Politechnika Śląska w Katowicach

SPRAWOZDANIE

Temat: Wyznaczanie elipsoidy bezwładności ciała sztywnego.

Grupa IM-14

Sekcja 10:

Daniel Jędrusik

Tomasz Dembiński

Piotr Sławiński

WSTĘP TEORETYCZNY

Ciałem sztywnym nazywamy ciało, którego wszystkie pubkty mają stałe położenie względem siebie.

Elipsoida bezwładności jest to powierzchnia zawarta miedzy końcami odcinków r_x; r_y; r_z odłożonych na wszystkich możliwych osiach przechodzących przez środek masy ciała.

Odcinki odłożone na osiach x, y, z muszą być różnej długości i muszą odpowiadać równaniom:

;
;

gdzie: I_xx, I_yy, I_zz - momenty bezwładności względem osi x, y, z.

Moment bezwładności jest to suma iloczynów mas przez kwadraty odległości od osi obrotu przechodzącej przez środek masy.

PRZEBIEG ĆWICZENIA.

1. Mierzymy czas 10 wahnień wahadła skrętnego nieobciążonego

2. Pomiar powtarzamy gdy w ramce wahadła zamocujemy sześcian, a następnie prostopadłościan (dla prostopadłościanu mierzymy czas 10 wahnień dla trzech głównych osi bezwładności i dla jego przekątnej)

3. Pomiary powtarzamy trzykrotnie.

OPRACOWANIE WYNIKÓW.

Wymiary obciążników :

Tabela nr1

Prostopadłościan					Sześcian
Lp.	a [mm]	b [mm]	c=h [mm]		a [mm]
1	40,0	60,0	100		49,5
2	39,5	59,5	100,5		50,0
3	39,5	60,5	99,5		49,5
4	40.5	60,0	100		50,0
5	41,0	60,5	99,5		50,5
xśr	40,1	60,1	99,9		49,9
δ	0,085	0,035	0,035		0,035

m = 1884 [g] m = 980 [g]

Obliczam wartość średnią i odchylenie standartowe:

,

gdzie: n - ilość pomiarów;

Czasy 10 wahnięć wahadła skrętnego :

Tabela nr2

	t [s]
	(1)	(2)	(3)	xśr	δ
wahadło nieobciążone (Io)	7,140	7,140	7,140	7,140	0
Wahadło obciążone sześcianem (Is)	8,814	8,874	8,904	8,864	7⋅10^-3
Wahadło obciążone prostopadłościanem
I główna oś (II)	10,279	10,143	10,179	10,20033	1,655⋅10^-3
II główna oś (III)	13,475	13,474	13,474	13,47433	1,11⋅10^-7
III główna oś (IIII)	14,287	14,291	14,291	14,28967	1,77⋅10^-6
Wzdłuż głównej przekątnej (Ia)	11,735	11,733	11,734	11,734	3,33⋅10^-7

Wyznaczanie wartości głównych momentów bezwładności badanego obciążnika

ze wzoru

Okres wahania nieobciążonego wahadła

obciążonego sześcianem o m = 980 g

obciążonego prostopadłościanem względem

I głównej osi bezwładności

Moment bezwładności sześcianu obliczamy ze wzoru :

gdzie: a = 49,9 [mm] = 0.0499 [m] ; m = 980 [g] = 0.98 [kg]

[kg·m²]

[kg·m²]

Okres 1 drgania wahadła nieobciążonego

T_o = 0,714 [s]

Okres 1 drgania wahadła obciążonego sześcianem

T_s = 0,8864 [s]

Okres 1 drgania wahadła obciążonego prostopadłościanem względem I głównej osi bezwładności

T_I = 1.02 [s]

Okres 1 drgania wahadła obciążonego prostopadłościanem względem II głównej osi bezwładności

T_II = 1,3474 [s]

Okres 1 drgania wahadła obciążonego prostopadłościanem względem III głównej osi bezwładności

T_III = 1,4289 [s]

Okres 1 drgania wahadła obciążonego prostopadłościanem względem przekątnej

T_a = 1,1734 [s]

