Liczby rzeczywiste jest to zbiór liczb wymiernych i niewymiernych.

Liczba wymierna to taka liczba, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego, gdzie licznik i mianownik będą liczbami całkowitymi przy czym mianownik będzie różny od zera.

Liczby niewymierne są to liczby rzeczywiste, których nie można przedstawić w formie ułamka zwykłego n/m.

Liczby całkowite to zbiór liczb wymiernych, naturalnych (1, 2, 3, 4, ...), zera oraz liczb przeciwnych do naturalnych (-1, -2, -3, ...).

Liczby naturalne to zbiór liczb całkowitych dodatnich oraz zero.

Liczba pierwsza - liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np. 2,3,5,7,11,13,17,19,23

Działania na potęgach : 

a^m∙aⁿ=a^m+n

a^m/ aⁿ= a^m-n

(a^m)ⁿ= a^m∙n

(a∙b)ⁿ =aⁿ∙bⁿ

(a/b)ⁿ= aⁿ/bⁿ

Działania na pierwiastkach :

 

 

Wzory skróconego mnożenia : 

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a-b)²=a²-2ab+b²

(a²-b²)=(a-b)-(a+b)

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

a³+b³= (a+b)(a²-ab+b²)

a³-b³= (a-b)(a²+ab+b²)

Funkcja Liniowa f(x)= ax+b : własności

Miejsce zerowe funkcji jest punktem, w którym funkcja przecina oś OX, oblicza się je z x₀= -b/a  

Monotoniczność funkcji liniowej

• a>0 funkcja rosnąca

• a<0 funkcja malejąca

• a=0 funkcja stała

Parzystość
Funkcja jest parzysta, gdy a=0 (funkcja stała).
Funkcja jest nieparzysta, gdy b=0 (przechodzi przez środek układu wsp.).

Różnowartościowość
Funkcja jest różnowartościowa, jeśli a≠0, w przeciwnym wypadku nie jest różnowartościowa (jest stała i zawsze przyjmuje tę samą wartość).

Okresowość
a≠0funkcja nie jest okresowa.
a=0funkcja jest okresowa (stała), jej okresem jest każda liczba R.

Wykresy dwóch funkcji
Jeśli porównać wykresy dwóch funkcji, to mogą one być:

• równoległe, gdy a₁ = a₂ - oba współczynniki są równe

• prostopadłe, gdy a₁= -1/ a₂

Warunki równoległości i prostopadłości prostych.
Dane są dwie proste:

k : y =ax + b

l : y = ax +b.
Warunek równoległości prostych.
Proste w układzie współrzędnych są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki kierunkowe tych prostych są równe:

k || l a=c

wzór funkcji równoległej: y= - ⅓x +b
Warunek prostopadłości prostych.
Proste w układzie współrzędnych są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1:

k┴l a∙c = -1
wzór f. prostopadłej : y= - 2/3 x+b

x- odcięta y rzędna

Aby obliczyć współczynnik a należy odjąć współrzędne Y₁-X₁ i Y₂-X₂ a następnie podzielić je przez siebie np.

Punkty A=(-4;2) oraz B=(2;6) są symetryczne względem prostej k. Wyznacz równanie prostej.

a= 6-2 / 2+4 = 2/3

2= 2/3 * (-4) +b

b= 4 2/3 więc y= 2/3 x + 4 2/3

Następnie obliczamy środek symetrii poprzez wyliczenie średniej z y i x

-4 +2 = -2 -2/2 = -1

6+2=8 8/2= 4

Jego współrzędne to O=(-1,4)

Następnie aby obliczyć współczynnik drugiego równania korzystamy ze wzoru a= -1/a₁

a₁- to to pierwsze a

mając a wyliczasz b

równanie symetralnej do tego zadania: y= - 1 ½ x+ 2 ½

Wzór ogólny: y=ax²+bx+c

Jeśli a>0 to:

Zw=<0;+∞)

f maleje (-∞;0> i rośnie <0;+ ∞)

Funkcja nie przyjmuje wartości największej i dla argumentu 0 przyjmuje wartość najmniejszą- 0 Ramiona zwrócone są do góry.

Jeśli a<0 właściwości są odwrotne.

