Przestrzenna transformacja

współrzędnych

1. Wstęp

Transformacja współrzędnych pomiędzy dwoma

układami geodezyjnymi, zwanymi pierwotnym i
wtórnym, polega na przekształceniu współrzędnych z
układu pierwotnego do układu wtórnego na podstawie
punktów posiadających współrzędne w obu układach
zwanych punktami łącznymi.

Na podstawie współrzędnych punktów łącznych

tworzone są algorytmy transformacji.

Każda operacja przejścia z jednego układu do

drugiego odbywa się za pośrednictwem ściśle
określonych

funkcji

transformacyjnych

(odwzorowawczych) i ich parametrów liczbowych.

1. Wstęp – cd. 1

Elipsoidy Krasowskiego i GRS-80 nie są ściśle
koncentryczne a ich osie nie są równoległe. Pomiędzy
układami obu elipsoid zachodzą związki transformacji
przestrzennej przyjmowanej jako transformacja przez
podobieństwo (7 – parametrowa).

1. Wstęp – cd. 2

Na parametry tej
transformacji składają
się:

Powyższe parametry wyznaczono (estymowano) w
Głównym Urzędzie Geodezji i Kartografii na podstawie
punktów sieci POLREF. Aby takie wyznaczenie mogło
mieć miejsce, punkty te musiały posiadać współrzędne
wyznaczone w obu układach elipsoidalnych.

a) trzy przesunięcia,
b) trzy obroty osiowe,
c) zmiana skali.

c

Y

Y

T

Z

T

X

T

X

Z

X

T

X

2. Transformacja: [X

1

,Y

1

,Z

1

] =>

[X

2

,Y

2

,Z

2

]

Transformacja

Helmerta

pozwala

na

przejście

(transformację) z jednego układu kartezjańskiego do
układu drugiego, także kartezjańskiego. Ogólna
postać tej transformacji jest określona poniższym
wzorem:

gdzie:
X

2

– układ wtórny,

c – wektor translacji układu,
R – macierz rotacji.

1

2

X

R

c

X







X

1

– układ pierwotny,

μ – poprawka do skali,

Wektor c translacji układu ma postać:























3

2

1

c

c

c

c

2. Transformacja: [X

1

,Y

1

,Z

1

] => [X

2

,Y

2

,Z

2

]

– cd.

Macierz rotacji jest macierzą ortogonalną, składającą
się z macierzy obrotów wokół osi
głównych układu. Jej postać ogólna wygląda
następująco:































































2

1

2

1

2

3

2

1

3

2

1

3

1

3

1

3

2

3

2

1

3

2

1

3

1

3

1

3

2

α

cos

α

cos

α

cos

α

sin

α

sin

α

sin

α

sin

α

cos

α

sin

α

sin

α

sin

α

cos

α

sin

α

cos

α

cos

α

sin

α

cos

α

cos

α

sin

α

cos

α

cos

α

sin

α

sin

α

sin

α

sin

α

sin

α

cos

α

cos

α

cos

R

}

{

}

{

}

{

1

1

2

2

3

3







R

R

R

R

Natomiast jej postać szczegółowa przedstawiona jest
poniżej:

3. Transformacja: [B,L,h] => [X,Y,Z]

Pozycja dowolnego punktu na powierzchni Ziemi
jest określana w sposób jednoznaczny na przykład
za pomocą współrzędnych geodezyjnych (B, L, h)
lub kartezjańskich geocentrycznych (X, Y, Z) w
umownym systemie elipsoidalnym. Te dwa rodzaje
współrzędnych traktowane są jako informacje
równoważne, ponieważ przejście (przeliczenie)
pomiędzy nimi (z układu geodezyjnego do układu
kartezjańskiego) dokonuje się poprzez ścisłe,
wzajemnie jednoznaczne formuły matematyczne.

3. Transformacja: [B,L,h] => [X,Y,Z]

– cd.

