Modele preferencji

Optymalizacja wielokryterialna

Wielokryterialny wyb´

or wariantu

Warianty systemu oceniane w r´

o˙znych aspektach (cena, bezpie-

cze´

nstwo, szkolenie, itd) w skali od 1 do 10 (najlepsza ocena).

wariant

kryt. 1

kryt. 2

kryt. 3

kryt. 4

kryt. 5

w1

1

10

10

10

10

w2

10

1

10

10

10

w3

10

10

1

10

10

w4

10

10

10

1

10

w5

10

10

10

10

1

w6

8

8

8

8

8

Optymalizacja wielokryterialna

•

x

∈ Q – decyzje dopuszczalne

wiele funkcji oceny y

i

= f

i

(

x

) decyzji

• Model w przestrzeni decyzji

max{(f

1

(

x

), . . . , f

m

(

x

)) :

x

∈ Q}

• Model w przestrzeni ocen

max{

y

= (y

1

, . . . , y

m

) :

y

∈ A}

A = {

y

∈ Y :

y

=

f

(

x

),

x

∈ Q}

Model w przestrzeni ocen – przyk lad

max [−x

1

− 2x

2

+ 2x

3

, x

2

]

2 ≤ x

1

+ x

2

+ x

3

≤ 3

x

1

+ x

2

≤ 2

x

2

+ x

3

≤ 2

x

j

≥ 0,

j = 1, 2, 3

Model w przestrzeni ocen – przyk lad

max

[10 − x

2

1

− x

2

2

, 10 − (x

1

− 2)

2

− (x

2

− 2)

2

]

0 ≤ x

1

≤ 2

0 ≤ x

2

≤ 2

max

[y

1

, y

2

]

y

1

≤ 10 − x

2

1

− x

2

2

y

2

≤ 10 − (x

1

− 2)

2

− (x

2

− 2)

2

0 ≤ x

1

≤ 2

0 ≤ x

2

≤ 2

Model preferencji

Preferencje okre´

slone na wektorach ocen

• relacja ´scis lej preferencji:

y

0



y

00

⇔

y

0

jest lepszy ni˙z

y

00

• relacja indyferencji:

y

0

∼

=

y

00

⇔

y

0

tak samo dobry jak

y

00

• relacja s labej preferencji:

y

0



y

00

⇔

y

0

nie gorszy ni˙z

y

00

• istniej

,

a niepor´

ownywalne wektory ocen:

y

0

??

y

00

y

0



y

00

relacja podstawowa

y

0



y

00

⇔

(

y

0



y

00

i

y

00

6

y

0

)

y

0

∼

=

y

00

⇔

(

y

0



y

00

i

y

00



y

0

)

Racjonalne relacje preferencji

• zwrotna:

y



y

dla

y

∈ Y

• przechodnia (tranzytywna):

(

y

0



y

00

i

y

00



y

000

)

⇒

y

0



y

000

dla

y

0

,

y

00

,

y

000

∈ Y

• ´sci´sle monotoniczna po wsp´

o lrz

,

ednych:

(y

1

, . . . , y

i−1

, y

i

+ ε, y

i+1

, . . . , y

m

)  (y

1

, . . . , y

i−1

, y

i

, y

i+1

, . . . , y

m

)

y

+ ε

e

i



y

dla

y

∈ Y,

ε > 0,

i = 1, . . . , m

gdzie

e

i

— i–ty wektor jednostkowy w przestrzeni ocen Y .

Relacja dominacji

• M´

owimy, ˙ze wektor ocen

y

0

∈ Y (racjonalnie) dominuje

y

00

∈

Y , lub

y

00

jest (racjonalnie) dominowany przez

y

0

wtedy i tylko

wtedy, gdy

y

0



y

00

dla wszystkich racjonalnych relacji preferencji.

• Je˙zeli wektor ocen

y

00

jest (racjonalnie) dominowany przez

y

0

,

to mo˙ze on by´

c wyeliminowany z poszukiwa´

n, poniewa˙z wszyscy

racjonalni decydenci preferuj

,

a

y

0

w stosunku do

y

00

.

Niezdominowane wektory ocen

• Wektor ocen

y

∈ A nazywamy (racjonalnie) niezdominowanym

wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje

y

0

∈ A taki, ˙ze

y

jest domi-

nowany przez

y

0

.

• Wektor ocen

y

0

∈ A jest wektorem niezdominowanym wtedy i

tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego

y

∈ A istnieje racjonalna relacja

preferencji  taka, ˙ze nie zachodzi

y



y

0

.

