Zad.1. Dane są dwa kolejne wierzchołki równoległoboku ABCD: A=(-2,-1) i B=(6,3). Wiedząc, że przekątne przecinają się w punkcie E=(1,3).
a) wyznacz współrzędne wierzchołku C i D.
b) wykaż, że równoległobok ABCD jest prostokątny

a) przekątne w równoległoboku przecinają się dokładnie w połowie zatem punkt E jest środkiem odcinka AC
wykorzystując wzór na środek odcinka mamy :
(1,3)= ( (x-2)/2 , (y-1)/2 )
co daje nam równanie

(x-2)/2 = 1
x-2=2
x=4
i równanie
(y-1)/2 =3
y-1=6
y=7
C(4,7)

punkt E jest środkiem odcinka BD
wykorzystując wzór na środek odcinka mamy :
(1,3)= ( (x+6)/2, (y+3)/2 )
co daje nam równanie

(x+6)/2=1
x+6=2
x=-4
i równanie
(y+3)/2=3
y+3=6
y=3
D(-4,3)

b) liczę równanie prostej przechodzącej przez punkty A(-2,-1) i B(6,3)
interesuje mnie tylko współczynnik a
y=ax+b
-1=-2a+b /*(-1)
3=6a+b
1=2a-b
3=6a+b
4=8a
a=1/2
teraz liczę współczynnik a proste przechodzącej przez punkty B(6,3) i C(4,7)
y=ax+b
3=6a+b
7=4a+b /*(-1)
3=6a+b
-7=-4a-b
-4=2a
a=-2
proste są prostopadłe gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1
sprawdzimy to :
1/2 * (-2) = -1
zatem są prostopadłe, czyli równogłobok jest prostokątem

2. Punkty A(-1,-2), B(4,-7), C(5,0) są kolejnymi wierzcholkami równolegloboku ABCD.
a)oblicz wspólrzędne wierzcholka D
b) wykaż, że równoleglobok ABCD jest rombem

a) A(-1,-2) C(5,0)
środek : S=( (XA+XC)/2 ; (YA+YC)/2 )
(-1+5)/2 ; (-2+0)/2
S=(2,-1)
D=?
B(4,-7) D(X;Y)
podstawiasz znow pod wzór na środek
S= (XB+X)/2 ; (-7+Y)/2
[pod S ]
(2,-1)= (4+x)/2 ; (-7+Y)/2
(4+x)/2=2 /*2
4+x=4
x=0
(-7+Y)/2=-1 /*2 (by pozbyc sie ułamka)
-7+Y=-2
Y=5 więc D(0,5)

3. W trapezie ABCD podstawa AB jest dwa razy dłuższa od podstawy CD. Punkt przecięcia przekątnych trapezu ma współrzędne (1, 1 i 1/3). Wiedząc, że A (5,10), B(-7,2), wyznacz współrzędne wierzchołków C i D.

A =(5; 10) , B = (-7 ;2) , S = (1 ; 4/3)
I AB I = 2* I CD I
S - punkt przecięcia sie przekątnych trapezu ABCD.
D = (x1; y1)
wektor BS = 2* wektor SD
wektor BS = [1+7;4/3 - 2] = [8; -2/3]
wektor 2*SD = 2*[x1 -1;y1 -4/3] =[2x1 -2; 2 y1 -8/3]
Mamy
2x1 - 2 = 8 oraz 2y1 - 8/3 = -2/3
2x1 = 10 oraz 2y1 = 6/3 = 2
x1 = 5 oraz y1 = 1
D = ( 5 ; 1)
C = (x2 ; y2)
wektor AS = 2 *wektor SC
wektor AS = [1-5; 4/3 - 10] = [-4; -26/3]
2*wektor SC = 2*[x2 - 1; y2 - 4/3] = [2x2 -2 ; 2y2 - 8/3]
Mamy
2x2 - 2 = -4 oraz 2y2 - 8/3 = -26/3
2x2 = -2 oraz 2y2 = -18/3
x2 = -1 oraz y2 = -9/3 = -3
C = (-1 ; -3)
Odp. C = ( -1 ; -3) , D = (5 ; 1)