W układ elipsoidalny można wpisać układ kartezjański.
Przeliczenie

współrzędnych

elipsoidalnych

na

kartezjańskie można dokonać realizując wzory:

L

cos

B

cos

)

h

N

(

X

P





L

sin

B

cos

)

h

N

(

Y

P









q

B

sin

h

N

Z

P







gdzie:

B

e

a

N

2

2

sin

1



B

Ne

q

sin

2



(*)

4. Transformacja: [X,Y,Z] => [B,L,h]

Aby

dokonać

przeliczenia

odwrotnego,

należy

przekształcić powyższe wzory wyznaczając z nich B, L i
h na podstawie X, Y, Z. Jednakże w definicji promienia
N i wielkości q zawarta jest szerokość geodezyjna B.
Jednym ze sposobów obliczenia szerokości geodezyjnej
B jest metoda kolejnych przybliżeń. Zapiszemy:

Wzór powyższy nie oznacza jeszcze jawnego
rozwiązania niewiadomej jaką tu stanowi szerokość
geodezyjna B. Jednakże wzór ten można przyjąć do
tworzenia kolejnych przybliżeń niewiadomej B według
następującego algorytmu:

(**
)



















2

2

Y

X

q

Z

arctg

B

4. Transformacja: [X,Y,Z] => [B,L,h] –

cd. 1

Krok 1

: przyjmuje się q = q

0

= 0 i obliczamy B

0

według

wzoru (**), traktując wynik jako przybliżenie
początkowe,

Krok 2

: oblicza się przybliżoną wartość q

1

ze wzoru (*)

jako funkcję B

0

, a następnie nowe przybliżenie B

1

szerokości B według wzoru (**),

Krok 3

: oblicza się przybliżenie q

2

, zgodnie ze wzorem

(*) jako funkcję B = B

1

, a następnie aktualne

przybliżenie B

2

szerokości B ze wzoru (**).

Procedurę kończy się, jeśli różnica kolejnych
przybliżeń jest mniejsza niż założony dopuszczalny
błąd numeryczny wyznaczenia szerokości geodezyjnej
B.

4. Transformacja: [X,Y,Z] => [B,L,h] –

cd. 2

Obliczenie pozostałych współrzędnych (rysunek) opiera
się o realizację poniższych wzorów:

































2

2

2

2

arcsin

arccos

Y

X

Y

Y

X

X

L

2

2

z

r

h









uwaga: jeżeli Δz < 0 lub Δr
< 0, to prawą stronę
równania mnożymy przez –
1.

gdzie
:

B

N

r

r

r

r

cos

0











B

e

N

Z

z

Z

z

sin

)

1

(

2

0













5. Transformacja: [X, Y, Z]

K

=> [X, Y,

Z]

G

Pozycja wyznaczona za pomocą odbiornika GPS jest
związana z elipsoidą GRS-80 (WGS-84). Dlatego też
problem transformacji współrzędnych wywodzących
się z różnych elipsoid jest bardzo istotny.

Parametry

niezbędne

do

przeprowadzenia

transformacji punktów o współrzędnych [X, Y, Z]

K

w

centrycznym

układzie

kartezjańskim

elipsoidy

Krasowskiego do współrzędnych [X, Y, Z]

G

opartych o elipsoidę GRS-80 wyznaczono w Głównym
Urzędzie Geodezji i Kartografii. Najbardziej ogólna
formuła liniowej transformacji przestrzennej wyraża
się następującymi wzorami:

5. Transformacja: [X, Y, Z]

K

=> [X, Y, Z]

G

-

cd. 1

lub w postaci macierzowej:













Z

K

Y

K

X

K

G

T

Z

d

T

Y

d

T

X

d

X



















13

12

11













Z

K

Y

K

X

K

G

T

Z

d

T

Y

d

T

X

d

Y



















23

22

21













Z

K

Y

K

X

K

G

T

Z

d

T

Y

d

T

X

d

Z



















33

32

31





T

X

D

X

K

G







T – wektor przesunięcia środków układów,

D – macierz parametrów rotacji,

d

ij

– elementy macierzy parametrów (i, j = 1,

2, 3).

gdzie:

5. Transformacja: [X, Y, Z]

K

=> [X, Y, Z]

