Mechanika teoretyczna: Kinematyka

ciała sztywnego

Kinematyka ciała sztywnego

Mechanika teoretyczna

Kinematyka ciała sztywnego – 2

Zadanie.

Kwadrat ABCD o boku a porusza się ruchem jednostajnym po osi x z

prędkością v poruszając swoim wierzchołkiem C pręt EO zamocowany przegubowo w
punkcie O. Wyznaczyć prędkość kątową i przyspieszenie kątowe pręta w funkcji kąta ϕ.

x

y

b

D

v

C

A

B

O

ϕ

E

a

u

a

Kinematyka ciała sztywnego

Mechanika teoretyczna

Kinematyka ciała sztywnego – 3

odległość u maleje z prędkością v

du

dt

= −v

(1)

z geometrii zadania

u

a

= ctg ϕ(t)

(2)

v = const 6= ϕ = const

(3)

u = a ctg ϕ(t)

(4)

u jest funkcją kąta ϕ, a ten z kolei jest funkcją czasu t

u = u[ϕ(t)]

(5)

stąd zmiana drogi w czasie jest pochodną funkcji złożonej

du

dt

=

du

dϕ

·

dϕ

dt

=

−a

sin

2

ϕ

·

dϕ

dt

(6)

Kinematyka ciała sztywnego

Mechanika teoretyczna

Kinematyka ciała sztywnego – 4

Ponieważ

ω =

dϕ

dt

= ˙

ϕ

(7)

i porównując wzory (1) i (6) mamy

a ˙

ϕ

sin

2

ϕ

=

aω

sin

2

ϕ

= v

(8)

ω =

v
a

sin

2

ϕ

(9)

ε =

d

2

ϕ

dt

2

= ¨

ϕ

(10)

ε =

d

2

ϕ

dt

2

=

dω

dt

=

v
a

2 sin ϕ cos ϕ ·

dϕ

dt

|{z}

ω

=

v
a

sin 2ϕ

 v

a

· sin

2

ϕ



=

v

2

a

2

sin 2ϕ sin

2

ϕ

(11)

Kinematyka ciała sztywnego

Mechanika teoretyczna

Kinematyka ciała sztywnego – 5

Zadanie.

Odcinek AB o długości L = 0.5 m znajduje się w ruchu płaskim w płaszczyźnie

rysunku prędkości liniowych, na którym zaznaczono odcinek i kierunki liniowe jego
końców. Prędkość końca A jest znana i wynosi v

A

= 10 m/s. Wyznaczyć chwilową

prędkość kątową odcinka, prędkość punktu B oraz prędkość liniową środka D odcinka.
Chwilowy środek obrotu wyznaczono na przecięciu linii prostopadłych do wektorów
prędkości

L/2

L/2

ρ

A

ρ

D

ρ

B

A

B

C

D

v

A

v

D

v

B

30

◦

60

◦

60

◦

60

◦

Kinematyka ciała sztywnego

Mechanika teoretyczna

Kinematyka ciała sztywnego – 6

ρ

A

= L cos 60

◦

=

1
2

·

1
2

=

1
4

(12)

ρ

B

= L cos 30

◦

=

1
2

·

√

3

2

=

√

3

4

(13)

v

A

= ω · ρ

A

(14)

ω =

v

A

ρ

A

=

10✚

✚

m/s

1
4

✚

✚

m

= 40 rad/s

(15)

v

B

= ω · ρ

B

= 40 ·

√

3

4

= 10

√

3 m/s = 17.3 m/s

(16)

ρ

D

= ρ

A

=

L

2

=

1
4

m

(17)

v

D

= ω · ρ

D

= 40 ·

1
4

= 10 m/s

(18)