• Wystarczy wybiera´

c w´

sr´

od niezdominowanych wektor´

ow ocen.

Racjonalna dominacja

y

0



r

y

00

⇔

y

0



y

00

∀  r.r.p.

y

0



r

y

00

⇔

(

y

0



r

y

00

i

y

00

6

r

y

0

)

⇔

y

0



y

00

∀  r.r.p.

y

0

∼

=

r

y

00

⇔

(

y

0



r

y

00

i

y

00



r

y

0

)

⇔

y

0

∼

=

y

00

∀  r.r.p.

y

0



r

y

00

⇔

y

0 >

=

y

00

⇔

y

0

i

≥ y

00

i

∀i = 1, . . . , m

y

0



r

y

00

⇔

y

0

≥

y

00

⇔

(

y

0 >

=

y

00

i

y

00

6

>

=

y

0

)

y

0

∼

=

r

y

00

⇔

y

0

=

y

00

⇔

(

y

0 >

=

y

00

i

y

00 >

=

y

0

)

Dominowane wektory ocen

6

-

y

1

y

2

x

y

Dominuj

,

ace wektory ocen

6

-

y

1

y

2

x

y

Niezdominowane wektory ocen

6

-

y

1

y

2

Wektor ocen

y

0

∈ A jest wektorem niezdominowanym wtedy i tylko

wtedy, gdy nie istnieje

y

∈ A taki, ˙ze

y

≥

y

0

Niezdominowane wektory ocen

• Wektor ocen

y

0

∈ A jest wektorem niezdominowanym wtedy i

tylko wtedy, gdy istnieje sp´

ojna racjonalna relacja preferencji 

taka, ˙ze

y

0



y

dla wszystkich

y

∈ A.

y

0



o

y

00

⇔

min

i=1,...,m

(y

0

i

− y

0

i

) >

min

i=1,...,m

(y

00

i

− y

0

i

)

lub





min

i=1,...,m

(y

0

i

− y

0

i

) =

min

i=1,...,m

(y

00

i

− y

0

i

)

i

m

X

i=1

y

0

i

≥

m

X

i=1

y

00

i





• Dla ka˙zdego niezdominowanego wektora ocen istnieje racjonalna

relacja preferencji, przy kt´

orej jest on najlepszy.

Rozwi

,

azanie efektywne, Pareto-optymalne

• Wektor dopuszczalny

x

∈ Q nazywamy rozwi

,

azaniem efektyw-

nym (Pareto–optymalnym, sprawnym) zadania wielokryterial-
nego wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadaj

,

acy mu wektor ocen

y

=

f

(

x

) jest wektorem niezdominowanym.

• Wektor dopuszczalny

x

0

∈ Q jest rozwi

,

azaniem efektywnym za-

dania wielokryterialnego wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje sp´

ojna

racjonalna relacja preferencji  taka, ˙ze

f

(

x

0

) 

f

(

x

) dla ka˙zdego

x

∈ Q.

• Wektor dopuszczalny

x

0

∈ Q jest rozwi

,

azaniem efektywnym za-

dania wielokryterialnego wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje

x

∈ Q taki, ˙ze

f

(

x

) ≥

f

(

x

0

).

Rozwi

,

azanie efektywne, Pareto-optymalne

• Dla dowolnej permutacji τ zbioru {1, . . . , m}, wektor

x

0

∈ Q

jest rozwi

,

azaniem efektywnym zadania wielokryterialnego wtedy

i tylko wtedy, gdy jest rozwi

,

azaniem efektywnym zadania

max {(f

τ (1)

(

x

), f

τ (2)

(

x

), . . . , f

τ (m)

(

x

)) :

x

∈ Q}

• Dla dowolnych ´sci´sle rosn

,

acych funkcji s

i

: R → R (i = 1, . . . , m),

wektor

x

0

∈ Q jest rozwi

,

azaniem efektywnym zadania wielokry-

terialnego wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozwi

,

azaniem efektyw-

nym zadania

max {(s

1

(f

1

(

x

)), s

2

(f

2

(

x

)), . . . , s

m

(f

m

(

x

))) :

x

∈ Q}

Rozwi

,

azanie optymalne a efektywne

• Optymalizacja jednokryterialna

max{f(

x

) :

x

∈ Q}

Wszystkie rozwi

,

azania optymalne daj

,

a ten sam wynik:

y

∗

= f (

x

0

) = f (

x

00

).

