wielomian W(x) przy dzieleniu przez (x-5) daje reszte 1 a przy dzieleniu przez (x+3) daje reszte -7. wyznacz reszte z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P(x)=xkwadrat-2x-15
Z twierdzenia Bezout otrzymujemy:
W(5) = 1 W(-3) = -7
Wielomian W(x) możemy zapisać też jako:
W(x) = (x - 5) * (x + 3) * Q(x) + ax + b,
gdzie Q(x) to pewien wielomian.
W(5) = 1 => (5 - 5) * (5 + 3) * Q(5) + a * 5 + b = 1
=> 5a + b = 1
W(-3) = -7 => (-3 - 5) * (-3 + 3) * Q(-3) + a * (-3) + b = -7
=> -3 a + b = -7
Rozwiązujemy układ równań:
5a + b = 1
-3a + b = -7
5a + b = 1
b = 3a - 7
5a + 3a - 7 = 1
b = 3a - 7
a = 1
b = -4
Zatem
W(x) = (x - 5) * (x + 3) * Q(x) + (x - 4)
W(x) = (x² - 2x - 15) * Q(x) + (x - 4)
|
Wielomian W(x) przy dzieleniu przez (x- 4) daje resztę 7, a przy dzieleniu przez (x- 2) daje resztę 3. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P(x)= (x - 4) (x- 2).
W(2)=2a+b , W(2)=3
W(4)=4a+b, w(4)=7
układ równań:
2a+b=3
4a+b=7 (odejmujemy stronami)
-2a=-4
a=2
2*2+b=3
4+b=3
b=-1
R(x)=2x-1
|
Wielomian W(x) przy dzieleniu przez (x+3) daje resztę 6, a przy dzieleniu przez (x-2) daje resztę 1. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomian przez wielomian P(x)=(x-2)(x+3).
W(x)= P(x)(x+3)+6 oraz W(x)=P(x)(x-2)+1
W(-3)=6 oraz W(2)=1
W(x)=F(x)(x-2)(x+3)+ax+b
6=F(-3)*0+a*(-3)+b
1=F(2)*0+a(2)+b
6=-3a+b ukł równań rozwiąż
1=2a+b
a= -1 b=3,.
Wiec reszta z dzielenia W(x) przez
P(x)=(x-2)(x+3) wynosi: R(x)=-x+3
|
Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumiany (x-1),(x+2),(x-3) daje reszty odpowiednio równe 5, 2, 27. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P(x)=(x-1) (x+2)(x-3).
W(x)= (x-1) (x+2)(x-3) Q(x)+ax2+bx+c dla pewnych a,b,c. Z podanych informacji wiemy, że W(1)=5, W(-2) =2 W(3)=27. Podstawiając te wartości w powyższej równości mamy ukł równań
Odejmując od drugiego równania pierwsze, a od ostatniego drugie, dostajemy
Dodając te równania stronami mamy a=2 stąd b=3 i c=0
Odpowiedź:2x2+3x
|
Aby wyliczyć pierwiastek wielomianu wyszukujemy liczby, przez które podzielna jest wartość c (wolna), a następnie przyrównujemy do 0. Gdy 0=0 mamy pierwiastek wielomianu
Jeśli mamy jakieś wysokie potęgi szukamy pierwiastka (czyli a) a następnie podstawiamy do wzoru (x-a) i dzielimy wielomian przez
Dwa wielomiany jednej zmiennej x są równe gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x
Pierwiastkiem wielomianu W(x) nazywamy liczbę rzeczywistą a, dla której W(a)=0
Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) gdy wielomian W(x) jest podzielny przez (x-a) tw. Bezouta
|
|