierze obrotu odpowiednio wokół osi Y i Z mają postać

=

θ

θ

θ

θ

θ

cos

0

sin

0

1

0

sin

0

cos

)

,

(Y

R

,

=

1

0

0

0

cos

sin

0

sin

cos

)

,

(

θ

θ

θ

θ

θ

Z

R

.

Z każdym podstawowym obrotem układu {0} można związać transformację obrotu

A

A

r

R

r

1

1

0

0

=

.

Macierz obrotu jest macierzą ortogonalną, a zatem

T

0

1

1

0

1

1

0

R

R

R

=

=

.

background image

5

2.3.2. Obroty złożone

Obrót złożony powstaje w wyniku wykonania sekwencji obrotów podstawowych.

Macierz obrotu złożonego jest iloczynem kolejno mnożonych przez siebie podstawowych

macierzy obrotu.

Przykład:

Układ {1} powstał z układu {0} przez pewien obrót podstawowy, a następnie układ {2} przez

pewien obrót podstawowy układu {1}. Niech wektory opisują położenie punktu A w tych

trzech układach. Wówczas zachodzą następujące związki

A

A

r

R

r

1

1

0

0

=

,

A

A

r

R

r

2

2

1

1

=

. Zatem

obrót złożony jest opisany relacją

A

A

A

r

R

r

R

R

r

2

2

0

2

2

1

1

0

0

=

=

.

Ponieważ mnożenie macierzy nie jest przemienne (ABBA), przy składaniu obrotów należy

zwrócić uwagę na kolejność ich wykonywania. Macierz obrotu złożonego, będąca

iloczynem macierzy podstawowych, jest macierzą ortogonalną.

Dowolne obroty złożone, układu współrzędnych w przestrzeni R

3

, względem innego

układu współrzędnych można opisać według dwóch konwencji:

- obroty wykonywane wokół osi układów bieżących (rys. 6)

- obroty wykonywane wokół osi układu stałego (rys. 7)

Rys. 6. Kolejne obroty X-Y-Z wokół bieżących osi

Rys. 7. Kolejne obroty wokół stałych osi

background image

6

Dowolny obrót układu współrzędnych jest złożeniem trzech kolejnych obrotów wokół

osi

bieżących.

Przy

ich

określeniu

należy

podać

trzy

kolejne

nazwy

osi

i kąty obrotu wokół nich. Kąty te nazwano kątami Eulera a odpowiadające im obroty

obrotami Eulera. Możliwych jest 12 obrotów Eulera:

Wszystkie układy obrotów są równoważne, jednak najbardziej naturalnym jest układ o

kolejności X-Y-Z (rys. 6). Odpowiadająca mu macierz obrotu ma postać:

+

+

+

+

=

=

β

α

γ

α

γ

β

α

γ

α

γ

β

α

β

α

γ

α

γ

β

α

γ

α

γ

β

α

β

γ

β

γ

β

γ

β

α

γ

β

α

c

c

c

s

s

s

c

s

s

c

s

c

-

c

s

-

c

c

s

s

s

-

s

c

c

s

s

s

s

c

-

c

c

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

,

(

Z

Y

X

Z

Y

X

R

R

R

R

.

2.3.3. Obrót wokół dowolnej osi

Rozważmy

obrót

wokół

dowolnie

wybranego

wektora

jednostkowego

[

]

T

z

y

x

u

u

u

=

u

o zadany kąt

θ

(rys. 8).

Rys. 8. Obrót wokół dowolnej osi

Obrót taki można otrzymać przez złożenie pięciu kolejnych podstawowych obrotów:

1) obrót o kąt

α

wokół osi Z,

2) obrót o kąt

β

wokół bieżącej osi Y (po tych obrotach oś Z pokrywa się z kierunkiem

wektora u),

3) obrót o kąt

θ

wokół bieżącej osi Z,

1) X-Y-Z
2) X-Z-Y
3) Y-X-Z
4) Y-Z-X

5) Z-X-Y
6) Z-Y-X
7) X-Y-X
8) X-Z-X

9) Y-X-Y
10) Y-Z-Y
11) Z-X-Z
12) Z-Y-Z

background image

7

4) obrót o kąt -

β

wokół osi Y,

5) obrót o kąt -

α

wokół bieżącej osi Z

Rozpatrywany obrót złożony ma postać:

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

α

β

θ

β

α

θ

=

Z

Y

Z

Y

Z

R

R

R

R

R

u

R

.