Wyznaczy´

c dowolne rozwi

,

azanie optymalne.

• Optymalizacja wielokryterialna

max{(f

1

(

x

), . . . , f

m

(

x

)) :

x

∈ Q}

R´

o˙zne

rozwi

,

azania

efektywne

generuj

,

a

wzajemnie

nie-

por´

ownywalne wektory ocen.

Wyznaczy´

c wszystkie rozwi

,

azania efektywne?

Techniki generacji rozwi

,

aza´

n efektywnych

• Funkcja skalaryzuj

,

aca s : R

m

→ R

Skalaryzacja:

max {s(f

1

(

x

), f

2

(

x

), . . . , f

m

(

x

)) :

x

∈ Q}

Model preferencji:

y

0



s

y

00

⇔

s(

y

0

) ≥ s(

y

00

)

relacja 

s

jest zawsze sp´

ojna, zwrotna i przechodnia.

• Je˙zeli

funkcja

skalaryzuj

,

aca

s

jest

´

scis le

rosn

,

aca

po

wsp´

o lrz

,

ednych,

to

rozwi

,

azanie optymalne

skalaryzacji jest

rozwi

,

azaniem efektywnym zadania wielokryterialnego.

Techniki generacji rozwi

,

aza´

n efektywnych

• Je˙zeli funkcja skalaryzuj

,

aca s jest s labo monotoniczna (niema-

lej

,

aca) po wsp´

o lrz

,

ednych, to zbi´

or rozwi

,

aza´

n optymalnych ska-

laryzacji zawiera rozwi

,

azanie efektywne zadania wielokryterial-

nego.

• Je˙zeli funkcja skalaryzuj

,

aca s jest s labo monotoniczna (niema-

lej

,

aca) po wsp´

o lrz

,

ednych, to jednoznaczne w przestrzeni ocen

Y rozwi

,

azanie optymalne skalarazycji jest rozwi

,

azaniem efektyw-

nym zadania wielokryterialnego.

• W przypadku braku jednoznaczno´sci dane rozwi

,

azanie skalaryza-

cji mo˙ze by´

c zdominowane przez inne alternatywne rozwi

,

azanie

optymalne tej skalaryzacji.

Techniki generacji rozwi

,

aza´

n efektywnych

• Optymalizacja jednokryterialna

max {(f

j

(

x

) :

x

∈ Q},

j ∈ I

Zbi´

or rozwi

,

aza´

n optymalnych zadania jednokryterialnego za-

wiera rozwi

,

azanie efektywne zadania wielokryterialnego, a jed-

noznaczne w przestrzeni ocen Y rozwi

,

azanie optymalne zadania

jednokryterialnego jest rozwi

,

azaniem efektywnym zadania wie-

lokryterialnego.

• Suma indywidualnych funkcji oceny

max {

m

X

i=1

f

i

(

x

) :

x

∈ Q}

Rozwi

,

azanie optymalne zadania z sum

,

a ocen jest rozwi

,

azaniem

efektywnym zadania wielokryterialnego.

Techniki generacji rozwi

,

aza´

n efektywnych

• Metoda wa˙zenia ocen:

max {

m

X

i=1

w

i

f

i

(

x

) :

x

∈ Q}

Dla dowolnych dodatnich wag w

i

(i = 1, . . . , m) rozwi

,

azanie

optymalne zadania wa˙zonego jest rozwi

,

azaniem efektywnym za-

dania wielokryterialnego.

• Dla ka˙zdego

x

0

rozwi

,

azania efektywnego wielokryterialnego za-

dania PL istniej

,

a dodatnie wagi w

i

(i = 1, . . . , m) takie, ˙ze

x

0

jest

rozwi

,

azaniem optymalnym odpowiedniego zadania wa˙zonego.

• Powy˙zsze nie jest prawdziwe w przypadku og´

olnych zada´

n opty-

malizacji wielokryterialnej. W szczeg´

olno´

sci nie jest prawdziwe

w przypadku zada´

n dyskretnych.