Wzór postaci kanonicznej: y= a(x-p)² +q

Jeśli chcemy przesunąć wykres o wektor v= [p,q] to

x_w= współrzędna x + p= p i y_w= wsp. y +q= q

Wierzchołek= [p,q] lub x₁+x₂ /2

p= - b/2a

q= - ∆/4a

∆= b²-4ac

Aby znaleźć postać iloczynową ∆ > 0 czyli być na plusie. Wtedy wyliczamy 2 miejsca „0”:

x₁= ^-b-√∆/_2a x₂= ^-b+√∆/_2a

Wzór funkcji w post. Iloczynowej to: f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)

Gdy ∆ wynosi 0 ma 1 miejsce zerowe które obliczamy ze wzoru:

x₀=-b/2a

Wtedy postać wygląda tak: f(x)= a(x-­x₀)²

Gdy ∆ jest mniejsze od 0 postać iloczynowa nie istnieje

Wzór funkcji kwadratowej y=ax²+bx+c można przekształcić do postaci kanonicznej y= a(x-p)² +q za pomocą wzorów na p i q (powyżej)

a∙q >0 ∆ <0 miejsce zerowe nie istnieje

a∙q= 0 ∆ =0 jest jedno miejsce zerowe

a∙q< 0 ∆ >0 są 2 miejsca zerowe

w tym wypadku

-2∙8 < 0 czyli ∆ >0 mamy więc 2 miejsca 0

Aby naszkicować wykres funkcji kwadratowej:

- Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z OY- (0,c)

- Wyznaczamy p i q czyli wsp. wierzchołka

- obliczamy msc „0”

- Zaznaczamy msc „0” i sprawdzamy czy odległość między nimi podzielona na 2 wynosi tyle co współczynnik a

- Rysujemy parabolę

Aby obliczyć pkt przecięcia z OY podstawiamy za x 0

Rozwiązywanie równań kwadratowych to nic innego tylko znalezienie msc „0” więc wszystko przyrównujemy do 0. Następnie szukamy ∆ zgodnie z powyższymi warunkami równanie może mieć 1 lub 2 rozwiąznia. Właśnie x₁ i x₂ są rozwiązaniami.

Sinusem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej

Sin α= a/c

Cosinusem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie α do przeciwprostokątnej

Cos α=b/c

Tangensem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przyprostokątnej leżącej przy kącie α

Tg α= a/c

Cotangensem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie α do przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α

Ctg α= b/a

	30^o	45^o	60^o
Sin α	½	√2/2	√3/2
Cos α	√3/2	√2/2	½
Tg α	√3/3	1	√3
Ctg α	√3	1	√3/3

P prostokąta= a∙b

Pole kwadratu= a∙a

Przekątna kwadratu a√2

P równoległ. P= a∙h= a∙b∙sinα

P rombu= P=a∙h= d₁∙d₂ / 2= a² sinα

d₁ i d₂ są przekątnymi

P trapezu: P= (a+b)∙h /2

Jeżeli czworokąt wypukły można wpisać w koło to

P= r∙p

p= ½ obwodu

r- promień

Jeżeli przekątne czworokąta mają dł d₁ i d₂ i przecinają się pod kątem ostrym α to

P= ½∙d₁∙d₂∙ sinα

Jeżeli przekątne czworokąta mają dł d₁∙d₂ i przecinają się pod kątem ostrym to P= ½∙d₁∙d₂

Stosunek pól figur podobnych równa się kwadratowi skali. (najpierw obliczamy pola, a potem dzielimy je przez siebie- wychodzi skala do kwadratu)

e = a+b /2

a= 2x+b

x= a-b /2

a=a+b /2

y= a+b / 2 (tylko w równoramiennym, a y to a= 2x+y)

d= a√2 - przekątna

a+c=b+d

liczba przekątnych w nkącie wynosi

n(n-3) /2

suma kątów kąta wynosi 180^o(n-2)

w dowolnym kącie wypukłym suma kątów zewnętrznych wynosi 720 ^o

log_a1=0 np. log₃1=0

log_ab=c a^cb

log_aa^k=k

log_ax^k=k log_ax

a^{loga x}=x

log_a(b∙c)= log_ab+ log_ac

log_ab/c= log_ab - log_ac

log_ab= log_cb / log_ca

---