6. Napisz równanie okręgu, którego środek znajduje się na prostej k, przechodzącego przez punkty
A i B, jeśli:

a) k: y= -2x-2 A (5,10), B (3,12)
b) k: y=x-5 A (7,4), B ( -5, -12)

a) k :  y = -2x -2 oraz  A = (5; 10),  B = (3 ; 12)

Niech S = (x;y) leży na prostej k

Ponieważ S jest środkiem okręgu przechodzącego przez punkty A oraz B

zatem  |SA| = |SB| = r

czyli  |SA|² = |SB|²

Mamy

|SA|²= (5 -x) ²+ (10 - y) ²

oraz |SB|²= (3 -x) ²+ (12 - y) ²

Porównujemy stronami oraz  wstawiamy -2x - 2  za y

25 -10x +x^2 +(10 +2x +2)^2 = 9 -6x + x^2 + (12 +2x + 2)^2

25 -10x +x^2 + (2x + 12)^2 = 9 - 6x +x^2 + (2x  + 14)^2

25 - 10x +x^2 + 4x^2 + 48x + 144 = 9 - 6x =x^2 + 4x^2 + 56x + 196

38x + 169 = 50 x + 205

12x = - 36 / : 12

x = -3

=======

Teraz wstawiamy (-3) za x

[5 -(-3)] ²+ (10 - y) ²=  [3 -(-3)] ²+ (12  -y) ²

64 + 100 - 20y + y² =  36 + 144 - 24y + y²

164 - 20y = 180 - 24y

4y = 16 / : 4

y = 4

======

S = ( -3 ; 4 )

Teraz obliczymy r²

r^2 = I SA I ²= (5 - (-3)) ²+ ( 10 - 4) ²= 8²+ 6²= 64 + 36 = 100

r = 10

Równanie okręgu:

( x +3) ²+ ( y - 4) ²= 100

11. Dane są punkty A(-4,3) i B(0,0) oraz prosta k: x+4=0. Wyznacz na prostej k punkt C dla którego trójkąt ABC jest równoramienny. Rozważ 3 przypadki, w zależności, który bok jest podstawą)
Spośród wyznaczonych punktów wybierz ten, dla którego pole trójkąta jest największe. Oblicz to pole.

x+4=0
x=-4
prosta k znajduje się na x = -4, czyli współrzędne punktu C to (-4,y)
z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość odcinka AB i wychodzi 5. Wszystko to jest na rysunku 001.
Teraz rozpatrzymy wszystkie 3 przypadki.


1.(rysunek 002)
AB jest jednym z ramion trójkąta. Skoro A i C mają taki sam X to Y punktu C będzie symetrią do Y punktu A względem osi X, na której leży punkt B.
A więc C(-4,-3). W ten sposób powstał trójkąt o podstawie równej różnicy Y między A i C, czyli 3-(-3)=6 oraz wysokości równej różnicy X między A i prostą k, czyli
0-(-4)=4. Pole trójkąta to 1/2*4*6=12

2.(rysunek 003)
AB znowu jest jednym z ramion trójkąta. Tym razem jednak drugim ramieniem będzie część prostej k. Wiemy że musi zajść równość |AC|=|AB|, |AC|=5. Wiemy, że w prostej k zmienia się tylko Y. Zmaleje on o 5: 3-5=-2, więc
C(-4,-2). Wyjdzie w ten sposób trójkąt, którego podstawa to długość BC, a wysokość to długość AD (D - środek podstawy). Obie długości obliczamy z twierdzenia Pitagorasa i wyjdzie:
podstawa - 2√5
wysokość - 2√5
Pole: 1/2*2√5*2√5 = 10


3.(rysunek 004)
AB jest podstawą trójkąta. Z połowy tego odcinka prowadzimy prostą prostopadłą. Punkt przecięcia tej prostej z prostą k to trzeci wierzchołek . Jednak jak obliczyć współrzędne tego wierzchołka i pozostałe długości już nie mam pomysłu...

3

---