Wielokryterialny wyb´

or wariantu

Efektywny wariant w6 nieosi

,

agalny przy maksymalizacji wa˙zonej

sumy ocen.

wariant

kryt. 1

kryt. 2

kryt. 3

kryt. 4

kryt. 5

w1

1

10

10

10

10

w2

10

1

10

10

10

w3

10

10

1

10

10

w4

10

10

10

1

10

w5

10

10

10

10

1

w6

8

8

8

8

8

Techniki generacji rozwi

,

aza´

n efektywnych

• Skalaryzacja maksiminowa:

max { min

i=1,...,m

f

i

(

x

) :

x

∈ Q}

max z

pod warunkiem, ˙ze

x

∈ Q

f

i

(

x

) ≥ z

dla i = 1, . . . , m

• Model preferencji:

y

0



y

00

⇔

min

i=1,...,m

y

0

i

≥

min

i=1,...,m

y

00

i

• Zbi´

or rozwi

,

aza´

n optymalnych zadania maksyminimalizacji za-

wiera rozwi

,

azanie efektywne zadania wielokryterialnego;

jednoznaczne w przestrzeni ocen Y rozwi

,

azanie optymalne jest

rozwi

,

azaniem efektywnym zadania wielokryterialnego.

Techniki generacji rozwi

,

aza´

n efektywnych

• Skalowana maksyminimalizacja s

i

: R → R (i = 1, . . . , m)

max { min

i=1,...,m

s

i

(f

i

(

x

)) :

x

∈ Q}

• Je˙zeli dla wszystkich osi

,

agalnych wektor´

ow ocen

y

∈ Y praw-

dziwa jest nier´

owno´

s´

c

y

∗

>

y

, to dla ka˙zdego rozwi

,

azania efek-

tywnego

x

0

zadania wielokryterialnego istniej

,

a dodatnie wagi w

i

(i = 1, . . . , m) takie, ˙ze

x

0

jest jednoznacznym w przestrzeni

ocen rozwi

,

azaniem optymalnym zadania maksyminimalizacji z

funkcjami skaluj

,

acymi postaci

s

i

(y

i

) = w

i

(y

i

− y

∗

i

)

dla i = 1, . . . , m

Mo˙zna przyj

,

a´

c w

i

= −1/(f

i

(

x

0

) − y

∗

i

).

Techniki generacji rozwi

,

aza´

n efektywnych

• Rozwi

,

azanie efektywne

x

0

zadania wielokryterialnego jest jedno-

znacznym w przestrzeni ocen rozwi

,

azaniem optymalnym zadania

maksyminimalizacji z funkcjami skaluj

,

acymi postaci

s

i

(y

i

) = y

i

− f

i

(

x

0

)

dla i = 1, . . . , m

• Dla ka˙zdego

x

0

rozwi

,

azania efektywnego zadania wielokryte-

rialnego istniej

,

a ´

sci´

sle rosn

,

ace funkcje liniowe s

i

: R → R

(i = 1, . . . , m) takie, ˙ze

x

0

jest rozwi

,

azaniem optymalnym odpo-

wiedniego zadania maksyminimalizacji.

Optymalizacja leksykograficzna

• Porz

,

adek leksykograficzny

v

0

>

lex

v

00

⇔ istnieje r taki, ˙ze v

0

r

> v

00

r

i v

0

k

= v

00

k

dla k < r

v

0

≥

lex

v

00

⇔

v

0

>

lex

v

00

lub

v

0

=

v

00

Relacja nier´

owno´

sci leksykograficznej ≥

lex

jest zwrotna, prze-

chodnia, sp´

ojna i antysymetryczna

(

y

0

≥

lex

y

00

i

y

00

≥

lex

y

0

)

⇒

y

0

=

y

00

Definiuje ona zatem porz

,

adek liniowy.

• Jako uog´

olnienie skalaryzacji b

,

edziemy rozpatrywa´

c skalaryzacje

leksykograficzne

, czyli zadania postaci

lexmax {(s

1

(

f

(

x

)), s

2

(

f

(

x

)), . . . , s

p

(

f

(

x

))) :

x

∈ Q}

Optymalizacja leksykograficzna

Algorytm sekwencyjny

1. Dla k = 1, 2, . . . , p wyznaczamy zbi´

or S

k

rozwi

,

aza´

n optymalnych

zadania (gdzie S

0

= Q):

P

k

: max {s

k

(

f

(

x

)) :

x

∈ S

k−1

}

2. Ka˙zdy element zbioru S

p

jest rozwi

,

azaniem optymalnym zadania

leksykograficznego.

Najprostsz

,

a technik

,

a definiowania zbior´

ow S

k

jest dodawanie wa-

runk´

ow s

t

(

f

(

x

)) = ¯

z

t

dla kolejnych t = 1, 2, . . . , k, gdzie ¯

z

t

jest

warto´

sci

,

a optymaln

,

a zadania P

t

.