Podstawiając do poprzedniego wzoru macierze obrotów podstawowych oraz korzystając z

relacji pomiędzy składowymi wektora

u a funkcjami trygonometrycznymi kątów

α

i

β

:

2

2

2

2

sin

,

cos

y

x

y

y

x

x

u

u

u

u

u

u

+

=

+

=

α

α

,

2

2

sin

,

cos

y

x

z

u

u

u

+

=

=

β

β

po obliczeniach otrzymuje się:

=

+

+

+

+

+

+

=

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

c

)

c

1

(

s

)

c

1

(

s

)

c

1

(

s

)

c

1

(

c

)

c

1

(

s

)

c

1

(

s

)

c

1

(

s

)

c

1

(

c

)

c

1

(

)

,

(

z

z

x

y

z

y

x

z

x

z

y

y

y

z

x

y

y

z

x

z

y

x

x

x

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

R

(

)

+

=

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

cos

sin

sin

sin

cos

sin

sin

sin

cos

cos

1

x

y

x

z

y

z

T

u

u

u

u

u

u

uu

(1)

Macierz obrotu złożonego wokół dowolnego wektora jednostkowego o kąt

θ

jest macierzą

ortogonalną oraz prawdziwe są następujące zależności:

)

,

(

)

,

(

)

,

(

1

θ

θ

θ

u

R

u

R

u

R

T

=

=

)

,

(

)

,

(

θ

θ

u

R

u

R

=

2.3.4. Reprezentacja oś kąt

Dla dowolnej macierzy o postaci

=

33

32

31

23

22

21

13

12

11

r

r

r

r

r

r

r

r

r

R

,

spełniającej warunki:

1

)

det(

i

3

3

=

=

×

R

1

RR

T

można znaleźć wektor u i kąt

θ

, jeśli

zauważy się że ślad macierzy R(u,

θ

) po skorzystaniu ze związku

1

2

2

2

2

=

=

+

+

u

z

y

x

u

u

u

ma

postać

.

cos

2

1

))

,

(

Tr(

θ

θ

+

=

u

R

Stąd kąt

θ

dla dowolnej macierzy obrotu R można wyznaczyć

z zależności:

.

2

1

arccos

2

1

)

Tr(

arccos

33

22

11

+

+

=

=

r

r

r

R

θ

Porównując wyrazy macierzy R(u,

θ

) położone symetrycznie względem głównej przekątnej

background image

8

θ

θ

θ

sin

2

,

sin

2

,

sin

2

12

21

31

13

23

32

z

y

x

u

r

r

u

r

r

u

r

r

=

=

=

można otrzymać wektor

u z równania

=

12

21

31

13

23

32

sin

2

1

r

r

r

r

r

r

θ

u

.

2.3.5. Obroty złożone wykonywane wokół osi układu stałego

Podobnie jak w przypadku kątów Eulera, możliwych jest 12 złożeń obrotów wokół

tych osi układu stałego. Podstawowym złożeniem obrotów (wokół stałych osi) są trzy kolejne

obroty wykonane wokół osi

0

X,

0

Y,

0

Z, odpowiednio o kąty

α

,

β

,

γ

(rys. 7). Konwencja zapisu

obrotu w tej postaci utożsamiana jest z kiścią manipulatora, gdzie aby odpowiednio

zorientować narzędzie wykonywane są obroty wokół jej osi. Kąty te zwyczajowo nazywa się:

- yaw (odchylenie) – wokół stałej osi X,

- pitch (pochylenie) – wokół stałej osi Y,

- roll (obrót) – wokół stałej osi Z.

Wypadkowa macierz obrotu wokół wersorów układu podstawowego {0} w kolejności jak na

rys. 7, odpowiednio kąty

α

,

β

,

γ

ma postać:

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

,

(

0

2

0

1

0

0

γ

β

α

γ

β

α

k

R

j

R

i

R

R

=

XYZ

Wersory jednostkowe

0

0

0

0

0

0

,

,

k

j

i

są trzema kolejnymi kolumnami macierzy jednostkowej:

=

=

=

1

0

0

,

0

1

0

,

0

0

1

0

0

0

0

0

0

k

j

i

.

Układ współrzędnych {1} powstał w wyniku obrotu układu {0} wokół osi

X

0

czyli wokół

wersora

0

0

i . Zależność pomiędzy opisem dowolnie wybranego wektora

A

r

w obu tych

układach współrzędnych wyraża równanie

A

A

A

A

X

r

R

r

i

R

r

R

r

1

1

0

0

1

1

0

0

)

,

(

)

,

(

α

α

=

=

=

Opis wersorów układu {0} wyrażonych w układzie {1} można znaleźć przeprowadzając

następujące działania

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

)

,

(

,

)

,

(

,

)

,

(

k

R

k

j

R

j

i

R

i

α

α

α

X

X

X

=

=

=

[

]

[

]

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

)

,

(

k

j

i

R

k

j

i

α

X

=

[

]

)

,

(

)

,

(

1

0

1

0

1

0

1

α

α

X

X

T

R

R

k

j

i

=

=

background image

9

Drugi obrót wykonywany jest wokół wektora

[

]

