WYZNACZANIE ELIPSOIDY BEZWŁADNOŚCI CIAŁA SZTYWNEGO

Tensor momentu bezwładności ciała sztywnego.

Rozważmy przypadek ruchu obrotowego ciała sztywnego wokół osi przechodzącej przez środek jego masy. Ruch ten opiszemy w kartezjańskim układzie współrzędznyh, którego początek pokkrywa się ze środkiem masy ciała. Ogólne wyrażenie na moment pędu ciała sztywnego wzgłędem wybranego punktu (początku układu współrzędnych) ma postać:

L = Σ r_i × m_i v_i (1)

gdzie:

r_i - wektor określający położenie elementu o masie m_i (ciało dzielimy myślowo na elementy traktowane jako punkty materiałne

v_i - predkość tego elementu,

ale:

v_i = ω × r_i (gdzie ω - prędkość kątowa ciała) i ω = ω_xe_x + ω_ye_y + ω_ze_z

r_i = x_ie_x + y_ie_y + z_ie_z ,

e_x, e_y, e_z - wersory osi x, y, z,

tak więc równanie (1) przyjmie kształt:

L = Σ m_i [ω r_i² - r_i ( r_i ω)] (2)

Zgodnie z równaniem (2) składową wektora L w kierunku osi x zapisujemy w postaci:

L = ω_x Σ m_i r_i² - ω_x Σ m_i x_i² - ω_y Σ m_i x_i y_i - ω Σ m_i x_i z_i (3)

Wprowadźmy oznaczenia:

Σ m_i (r_i² - x_i²) = I_xx (4)

Σ m_i x_i y_i = I_xy (5)

Σ m_i x_i z_i = I_xz (6)

Wielkości I_xx, I_xy, I_xz (zwane składowymi tensora momentu bezwładności - wyjaśnienie pojęcia niżej) zależą od rozkładu masy w ciele. Biorąc za przykład wyrażenie:

I_xx = Σ m_i (r_i² - x_i²) = Σ m_i (y_i² - z_i²) (7)

widzimy , że jest ono sumą iloczynów mas przez kwadraty odległości od osi x, a więc rzeczywiście oznacza moment bezwładności względem tej osi. Dla układu odniesienia nie związanego z obracającym się ciałem (w układzie laboratoryjnym) składowe te zależą od chwilowej orientacji ciała względem osi układu współrzędnych, a więc są składowymi L_y i L_z , możemy składowe wektora momentu pędu zapisać:

L_y = I_xxω_x + I_xyω_y + I_xzω_z (8)

L_y = I_yxω_x + I_yyω_y + I_yzω_z (9)

L_z = I_zxω_x + I_zyω_y + I_zzω_z (10)

Powyższe równania pokazują , że składowe wektora momentu pędu L związane są ze składowymi wektora prędkości kątowej za pośrednictwem układu równań liniowych, w których występuje dziewięć wielkości zwanych składowymi tensora momentu bezwładności. W fizyce spotykamy oprócz wielkości skalarnych i wektorowych również wielkości tensorowe. Wielkości te obowiązują określone prawa przekształceń, przy przejściu z jednego układu współrzędnych do drugiego. Najprościej przy przekształcaniu układu współrzędnych zachowuje się skalar (tensor zerowego rzędu) - nie zmienia się w wyniku dokonanej transformacji. Wektor (tensor pierwszego rzędu) w przestrzeni trójwymiarowej ma trzy składowe. Po przekształceniu do nowego układu współrzędnych każda składowa będzie liniową funkcją trzech składowych z poprzedniego układu. Podobnie składowe tensora w nowym układzie są liniowymi i jednorodnymi funkcjami jego składowych w starym układzie. Tensor momentu bezwładności (tensor drugiego rzędu - zawiera dziewięć składowych)możemy zapisać w postaci macierzy kwadratowej, którą oznaczymy symbolicznie przez I :

I_xx I_xy I_xz

I = I_yx I_yy I_yz (11)

I_zx I_zy I_zz

Układ równań (8),(9) i (10) można teraz zapisać bardzo zwięźle:

L = Iω (12)

gdzie I reprezentuje tzw. tensor momentu bezwładności.

Aby informacje zawarte w równaniu (12) wraz z macierzą kwadratową (11) ująć w jeden związek, zapiszemy zgodnie z konwencją Einsteina :

L_μν = I_μν ω (13)

gdzie wskaźniki powtórzone w iloczynie dwa razy oznaczają sumowanie po x, y, z; pojedynczy wskaźnik oznacza albo x, albo y, albo z.

Ponieważ I_xy = I_yx, I_xz = I_zx, i I_yz = I_zy, a więc spośród dziewięciu wielkości tylko sześć jest niezależnych. Tensor momentu bezwładności I jest tensorem symetrycznym. Z własności macierzy symetrycznych wynika, że można tak dobrać kierunki osi x, y, i z, aby zniknęły wszystkie wyrazy zwane momentami dewiacyjnymi, a pozostały tylko wyrazy leżące na głównej przekątnej (wyrazy diagonalnej):

I_xx 0 0

I = 0 I_yy 0 (13)

0 0 I_zz

Dla tak wybranego układu współrzędnych moment pędu zapiszemy :

L = I_xxω_x e_x + I_yyω_y e_y + I_zzω_z e_z (14)

gdzie I_xx, I_yy, I_zz nazywa się głównymi momentami bezwładności, a odpowiadające im osie x, y, i z głównymi osami bezwładności.

Z równania (14) wynika, że w ogólnym przypadku kierunek wektora momentu pędu ciała sztywnego różni się od kierunku prędkości kątowej (z wyjątkiem takich ciał, jak np. kula lub sześcian). Wektor L będzie równoległy do wektora ω tylko wtedy, gdy ruch obrotowy ciała zachodzi wokół jednej z głównych osi bezwładności, np. wokół osi x:

L = I_xxω_x e_x (15)

ponieważ ω_y = 0 i ω_z = 0.

Tensor symetryczny można przedstawić za pomocą powierzchni drugiego stopnia. W naszym przypadku jest to powierzchnia elipsoidy obrotowej. Oznaczmy przez I_i moment bezwładności ciała względem dowolnej osi przechodzącej przez środek masy. Na osi tej odłóżmy po obu stronach środka masy odcinki o długości:

r_i = (16)

gdzie I_i jest momentem bezwładności ciała względem tej osi. Wzdłuż kierunków x, y, z odkładamy odcinki r_x, r_y, r_z o długościach odpowiednio równych:

r_x = r_y = r_z = (17)

Powierzchnię utworzoną przez końce odcinków odłożonych w ten sposób na wszystkich możliwych osiach przechodzących przez środek masy ciała nazywamy elipsoidą bezwładności. Pozostając przy wcześniej sformułowanym założeniu, że środek masy ciała pokrywa się z początkiem układu współrzędnych otrzymujemy równanie elipsoidy w postaci :

+ + =1 (18)

lub

m ( + + )=1 (19)

Znając główne momenty bezwładności ciała, można napisać równanie elipsoidy bezwładności (19). Aby obliczyć moment bezwładności ciała względem dowolnie wybranej osi obrotu i przechodzącej przez jego środek masy, wystarczy w tym celu określić współrzędne punktu (P) przebicia powierzchni elipsoidy przez wybraną oś. Jeśli punkt P posiada współrzędne P (x, y, z), to:

I_i = m (x_p² + y_p² + z_p²) (20)

Współrzędne punktu przebicia (x_p, y_p, z_p) wyznaczamy korzystając z równania elipsoidy bezwładności (19) oraz równania prostej określającej wybraną oś obrotu.