ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIA

‘

ANALITYCZNA

‘

EGZAMIN 14.02.2012

czas: 90 min.

Imie

‘

i nazwisko:

Zad 1

Zad 2

Zad 3

Zad 4

Zad 5

Suma

Zad.1 (5 pt.) Wyznacz cze

‘

´s´c rzeczywista

‘

i cze

‘

´s´c urojona

‘

liczby z =

1−3i

2−i

. Przedstaw te

‘

liczbe

‘

w postaci trygonometrycznej. Oblicz liczbe

‘

z

6

.

Zad.2 (3 pt.) Sprawd˙z, czy wektory





1
2

−1



 ,





3
2

−2



 ,





−3

2
1





tworza

‘

baze

‘

przestrzeni R

3

.

Zad.3 (6 pt.) PrzeksztaÃlcenie liniowe F : R

3

→ R

3

zadane jest w bazie standardowej macierza

‘





3

−1 0

−1

2

1

4

0

1



 . Uzasadnij, ˙ze F jest izomorfizmem i wyznacz macierz przeksztaÃlcenia odwrot-

nego F

−1

. Wyznacz wektor v speÃlniaja

‘

cy r´ownanie F (v) =





2

−1

1



 . Ile jest rozwia

‘

za´

n tego

r´ownania?

Zad. 4 (7 pt.) Oblicz obje

‘

to´s´c graniastosÃlupa w R

3

, kt´orego podstawa

‘

jest tr´ojka

‘

t ABC,

a krawe

‘

dziami bocznymi odcinki AA

0

, BB

0

, CC

0

, gdzie: A = (1, 2, −1), B = (−1, 2, 0), C =

(1, 2, −2), A

0

= (2, 1, −2), B

0

= (0, 1, −1), C

0

= (2, 1, −3).

Zad. 5 (8 pt.) SformuÃluj warunek konieczny i wystarczaja

‘

cy istnienia rozwia

‘

zania ukÃladu

r´owna´

n liniowych. Zbadaj dla jakich warto´sci parametru p ukÃlad r´owna´

n

x + 2y − z = 1; −2x + 5y + 3z = 2; −4x + y + 5z = p

ma: (a) dokÃladnie jedno rozwia

‘

zanie; (b) nie ma rozwia

‘

za´

n; (c) ma niesko´

nczenie wiele rozwia

‘

za´

n.

Wyznacz rozwia

‘

zania ukÃladu r´owna´

n

x + 2y − z = 1; −2x + 5y + 3z = 2; −4x + y + 5z = 0.

1