Wyznaczanie elipsoidy bezwładności bryły, FIZYKA 1, WYZNACZANIE ELIPSOIDY BEZWŁADNOŚCI CIAŁA SZTYWNEGO


WYZNACZANIE ELIPSOIDY BEZWŁADNOŚCI CIAŁA SZTYWNEGO

Tensor momentu bezwładności ciała sztywnego.

Rozważmy przypadek ruchu obrotowego ciała sztywnego wokół osi przechodzącej przez środek jego masy. Ruch ten opiszemy w kartezjańskim układzie współrzędznyh, którego początek pokkrywa się ze środkiem masy ciała. Ogólne wyrażenie na moment pędu ciała sztywnego wzgłędem wybranego punktu (początku układu współrzędnych) ma postać:

L = Σ ri × mi vi (1)

gdzie:

ri - wektor określający położenie elementu o masie mi (ciało dzielimy myślowo na elementy traktowane jako punkty materiałne

vi - predkość tego elementu,

ale:

vi = ω × ri (gdzie ω - prędkość kątowa ciała) i ω = ωxex + ωyey + ωzez

ri = xiex + yiey + ziez ,

ex, ey, ez - wersory osi x, y, z,

tak więc równanie (1) przyjmie kształt:

L = Σ mi [ω ri2 - ri ( ri ω)] (2)

Zgodnie z równaniem (2) składową wektora L w kierunku osi x zapisujemy w postaci:

L = ωx Σ mi ri2 - ωx Σ mi xi2 - ωy Σ mi xi yi - ω Σ mi xi zi (3)

Wprowadźmy oznaczenia:

Σ mi (ri2 - xi2) = Ixx (4)

Σ mi xi yi = Ixy (5)

Σ mi xi zi = Ixz (6)

Wielkości Ixx, Ixy, Ixz (zwane składowymi tensora momentu bezwładności - wyjaśnienie pojęcia niżej) zależą od rozkładu masy w ciele. Biorąc za przykład wyrażenie:

Ixx = Σ mi (ri2 - xi2) = Σ mi (yi2 - zi2) (7)

widzimy , że jest ono sumą iloczynów mas przez kwadraty odległości od osi x, a więc rzeczywiście oznacza moment bezwładności względem tej osi. Dla układu odniesienia nie związanego z obracającym się ciałem (w układzie laboratoryjnym) składowe te zależą od chwilowej orientacji ciała względem osi układu współrzędnych, a więc są składowymi Ly i Lz , możemy składowe wektora momentu pędu zapisać:

Ly = Ixxωx + Ixyωy + Ixzωz (8)

Ly = Iyxωx + Iyyωy + Iyzωz (9)

Lz = Izxωx + Izyωy + Izzωz (10)

Powyższe równania pokazują , że składowe wektora momentu pędu L związane są ze składowymi wektora prędkości kątowej za pośrednictwem układu równań liniowych, w których występuje dziewięć wielkości zwanych składowymi tensora momentu bezwładności. W fizyce spotykamy oprócz wielkości skalarnych i wektorowych również wielkości tensorowe. Wielkości te obowiązują określone prawa przekształceń, przy przejściu z jednego układu współrzędnych do drugiego. Najprościej przy przekształcaniu układu współrzędnych zachowuje się skalar (tensor zerowego rzędu) - nie zmienia się w wyniku dokonanej transformacji. Wektor (tensor pierwszego rzędu) w przestrzeni trójwymiarowej ma trzy składowe. Po przekształceniu do nowego układu współrzędnych każda składowa będzie liniową funkcją trzech składowych z poprzedniego układu. Podobnie składowe tensora w nowym układzie są liniowymi i jednorodnymi funkcjami jego składowych w starym układzie. Tensor momentu bezwładności (tensor drugiego rzędu - zawiera dziewięć składowych)możemy zapisać w postaci macierzy kwadratowej, którą oznaczymy symbolicznie przez I :

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Ixx Ixy Ixz

I = Iyx Iyy Iyz (11)

Izx Izy Izz

0x08 graphic
0x08 graphic

Układ równań (8),(9) i (10) można teraz zapisać bardzo zwięźle:

L = Iω (12)

gdzie I reprezentuje tzw. tensor momentu bezwładności.

Aby informacje zawarte w równaniu (12) wraz z macierzą kwadratową (11) ująć w jeden związek, zapiszemy zgodnie z konwencją Einsteina :

Lμν = Iμν ω (13)

gdzie wskaźniki powtórzone w iloczynie dwa razy oznaczają sumowanie po x, y, z; pojedynczy wskaźnik oznacza albo x, albo y, albo z.

