1

1.

Podatność elektryczna i przenikalność elektryczna

Napełniając dielektrykiem kondensator o pojemności w próżni równej

0

C , zwiększamy jego

pojemność do wartości C.
Stosunek przyrostu pojemności kondensatora

0

C

C

C

−

=

Δ

do jego pojemności zerowej

0

C

0

0

'

C

C

C

−

=

χ

(1)

nazywamy podatnością elektryczną dielektryka.

Często, zamiast podatnością, posługujemy się przenikalnością elektryczną

'

ε

dielektryka. Określamy

ją jako stosunek pojemności C kondensatora wypełnionego dielektrykiem do pojemności

0

C tegoż

kondensatora w próżni:

0

'

C

C

=

ε

(2)

Ze wzorów (1) i (1) wynika, że związek między podatnością elektryczną i przenikalnością
elektryczną dielektryka jest następujący:

1

'

'

−

=

ε

χ

(3)

W ten sposób zdefiniowane podatność elektryczna i przenikalność elektryczna są wielkościami
niemianowanymi i rzeczywistymi.

Poza prądem ładowania

0

I kondensatora, który wyprzedza w fazie przyłożone napięcie U o

2

π

(rys.

1a), przez kondensator może płynąć prąd zgodny w fazie z przyłożonym napięciem.

(Rys 1)

Prąd ten świadczy o istnieniu strat lub przewodzenia w substancji wypełniającej kondensator.
Aby to uwzględnić, wygodniej jest wyrażać podatność elektryczną i przenikalność elektryczną za
pomocą liczb zespolonych.

Rozważmy kondensator znajdujący się w obwodzie prądu zmiennego. Jeżeli do kondensatora o
pojemności zerowej

0

C

znajdującego się pod napięciem U, wprowadzimy dielektryk, pojemność jego

wzrośnie o wartość

C

Δ

. Pociągnie to za sobą wzrost ładunku na okładkach kondensatora o

q

Δ .

Wzrost pojemności

C

Δ

,

przyrost ładunku

q

Δ oraz przyłożone do kondensatora napięcie U związane

2

są zależnością:

U

q

C

Δ

=

Δ

(4)

Załóżmy, że przyłączamy kondensator do źródła prądu przemiennego o częstości kołowej

ϖ i o

napięciu

t

j

e

U

U

⋅

=

ϖ

0

(5)

Wtedy zmiana natężenia prądu elektrycznego

i

Δ

, płynącego w obwodzie kondensatora, na skutek

wprowadzenia doń dielektryka będzie równa

( )

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⋅

Δ

=

Δ

=

Δ

=

Δ

=

Δ

2

exp

0

π

ϖ

ϖ

t

j

i

CU

j

dt

dU

C

dt

q

d

i

(6)

gdzie

0

0

CU

i

Δ

=

Δ

ϖ

Z równania tego wynika, że prąd elektryczny w obwodzie kondensatora wyprzedza w fazie

napięcie o

2

π

. Dzieje się tak jedynie wtedy, kiedy kondensator nie wykazuje strat (rys. 1b).

W kondensatorze wypełnionym dielektrykiem wykazującym straty, jak już wspomnieliśmy, poza
prądem ładowania płynie prąd

R

U

i

s

=

(7)

zgodny w fazie z przyłożonym napięciem, pochodzący od strat w dielektryku (rys.2a). Wypadkowa
zatem zmiana natężenia

0

I

I

I

−

=

Δ

spowodowana wprowadzeniem dielektryka do kondensatora, w

ogólnym wypadku będzie wynosiła

U

R

C

j

i

i

I

s

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

Δ

=

Δ

+

Δ

=

Δ

1

ϖ

(8)

a różnica faz

φ

(Rys 2c) między przyłożonym napięciem i zmianą natężenia I

Δ będzie mniejsza od

2

π

. Opór R, uwidoczniony w zastępczym obwodzie na (Rys.2b), przedstawia straty dielektryka. Kąt

ψ

, dopełniający do kąta

φ

, nazywamy kątem stratności dielektryka. Zgodnie z wzorami (8) i (9)

C

R

i

i

tg

s

Δ

=

Δ

=

ϖ

ψ

1

(9)

Tangens kąta stratności jest często używaną miarą strat dielektryka.