G

-

cd. 2

Zgodnie z instrukcją techniczną G-1.10 elementy
macierzy parametrów D mają następujące wartości:

d

11

= 1– 0,84078048·10

–6

, d

12

= – 4,08959962·10

–6

, d

13

= –

0,25614575·10

–6

d

21

= + 4,08960007·10

–6

, d

22

= 1– 0,84078196·10

–6

, d

23

=

+1,73888389·10

–6

d

31

= + 0,25613964·10

–6

, d

32

= – 1,73888494·10

–6

, d

33

= 1–

0,84077363·10

–6

6. Transformacja: [X, Y, Z]

G

=> [X, Y,

Z]

K

Transformację współrzędnych kartezjańskich [X, Y, Z]

G

opartych o elipsoidę GRS-80 na współrzędne [X, Y, Z]

K

w układzie kartezjańskim elipsoidy Krasowskiego

można przeprowadzić według wzorów:

lub w postaci macierzowej:

X

G

G

G

K

T

Z

c

Y

c

X

c

X















13

12

11

Y

G

G

G

K

T

Z

c

Y

c

X

c

Y















23

22

21

Z

G

G

G

K

T

Z

c

Y

c

X

c

Z















33

32

31

T

X

C

X

G

K







gdzie:

T –

wektor przesunięć środków układów,

C – macierz parametrów rotacji,
c

ij

–

elementy macierzy parametrów (i, j = 1,

2, 3).

6. Transformacja: [X, Y, Z]

G

=> [X, Y, Z]

K

– cd.1

Zgodnie z instrukcją techniczną G-1.10 parametry
macierzy C mają wartości:

Przyjmując, że układy kartezjańskie rozważanych
elipsoid mają osie zbliżone do równoległych
(odchylenia od równoległości nie przekraczają 1")
można przyjąć uproszczenie powyższych wzorów.

c

11

= 1+ 0,84076440·10

–6

, c

12

= + 4,08960694·10

–6

, c

13

= +

0,25613907·10

–6

c

21

= – 4,08960650·10

–6

, c

22

= 1+ 0,84076292·10

–6

, c

23

= –

1,73888787·10

–6

c

31

= – 0,25614618·10

–6

, c

32

= + 1,73888682·10

–6

, c

33

= 1+

0,84077125·10

–6

6. Transformacja: [X, Y, Z]

G

=> [X, Y, Z]

K

– cd.2

Uproszczenie to polega na przyjęciu następujących

podstawień:

ε

x

, ε

y

, ε

z

– oznaczają kąty obrotów

osiowych.

gdzie:

c

11

≈ c

22

≈ c

33

≈ m, c

12

≈ – c

22

≈ ε

z

,

c

13

≈ – c

31

≈ – ε

y

,

c

23

≈ – c

32

≈ ε

x

,

ε

x

= – 1,7388854 · 10

-6

[rad] = – 0,35867",

ε

y

= – 0,2561460 · 10

-6

[rad] = – 0,05283",

ε

z

= + 4,0896031 · 10

-6

[rad] = +

0,84354".

T

X

= – 33,4297 m T

Y

= + 146,5746 m

T

Z

= +

76,2865 m,

m = 1 + 0,8407728 · 10

-6

,

Ostateczne parametry transformacji są następujące:

7. Korekta post-transformacyjna

Hausbrandta

W

przypadku,

gdy

układem

pierwotnym

lub

wynikowym (wtórnym) jest układ "1965" to w świetle
Instrukcji

Technicznej

G-2

oraz

Wytycznych

Technicznych G-1.10 należy wykonać dodatkową
korektę

wynikającą

z

lokalnych

odchyleń

matematycznego układu "1965" od jego rzeczywistej
realizacji przez państwowe osnowy geodezyjne.

Korekta post-transformacyjna Hausbrandta, realizuje
usunięcie odchyłek na punktach dostosowania i ich
wyrównanie

na

wszystkich

punktach

transformowanych.

7. Korekta post-transformacyjna

Hausbrandta

– cd.

Korekta polega na tym, że współrzędne punktów
dostosowania w układzie wtórnym pozostawia się
w takiej postaci w jakiej były przyjęte do
transformacji (inaczej mówiąc, od współrzędnych
transformowanych odejmuje się wartości poprawek
powracając do wartości współrzędnych katalogowych),
natomiast

wszystkim

pozostałym

punktom

transformowanym przydziela się poprawki wyznaczone
przy zastosowaniu wzorów interpolacyjnych.