mgr Adam Marszałek

Zakład Inteligencji Obliczeniowej

Instytut Informatyki PK

Algebra z geometrią: Lista nr 2

Geometria analityczna w R

2

i R

3

Zad.1. Obliczyć długość wysokości rombu, mając dane dwa jego przeciwległe wierzchołki

A(2, −1), C(−4, 3) i długość boku równą 5

√

2.

Zad.2. Dana jest prosta 2x − y + 3 = 0. Sprawdzić, które z punktów A(2, 1), B(−1, −4),

C(−1, 1) leżą na danej prostej.

Zad.3. Napisać równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i two-

rzącej z osią Ox kąt

3
4

π.

Zad.4. Napisać równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkt P i prostopadlej do wek-

tora n, jeżeli
1. P (3, 1), n = [−2, 2],
2. P (−4, 1), n = [2, 1],

Zad.5. Dane są równania boków trójkąta

AB : 2x − y + 2 = 0,

BC : x − y = 0,

AC : x + y − 2 = 0.

Znaleźć współrzędne wierzchołków.

Zad.6. Proste x = −1 i x = 3 przecinają prostą y = 2x − 1 w punktach A i B. Znaleźć

współrzędne wektora

−→

AB.

Zad.7. Przez punkt A(2, 1) poprowadzić prostą tak, aby punkt A był środkiem odcinka za-

wartego między prostymi 2x + y = 0 i x − y − 2 = 0.

Zad.8. Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt A(2, 4) i prostopadłej do prostej

2x + y − 2 = 0.

Zad.9. Dla jakiej wartości parametru m proste (m−1)x+my−5 = 0, mx+(2m−1)y−10 = 0

przecinają się w punkcie leżącym na osi Ox.

Zad.10. Dane są dwie proste 3x−y−4 = 0, 2x+6y+3 = 0. Znaleźć równanie dwusiecznej tego

kąta zawartego między danymi prostymi, w którym leży poczatek układu współrzędnych.

Zad.11. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez początek układu współrzędnych,

mając dany wektor normalny tej płaszczyzny n = [3, 2, −5].

Zad.12. Dla jakich wartości parametrów m i k płaszczyzny 4x − 3y + 6kz − 8 = 0 oraz

2mx + y − 4z + 4 = 0 są równoległe.

Zad.13. Dla jakiej wartości parametru m płaszczyzny 7x−2y −z = 0 oraz mx+y −3z −1 = 0

są prostopadłe.

Zad.14. Napisać równanie prostej (w R

3

) przechodzącej przez punkt A(2, −1, 1) i równoległej

do wektora [3, 2, −2].

Zad.15. Znaleźć kąt między prostymi

l

1

:

3x − 4y − 2z = 0

2x + y − 2z = 0

i

l

2

:

4x + y − 6z − 2 = 0

y − 3z + 2 = 0

Zad.16. Znaleźć środek okręgu wpisanego w trójkąt o bokach x + y + 12 = 0, 7x + y = 0,

7x − y + 28 = 0.

Zad.17. Przez punkt przecięcia prostych x + 2y − 11 = 0, 2x − y − 2 = 0 poprowadzić prostą

odległą od początku układu współrzędnych o 5.

1

Zad.18. Wyznaczyć współrzędne środka S i promień r okręgu danego równaniem x

2

+ y

2

−

10x + 24y − 56 = 0.

Zad.19. Napisać równanie okręgu o środku w poczatku układu wspołrzędnych i stycznego do

prostej 6x − 8y + 10 = 0.

Zad.20. Napisac równanie okręgu przechodzącego przez punkt A(1, −1) i przez punkty prze-

cięcia okręgów x

2

+ y

2

+ 2x − 2y − 23 = 0 i x

2

+ y

2

− 6x + 12y − 35 = 0.

Zad.21. Napisać równania stycznych do okręgu x

2

+ y

2

− 2x + 6y + 5 = 0 i prostopadłych do

prostej x − 2y = 0.

Zad.22. Wyznaczyć kąt pod jakim widać okrąg (x − 1)

2

+ (y − 2)

2

= 1 z punktu A(3, 2).

Zad.23. Dana jest elipsa o równaniu 5x

2

+ 9y

2

= 45 oraz punkt A(2, −

5
3

). Napisać rówanie

prostych przechodzących przez punkt A i ogniska danej elipsy.

Zad.24. Znaleźć trajektorię punktu A poruszającego się w ten sposób, że jego odległość od

prostej x = −4 jest dwa razy większa od odległości od punktu F (−1, 0).

Zad.25. Znaleźć równania stycznych do elipsy 12x

2

+ 16y

2

= 192 równoległych do prostej

x − 2y = 0.

Zad.26. Napisać równanie okręgu, którego średnicą jest wspólna cięciwa elipsy x

2

+ 5y

2

= 36

i paraboli x

2

= 8y.

Zad.27. Napisać rownanie hiperboli o ogniskach położonych na osiach odcietych symetrycznie

względem poczatku układu i o osiach 2a = 20, 2b = 12.

Zad.28. Wyznaczyć punkty hiperboli 9x

2

− 16y

2

= 576, ktorych odległość od prawgo ogniska

jest równa 4.5.

Zad.29. Napisać równania stycznych do hiperboli x

2

− 4y

2

= 32 poprowadzonych z punktu

A(1, 0).

Zad.20. Napisać równanie paraboli o ognisku w punkcie F (−5, 0) i kierownicy x = 5.
Zad.31. Napisać równanie stycznych do paraboli y

2

= 12x tworzących z prostą y = 3x − 4

kat 45

◦

.

2