3

(Rys 2)

Dielektryk wykazujący straty, czyli taki, w którym

0

≠

s

i

, wygodniej jest opisać wprowadzając

pojęcie

zespolonej podatności elektrycznej

χ

w postaci

''

'

χ

χ

χ

j

−

=

(10)

We wzorze tym

'

χ

nazywamy składową rzeczywistą podatności elektrycznej, a

''

χ

składową

urojoną podatności elektrycznej lub współczynnikiem strat.
Zmianę natężenia prądu I

Δ , płynącego w obwodzie kondensatora, a wywołaną wprowadzeniem do

kondensatora dielektryka, możemy zapisać w postaci:

(

)

U

C

j

U

C

j

I

0

''

'

0

ϖ

χ

χ

ϖχ

+

=

=

Δ

(11)

Tangens kąta stratności, zgodnie z równaniami (8), (9) i (11), będzie wynosił
(Rys2)

'

''

χ

χ

ψ

=

tg

(12)

Iloczyn częstości

ϖ oraz

''

χ

''

ϖχ

σ

=

(13)

nazywamy

przewodnością elektryczną dielektryka.

Przyjmując że przenikalność elektryczna również jest wielkością zespoloną

''

'

ε

ε

ε

j

−

=

(14)

Natężenie prądu

s

i

i

I

I

Δ

+

Δ

+

=

0

(15)

płynącego w obwodzie kondensatora wypełnionego dielektrykiem (Rys.2), możemy w analogii do
wzoru (11) wyrazić równaniem

(

)

U

C

j

U

C

j

I

0

''

'

0

ϖ

ε

ε

ϖε

+

=

=

(16)

Tangens kąta strat

δ (Rys.2c) definiujemy jako stosunek natężenia prądu

s

i

związanego ze

stratami w dielektryku do całkowitego natężenia

i

I

Δ

+

0

prądu płynącego w obwodzie

4

kondensatora (Rys 2b). Zgodnie z wzorami (1.15) i (1.16)

'

''

0

1

ε

ε

ϖ

δ

=

=

Δ

+

=

RC

i

I

i

tg

s

(17)

wyrażenie to jest analogiczne do wyrażenia (12).

2.

Polaryzacja dielektryczna

Dielektryk wprowadzony do pola elektrycznego polaryzuje się. Zjawisko to, zwane

polaryzacją

dielektryczną, polega na pojawieniu się ładunków elektrycznych na powierzchni dielektryka. Ładunki
te, zwane

ładunkami indukowanymi, nie są swobodne i wytwarzają w dielektryku pole o kierunku

przeciwnym do kierunku pola wywołującego polaryzację, zwane

polem depolaryzacji.

Aby zjawisko polaryzacji rozpatrzyć pod względem ilościowym, rozważmy płaski kondensator,
podłączony do źródła Z o napięciu

U (Rys. 2.1).

(Rys 2.1)

Załóżmy, że na okładkach kondensatora nie wypełnionego dielektrykiem znajduje się ładunek

q

0

.

Wprowadzenie dielektryka do kondensatora powoduje wzrost ładunku na okładkach kondensatora
do wartości

q. Przyrost ten,

0

q

q

q

−

=

Δ

(Rys. 2.1), jest proporcjonalny do

q

0

i możemy go zgodnie z

wzorami (1) i (4) oraz pamiętając, że

0

0

q

U

C

=

wyrazić

0

'

q

q

χ

=

Δ

(2.1)

Ładunek

0

'

q

χ

jest związany z ładunkiem indukowanym, powstałym na powierzchni

spolaryzowanego dielektryka. Ma on taką samą wartość, ale znak przeciwny. Nie zmienia więc
pola elektrycznego panującego miedzy okładkami kondensatora.
Całkowity ładunek

q, znajdujący się na okładkach kondensatora, możemy przedstawić jako sumę

ładunku

q

0

, nie związanego z dielektrykiem, oraz ładunku

q

Δ , związanego z ładunkami

spolaryzowanego dielektryka, czyli

0

'

0

q

q

q

χ

+

=

(2.2)

Rozważmy element

ds

powierzchni płytki kondensatora (Rys. 2.2).

