WYZNACZANIE ELIPSOIDY BEZWŁADNOŚCI CIAŁA SZTYWNEGO
Tensor momentu bezwładności ciała sztywnego.
Rozważmy przypadek ruchu obrotowego ciała sztywnego wokół osi przechodzącej przez środek jego masy. Ruch ten opiszemy w kartezjańskim układzie współrzędznyh, którego początek pokkrywa się ze środkiem masy ciała. Ogólne wyrażenie na moment pędu ciała sztywnego wzgłędem wybranego punktu (początku układu współrzędnych) ma postać:
L = Σ ri × mi vi (1)
gdzie:
ri - wektor określający położenie elementu o masie mi (ciało dzielimy myślowo na elementy traktowane jako punkty materiałne
vi - predkość tego elementu,
ale:
vi = ω × ri (gdzie ω - prędkość kątowa ciała) i ω = ωxex + ωyey + ωzez
ri = xiex + yiey + ziez ,
ex, ey, ez - wersory osi x, y, z,
tak więc równanie (1) przyjmie kształt:
L = Σ mi [ω ri2 - ri ( ri ω)] (2)
Zgodnie z równaniem (2) składową wektora L w kierunku osi x zapisujemy w postaci:
L = ωx Σ mi ri2 - ωx Σ mi xi2 - ωy Σ mi xi yi - ω Σ mi xi zi (3)
Wprowadźmy oznaczenia:
Σ mi (ri2 - xi2) = Ixx (4)
Σ mi xi yi = Ixy (5)
Σ mi xi zi = Ixz (6)
Wielkości Ixx, Ixy, Ixz (zwane składowymi tensora momentu bezwładności - wyjaśnienie pojęcia niżej) zależą od rozkładu masy w ciele. Biorąc za przykład wyrażenie:
Ixx = Σ mi (ri2 - xi2) = Σ mi (yi2 - zi2) (7)
widzimy , że jest ono sumą iloczynów mas przez kwadraty odległości od osi x, a więc rzeczywiście oznacza moment bezwładności względem tej osi. Dla układu odniesienia nie związanego z obracającym się ciałem (w układzie laboratoryjnym) składowe te zależą od chwilowej orientacji ciała względem osi układu współrzędnych, a więc są składowymi Ly i Lz , możemy składowe wektora momentu pędu zapisać:
Ly = Ixxωx + Ixyωy + Ixzωz (8)
Ly = Iyxωx + Iyyωy + Iyzωz (9)
Lz = Izxωx + Izyωy + Izzωz (10)
Powyższe równania pokazują , że składowe wektora momentu pędu L związane są ze składowymi wektora prędkości kątowej za pośrednictwem układu równań liniowych, w których występuje dziewięć wielkości zwanych składowymi tensora momentu bezwładności. W fizyce spotykamy oprócz wielkości skalarnych i wektorowych również wielkości tensorowe. Wielkości te obowiązują określone prawa przekształceń, przy przejściu z jednego układu współrzędnych do drugiego. Najprościej przy przekształcaniu układu współrzędnych zachowuje się skalar (tensor zerowego rzędu) - nie zmienia się w wyniku dokonanej transformacji. Wektor (tensor pierwszego rzędu) w przestrzeni trójwymiarowej ma trzy składowe. Po przekształceniu do nowego układu współrzędnych każda składowa będzie liniową funkcją trzech składowych z poprzedniego układu. Podobnie składowe tensora w nowym układzie są liniowymi i jednorodnymi funkcjami jego składowych w starym układzie. Tensor momentu bezwładności (tensor drugiego rzędu - zawiera dziewięć składowych)możemy zapisać w postaci macierzy kwadratowej, którą oznaczymy symbolicznie przez I :
Ixx Ixy Ixz
I = Iyx Iyy Iyz (11)
Izx Izy Izz
Układ równań (8),(9) i (10) można teraz zapisać bardzo zwięźle:
L = Iω (12)
gdzie I reprezentuje tzw. tensor momentu bezwładności.
Aby informacje zawarte w równaniu (12) wraz z macierzą kwadratową (11) ująć w jeden związek, zapiszemy zgodnie z konwencją Einsteina :
Lμν = Iμν ω (13)
gdzie wskaźniki powtórzone w iloczynie dwa razy oznaczają sumowanie po x, y, z; pojedynczy wskaźnik oznacza albo x, albo y, albo z.
Ponieważ Ixy = Iyx, Ixz = Izx, i Iyz = Izy, a więc spośród dziewięciu wielkości tylko sześć jest niezależnych. Tensor momentu bezwładności I jest tensorem symetrycznym. Z własności macierzy symetrycznych wynika, że można tak dobrać kierunki osi x, y, i z, aby zniknęły wszystkie wyrazy zwane momentami dewiacyjnymi, a pozostały tylko wyrazy leżące na głównej przekątnej (wyrazy diagonalnej):
Ixx 0 0
I = 0 Iyy 0 (13)
0 0 Izz
Dla tak wybranego układu współrzędnych moment pędu zapiszemy :
L = Ixxωx ex + Iyyωy ey + Izzωz ez (14)
gdzie Ixx, Iyy, Izz nazywa się głównymi momentami bezwładności, a odpowiadające im osie x, y, i z głównymi osami bezwładności.
Z równania (14) wynika, że w ogólnym przypadku kierunek wektora momentu pędu ciała sztywnego różni się od kierunku prędkości kątowej (z wyjątkiem takich ciał, jak np. kula lub sześcian). Wektor L będzie równoległy do wektora ω tylko wtedy, gdy ruch obrotowy ciała zachodzi wokół jednej z głównych osi bezwładności, np. wokół osi x:
L = Ixxωx ex (15)
ponieważ ωy = 0 i ωz = 0.
Tensor symetryczny można przedstawić za pomocą powierzchni drugiego stopnia. W naszym przypadku jest to powierzchnia elipsoidy obrotowej. Oznaczmy przez Ii moment bezwładności ciała względem dowolnej osi przechodzącej przez środek masy. Na osi tej odłóżmy po obu stronach środka masy odcinki o długości:
ri = (16)
gdzie Ii jest momentem bezwładności ciała względem tej osi. Wzdłuż kierunków x, y, z odkładamy odcinki rx, ry, rz o długościach odpowiednio równych:
rx = ry = rz = (17)
Powierzchnię utworzoną przez końce odcinków odłożonych w ten sposób na wszystkich możliwych osiach przechodzących przez środek masy ciała nazywamy elipsoidą bezwładności. Pozostając przy wcześniej sformułowanym założeniu, że środek masy ciała pokrywa się z początkiem układu współrzędnych otrzymujemy równanie elipsoidy w postaci :
+ + =1 (18)
lub
m ( + + )=1 (19)
Znając główne momenty bezwładności ciała, można napisać równanie elipsoidy bezwładności (19). Aby obliczyć moment bezwładności ciała względem dowolnie wybranej osi obrotu i przechodzącej przez jego środek masy, wystarczy w tym celu określić współrzędne punktu (P) przebicia powierzchni elipsoidy przez wybraną oś. Jeśli punkt P posiada współrzędne P (x, y, z), to:
Ii = m (xp2 + yp2 + zp2) (20)
Współrzędne punktu przebicia (xp, yp, zp) wyznaczamy korzystając z równania elipsoidy bezwładności (19) oraz równania prostej określającej wybraną oś obrotu.