Obliczamy moment bezwładności nieobciążonej ramki i moment bezwładności prostopadłościanu względem jego głównych osi bezwładności :

Moment bezwładności ramki nieobciążonej (patrz. TABELA NR 2)

[kg·m²]

Stała kierunkowa (moment kierujący)

[kg·m² / s²]

Korzystając ze wzoru
wyznaczymy moment bezwładności względem I głównej osi bezwładności (patrz. TABELA NR 2)

[kg·m²]

Moment bezwładności względem II głównej osi bezwładności (patrz. TABELA NR 2)

[kg·m²]

Moment bezwładności względem III głównej osi bezwładności (patrz. TABELA NR 2)

[kg·m²]

Moment bezwładności względem przekątnej prostopadłościanu (patrz. TABELA NR 2)

[kg·m²]

Wyznaczamy równanie prostej zawierającej główną przekątną

Współrzędne wierzchołka prostopadłościanu :

W (x_w; y_w; z_w)

;
;

x_w = 20,05·10^-3 [m]

y_w = 30,05·10^-3 [m]

z_w = 49,95·10^-3 [m]

W (20,05·10^-3; 30,05·10^-3; 49,95·10^-3)

Równanie przekątnej na postać :

Wyznaczamy elipsoidę bezwładności prostopadłościanu o podstawie prostokąta :

lub równanie elipsoidy

wiemy że I_xx = I_I, I_yy = I_II oraz że I_zz =I_III

więc

Rozwiązujemy układ równań i wyznaczamy punkty przebicia prostej zawierającej przekątną główną z elipsoidą bezwładności :

⋅10^-3 [m]

10^-3 [m]

z_p = 0,04068510^-3 [m]

Równanie elipsoidy bezwładności ma postać :

Punkt przebicia prostej z elipsoidą bezwładności ma współrzędne :

P (1,2779358; 0,0024476; 0,040685)

Obliczamy moment bezwładności względem przekątnej głównej prostopadłościanu wynosi :

I_a = 7,6685⋅10^-3[kg·m²]

Ten sam moment można obliczyć ze wzoru :

I_ap = 7,608563·10^-3 [kg·m²]

I_a = I_ap

[kg·m²]

Przy porównaniu dwóch wyników momentu bezwładności względem głównej przekątnej wystąpiła różnica rzędu 0,000059937 [kg·m²] wynikającą z niedokładności pomiarów i podawania przybliżonych wartości poszczególnych obliczeń.

Schematyczne obliczenie pochodnej momentu I_x względem T_x, T_o, T_s

I_s = 2,4402·10^-3 [kg·m²] T_s = 0,8864[s]

I_I = 4,6927·10^-3 [kg·m²] T_I = 1,02003 [s]

I_II = 11,5477·10^-3 [kg·m²] T_II = 1,3474 [s]

I_III = 13,5489·10^-3 T_III =1,428967[s]

I_a = 7,6685·10^-3 [kg·m²] T_a = 1,1734 [s]

T_o = 0,714 [s]

[s]

Niepewności jakimi obarczone są wyznaczone wartości momentów bezwładności ciała :

Zestawienie wyników :

- pomiary obciążników i czasy wahnięć podane w tabelach na str.1 i 2

- moment bezwładności względem I głównej osi bezwładności

I_I = (4,60±0.065)·10^-3 [kg·m²]

- moment bezwładności względem II głównej osi bezwładności

I_II = (11,55±0,15)·10^-3 [kg·m²]

- moment bezwładności względem III głównej osi bezwładności

I_III = (13,55±0,13)·10^-3 [kg·m²]

- moment bezwładności względem głównej przekątnej

I_a = (7,67±0,089)·10^-3 [kg·m²]

- moment bezwładności sześcianu

I_s = (2,440±0,035)·10^-3 [kg·m²]

- równanie elipsoidy

WNIOSKI:

Celem ćwiczenia było wyznaczyć główne momenty bezwładności sześcianu i prostopadłościanu o podstawie prostokąta co zrobiliśmy. Wyniki uzyskane w czasie pomiarów, a także przy obliczeniach są obciążone błędem obserwatora i zaokrąglania liczb.

2

---