Optymalizacja leksykograficzna

• Dla dowolnej permutacji τ zbioru I = {1, . . . , m} rozwi

,

azanie

optymalne zadania leksykograficznego

lexmax {(f

τ (1)

(

x

), f

τ (2)

(

x

), . . . , f

τ (m)

(

x

)) :

x

∈ Q}

jest rozwi

,

azaniem efektywnym zadania wielokryterialnego.

• Dla dowolnej permutacji τ zbioru I = {1, . . . , m} i dowolnego

1 ≤ p ≤ m, zbi´

or rozwi

,

aza´

n optymalnych zadania

lexmax {(f

τ (1)

(

x

), f

τ (2)

(

x

), . . . , f

τ (p)

(

x

)) :

x

∈ Q}

zawiera rozwi

,

azanie efektywne zadania wielokryterialnego, a jed-

noznaczne w przestrzeni ocen Y rozwi

,

azanie optymalne zadania

leksykograficznego jest rozwi

,

azaniem efektywnym zadania wie-

lokryterialnego.

Leksykograficzne regularyzacje skalaryzacji

• Rozwi

,

azanie optymalne (dwupoziomowego) zadania leksykogra-

ficznego

lexmax {(f

i

0

(

x

),

m

X

i=1

f

i

(

x

)) :

x

∈ Q},

i

0

∈ I

jest rozwi

,

azaniem efektywnym zadania wielokryterialnego.

• Uproszczona implementacja “in˙zynierska”

max {f

i

0

(

x

) + ε

m

X

i=1

f

i

(

x

) :

x

∈ Q},

i

0

∈ I, ε > 0

Leksykograficzne regularyzacje skalaryzacji

• Rozwi

,

azanie optymalne zadania leksykograficznego

lexmax {( min

i=1,...,m

f

i

(

x

),

m

X

i=1

f

i

(

x

)) :

x

∈ Q}

jest rozwi

,

azaniem efektywnym zadania wielokryterialnego.

• Uproszczona implementacja “in˙zynierska”

max { min

i=1,...,m

f

i

(

x

) + ε

m

X

i=1

f

i

(

x

) :

x

∈ Q}, ε > 0

Leksykograficzne regularyzacje skalaryzacji

• Dla dowolnych ´sci´sle rosn

,

acych funkcji s

i

: R → R (i = 1, . . . , m)

rozwi

,

azanie optymalne (dwupoziomowego) zadania leksykogra-

ficznego

lexmax {( min

i=1,...,m

s

i

(f

i

(

x

)),

m

X

i=1

s

i

(f

i

(

x

))) :

x

∈ Q}

jest rozwi

,

azaniem efektywnym zadania wielokryterialnego.

• Dla ka˙zdego rozwi

,

azania efektywnego

x

0

zadania wielokryte-

rialnego istniej

,

a ´

sci´

sle rosn

,

ace funkcje liniowe s

i

: R → R

(i = 1, . . . , m) takie, ˙ze

x

0

jest jednoznacznym w przestrzeni

ocen Y rozwi

,

azaniem optymalnym odpowiedniego skalowanego

zadania maksyminimalizacji.

Wspomaganie decyzji

• W celu rozstrzygni

,

eci

,

a praktycznego problemu decyzyjnego

trzeba wybra´

c jedno rozwi

,

azanie do realizacji.

• Dla dowolnej racjonalnej relacji preferencji  rozwi

,

azania do-

puszczalne generuj

,

ace wektory ocen maksymalne w sensie tej

relacji nale˙z

,

a do zbioru rozwi

,

aza´

n efektywnych. Co wi

,

ecej, dla

ka˙zdego rozwi

,

azania efektywnego

x

istnieje racjonalna relacja

preferencji  taka, ˙ze

f

(

x

) 

y

dla wszystkich

y

∈ A. Zatem

wyb´

or specyficznego rozwi

,

azania efektywnego faktycznie ozna-

cza wyb´

or relacji preferencji .

Wspomaganie decyzji

• W wielokryterialnych problemach decyzyjnych relacja preferencji

nie jest znana a priori i dlatego ostatecznego wyboru rozwi

,

azania

mo˙ze dokona´

c jedynie decydent.