Ponieważ Ixy = Iyx, Ixz = Izx, i Iyz = Izy, a więc spośród dziewięciu wielkości tylko sześć jest niezależnych. Tensor momentu bezwładności I jest tensorem symetrycznym. Z własności macierzy symetrycznych wynika, że można tak dobrać kierunki osi x, y, i z, aby zniknęły wszystkie wyrazy zwane momentami dewiacyjnymi, a pozostały tylko wyrazy leżące na głównej przekątnej (wyrazy diagonalnej):

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Ixx 0 0

I = 0 Iyy 0 (13)

0 0 Izz

0x08 graphic
0x08 graphic

Dla tak wybranego układu współrzędnych moment pędu zapiszemy :

L = Ixxωx ex + Iyyωy ey + Izzωz ez (14)

gdzie Ixx, Iyy, Izz nazywa się głównymi momentami bezwładności, a odpowiadające im osie x, y, i z głównymi osami bezwładności.

Z równania (14) wynika, że w ogólnym przypadku kierunek wektora momentu pędu ciała sztywnego różni się od kierunku prędkości kątowej (z wyjątkiem takich ciał, jak np. kula lub sześcian). Wektor L będzie równoległy do wektora ω tylko wtedy, gdy ruch obrotowy ciała zachodzi wokół jednej z głównych osi bezwładności, np. wokół osi x:

L = Ixxωx ex (15)

ponieważ ωy = 0 i ωz = 0.

Tensor symetryczny można przedstawić za pomocą powierzchni drugiego stopnia. W naszym przypadku jest to powierzchnia elipsoidy obrotowej. Oznaczmy przez Ii moment bezwładności ciała względem dowolnej osi przechodzącej przez środek masy. Na osi tej odłóżmy po obu stronach środka masy odcinki o długości:

ri = (16)

gdzie Ii jest momentem bezwładności ciała względem tej osi. Wzdłuż kierunków x, y, z odkładamy odcinki rx, ry, rz o długościach odpowiednio równych:

rx = ry = rz = (17)

Powierzchnię utworzoną przez końce odcinków odłożonych w ten sposób na wszystkich możliwych osiach przechodzących przez środek masy ciała nazywamy elipsoidą bezwładności. Pozostając przy wcześniej sformułowanym założeniu, że środek masy ciała pokrywa się z początkiem układu współrzędnych otrzymujemy równanie elipsoidy w postaci :

+ + =1 (18)

lub

m ( + + )=1 (19)

Znając główne momenty bezwładności ciała, można napisać równanie elipsoidy bezwładności (19). Aby obliczyć moment bezwładności ciała względem dowolnie wybranej osi obrotu i przechodzącej przez jego środek masy, wystarczy w tym celu określić współrzędne punktu (P) przebicia powierzchni elipsoidy przez wybraną oś. Jeśli punkt P posiada współrzędne P (x, y, z), to:

Ii = m (xp2 + yp2 + zp2) (20)

Współrzędne punktu przebicia (xp, yp, zp) wyznaczamy korzystając z równania elipsoidy bezwładności (19) oraz równania prostej określającej wybraną oś obrotu.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Pomiar bezwladnosci ciala sztywnego za pomoca wahadla skretn, Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadc
Wyznaczanie ciepla własciwego ciała stał, Budownictwo-studia, fizyka
CHARAKTERYSTYKI BEZWŁADNOŚCIOWE CIAŁA CZŁOWIEKA
Wyznaczanie gęstości cieczy i ciała stałego, Wyznaczanie gestosci cieczy i ciala stalego
Zad 1, wyznaczanie reakcji w pojedyńczej tarczy sztywnej
Wyznaczanie gęstości cieczy i ciała stałego, Lab metrol środ, Marcin Kawa
biomechanika - wyznaczanie środka cieżkosci ciała, studia awf
Bryła, moment bezwładności, Bryła sztywna to ciało, w którym pod wpływem działających sił zewnętrzny
Dyn bryly 5.1-5.3, Fizyka
fizyka 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO
m, studia, semestr 2 (2011), Fizyka, Laboratorium, 012 Wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamic
6 Dynamika ruchu obrotowego ciala sztywnego, Politechnika Wrocławska Energetyka, I semestr, Fizyka 1
Wyznaczanie elipsoidy bezwładności bryły, ELIPSO, Wst˙p teoretyczny
04 Wyznaczanie elipsoidy bezwladnosci', Księgozbiór, Studia, Fizyka
Wyznaczanie elipsoidy bezwładności bryły sprawko
04 Wyznaczanie elipsoidy bezwladnosci, Księgozbiór, Studia, Fizyka
wyznaczanie momentu bezwładności - ściąga, Fizyka
Wyznaczanie momentu bezwładności brył nieregularnych, Pollub MiBM, fizyka sprawozdania

więcej podobnych podstron