T

α

α

sin

cos

0

0

1

=

j

o kąt

β

. Macierz

obrotu znajdujemy ze wzoru (1)

[

]

(

)

+

=

β

β

α

β

β

α

β

α

β

α

β

β

α

α

α

α

β

c

0

s

-

0

c

s

s

-

s

c

s

s

c

c

1

s

-

c

0

s

-

c

0

)

,

(

0

1

c

j

R

Wykonując iloczyn

)

,

(

)

,

(

0

1

β

α

j

R

R X

otrzymuje się:

=

=

β

α

β

α

β

α

α

β

α

β

α

β

β

α

β

α

c

c

c

s

s

-

s

-

c

0

s

c

s

s

c

)

,

(

)

,

(

)

,

(

0

1

j

R

R

R

X

XY

Jak można zauważyć, otrzymana macierz obrotu złożonego równa jest iloczynowi dwóch

obrotów podstawowych, to jest

)

,

(

)

,

(

α

β

X

Y

R

R

. Złożona macierz obrotów wykonanych

wokół stałych osi, najpierw o kąt

α

wokół osi

0

X, następnie o kąt

β

wokół osi

0

Y, jest równa

iloczynowi macierzy obrotów podstawowych wykonanych w odwrotnej kolejności

)

,

(

)

,

(

)

,

(

α

β

β

α

X

Y

XY

R

R

R

=

Zasada ta jest słuszna dla dowolnych obrotów wokół stałych osi. Dla rozważanego przypadku

otrzymuje się

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

,

(

α

β

γ

γ

β

α

X

Y

Z

XYZ

R

R

R

R

=

2.4.

Przekształcenia jednorodne

Najbardziej ogólny przypadek przemieszczenia układu współrzędnych może być

wyrażony przez kombinację czystego przesunięcia i czystego obrotu, co określa

ruch sztywny

(rys. 9). W wyniku przesunięciu układu {0} o wektor

1

,

0

0

p

powstaje układ {

}. Układ {1}

otrzymano przez obrót układu {

} zgodnie z macierzą obrotu

1

0

R .

Związek pomiędzy dowolnie wybranym punktem

A w układach {0} i {1} ma postać

A

A

r

R

p

r

1

1

0

1

,

0

0

0

+

=

Przekształcenie to definiuje ruch sztywny.

Zapis definiujący ruch sztywny jest bardziej złożony, niż zapis samych przesunięć lub samych

obrotów. Aby go uprościć zapisuje się go w postaci zwartej jako

=

1

1

1

1

1

,

0

0

1

0

0

A

A

r

p

R

r

0

lub jeszcze prościej

A

A

r

H

r

ˆ

ˆ

1

1

0

0

=

,

gdzie:

[

]

0

0

0

=

0

.

background image

10

Rys. 9. Przesunięcie równoległe i obrót układu współrzędnych

Macierz

1

0

H nazwana jest macierzą jednorodną przekształcenia.

Wektor

A

rˆ

0

nazwany jest reprezentacją jednorodną wektora

A

r

0

.

Macierz odwrotna do macierzy przekształcenia jednorodnego (przekształcenie odwrotne)

przybiera postać

=

1

1

0

p

R

R

H

T

T

.

Szczególnym przypadkiem macierzy jednorodnych przekształceń H jest:

jednorodna macierz obrotu

=

1

)

,

(

)

,

(

0

0

θ

θ

u

R

u

Rot

oraz jednorodna macierz przesunięcia

=

1

)

(

0

1

p

p

Trans

.

Literatura:

[1] Craig J. J.: Wprowadzenie do robotyki. Mechanika i sterowanie, Wydawnictwa

Naukowo-Techniczne, 1995

[2] Jezierski E.: Dynamika robotów, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2006

[3] Spong M. W., Vidyasagar M.: Dynamika i sterowanie robotów, Wydawnictwa

Naukowo-Techniczne, 1997

Informacja o prawach autorskich

O ile nie zaznaczono inaczej, rysunki i teksty pochodzą z pozycji podanych w literaturze.

Niniejsze opracowanie stanowi pomoc do wykładu „Podstawy Robotyki”.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
opisy przestrzenne
7 Zasady przywiązywania układów współrzędnych
,algebra liniowa z geometrią analityczną, PRZESTRZENIE I PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE zadania
Algebra 1 04 przestrzenie i przekształcenia liniowe
,algebra liniowa z geometrią analityczną, PRZESTRZENIE I PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE zadania
opisy przestrzenne
3 Statyka układów przestrzennych
Przestrzenna transformacja współrzędnych
Przestrzenna transformacja współrzędnych
materialy Przekształcenie rzutowe przestrzeni, materiały
zagadnienia, punkt 21, XXI Przekształcenia liniowe przestrzeni skończenie wymiarowych

więcej podobnych podstron