• Ze wzgl

,

edu na liczno´

s´

c zbioru rozwi

,

aza´

n efektywnych, nawet w

przypadku wyznaczenia metodami obliczeniowymi ca lego zbioru
rozwi

,

aza´

n efektywnych decydent nie mo˙ze dokona´

c wyboru

rozwi

,

azania bez pomocy odpowiedniego interakcyjnego systemu

informatycznego. System taki, nazywany tu systemem wspo-
magania decyzji

(SWD), umo˙zliwia sterowany przegl

,

ad zbioru

rozwi

,

aza´

n efektywnych. Na podstawie podawanych przez decy-

denta warto´

sci pewnych parametr´

ow steruj

,

acych

system przed-

stawia r´

o˙zne rozwi

,

azania efektywne do analizy.

Skalaryzacja parametryczna

max

x

{(s(

u

,

f

(

x

)) :

x

∈ Q},

u

∈ U

gdzie

u

jest wektorem parametr´

ow steruj

,

acych,

a s : U × Y → R funkcj

,

a skalaryzuj

,

ac

,

a.

lexmax

x

{(

s

(

u

,

f

(

x

)) :

x

∈ Q},

u

∈ U

gdzie

s

jest wektorow

,

a funkcj

,

a skalaryzuj

,

ac

,

a.

• Skalaryzacja spe lniaj

,

aca zasad

,

e efektywno´

sci:

dla ka˙zdego wektora parametr´

ow steruj

,

acych

u

∈ U rozwi

,

azanie

optymalne zadania skalaryzacji jest rozwi

,

azaniem efektywnym

oryginalnego problemu wielokryterialnego.

• Latwo´s´

c obliczeniowa zada´

n skalaryzacji.

Skalaryzacja parametryczna

• Zupe lno´s´

c parametryzacji zbioru rozwi

,

aza´

n efektywnych:

dla ka˙zdego

x

0

rozwi

,

azania efektywnego zadania wielokryterial-

nego istnieje wektor parametr´

ow steruj

,

acych

u

0

∈ U taki, ˙ze

x

0

jest rozwi

,

azaniem optymalnym odpowiedniego zadania skalary-

zacji.

• Parametry steruj

,

ace reprezentuj

,

ace latwo rozumiane przez de-

cydenta wielko´

sci rzeczywiste charakteryzuj

,

ace jego preferencje.

• Otwarto´s´

c systemu wspomagania decyzji nie narzucaj

,

acego de-

cydentowi ˙zadnego sztywnego scenariusza analizy problemu de-
cyzyjnego i dopuszczaj

,

acego mo˙zliwo´

s´

c modyfikacji jego prefe-

rencji w trakcie analizy, w wyniku poznawania specyfiki problemu
decyzyjnego.

Skalaryzacja parametryczna

• Dobre parametry steruj

,

ace – punkty odniesienia w przestrzeni

ocen (warto´

sci ocen).

• Z le parametry steruj

,

ace – wagi kompensacyjne.

Brak intuitycyjno´

sci w sterowaniu wagami. Przyk lad:

max{(y

1

, y

2

, y

3

) : y

2

1

+ y

2

2

+ y

2

3

≤ 1}

max{w

1

y

1

+ w

2

y

2

+ w

3

y

3

: y

2

1

+ y

2

2

+ y

2

3

≤ 1}

wagi

wynik

(1, 1, 1)

(1/

√

3, 1/

√

3, 1/

√

3)

(10, 2, 1) (10/

√

105, 2/

√

105, 1/

√

105)

2/

√

105 < 1/

√

3

(10, 7, 1) (10/

√

150, 7/

√

150, 1/

√

150)

7/

√

150 < 1/

√

3

Quasi-zadowalaj

,

acy model decyzji

• Zadowalaj

,

acy model decyzji:

Decydent rozwi

,

azuj

,

ac problem decyzyjny okre´

sla poziomy aspi-

racji jako po˙z

,

adane warto´

sci oszczeg´

olnych ocen.

Je˙zeli warto´

sci ocen nie osi

,

agaj

,

a poziom´

ow aspiracji, to decy-

dent stara si

,

e znale´

z´

c lepsze rozwi

,

azanie.

Je˙zeli warto´

sci pewnych ocen osi

,

agn

,

e ly odpowiednie poziomy

aspiracji, to decydent koncentruje uwag

,

e na poprawie warto´

sci

tych ocen, kt´

ore nie osi

,

agn

,

e ly swoich poziom´

ow aspiracji.

• Quasi-zadowalaj

,

acy model decyzji (kontynuacja optymalizacji):

Gdy wszystkie oceny osi

,

agn

,

a za lo˙zone poziomy aspiracji, to de-

cydent jest zainteresowany dalsz

,

a popraw

,

a ocen, o ile jest to

mo˙zliwe .