5

(Rys 2.2)

Znajduje się na nim ładunek

dq , z którego część dq

0

związana jest z ładunkiem o przeciwnym

znaku na drugiej płytce kondensatora. Zgodnie z wzorem (2.2)

o

dq

dq

dq

'

0

χ

+

=

(2.3)

Oznaczając odpowiednio, przez

σ

i

0

σ

, gęstości ładunków

dq i dq

0

na elemencie powierzchni

ds

, z

równania (2.3) dostajemy

0

'

0

σ

χ

σ

σ

+

=

(2.4)

σ

jest więc gęstością ładunku całkowitego, znajdującego się na okładkach kondensatora,

0

'

σ

χ

gęstością ładunku indukowanego na powierzchni dielektryka, jak i gęstością ładunku związanego
z nim na okładkach kondensatora, a

0

σ

gęstością ładunku znajdującego się na okładkach

kondensatora i odpowiedzialnego za panujące w kondensatorze pole elektryczne.
Tym trzem gęstościom przypisujemy odpowiednio trzy wektory, o kierunkach zaznaczonych na
(Rys. 2.3), charakteryzujące pole elektryczne w dielektryku, a mianowicie:

(Rys 2.3)

Gęstości całkowitej

(

)

0

'

1

σ

χ

σ

+

=

przyporządkowujemy wektor przesunięcia dielektrycznego

Dr

(lub wektor gęstości strumienia elektrycznego), tak by jego składowa normalna była równa

gęstości powierzchniowej całkowitego ładunku, czyli

(

)

n

Dr

r

=

+

=

1

'

0

χ

σ

σ

(2.5)

wyrażamy go w C/m

2

, przy czym nr jest wektorem jednostkowym, prostopadłym do powierzchni

kondensatora i skierowanym w kierunku dielektryka (rys. 2.2).
Gęstości ładunku

0

σ

,

będącej źródłem pola elektrycznego

Er

, przyporządkowujemy wektor

natężenia pola elektrycznego:

n

Er

r

0

0

ε

σ

=

(2.6)

6

Współczynnik

0

ε

zależy od wyboru jednostek dla

Er

.

I wreszcie gęstości ładunku

0

'

σ

χ

powierzchni spolaryzowanego dielektryka przyporządkowujemy

wektor polaryzacji dielektrycznej

Pr

:

n

Pr

r

=

0

'

σ

χ

(2.7)

o wymiarze C/m

2

.

Na podstawie wzorów (2.4)-(2.7) związek między wyżej zdefiniowanymi wektorami jest
następujący:

P

E

D

r

r

r

+

=

0

ε

(2.8)

Z

równań (2.6) i (2.7) wynika, że

E

P

r

r

0

'

ε

χ

=

(2.9)

i stąd

(

)

E

E

D

r

r

r

0

'

0

'

1

ε

ε

ε

χ

=

+

=

(2.10)

W ogólnym wypadku dielektryka rzeczywistego wykazującego straty podatność

'

χ

i przenikalność

elektryczna

'

ε

są liczbami zespolonymi. Powyższe wzory możemy wtedy napisać w ogólniejszej

postaci, zastępując w nich odpowiednio wielkości

'

χ

i

'

ε

wielkościami

χ

i

ε

. Zgodnie z wzorami

(2.8), (2.9) i (2.10) wektor polaryzacji wyraża należność

(

)

E

E

E

D

P

r

r

r

r

r

0

0

0

1

χε

ε

ε

ε

=

−

=

−

=

(2.11)

3. Moment dipolowy układu ładunków i nowe określenie wektora polaryzacji

Moment elektryczny

i

mr , ładunku

i

q znajdującego się w odległości

i

rr , względem danego punktu

O, określamy jako iloczyn

i

i

i

r

q

m

r

r =

. Dla zbioru składającego się z

n

ładunków będziemy

mieli (Rys 3.1):

(Rys 3.1)

∑

∑

=

=

=

i

i

i

n

i

i

r

q

m

m

r

r

r

1

(3.1)

Obierając inny punkt odniesienia

'

O , na wypadkowy moment elektryczny mr rozważanego układu

otrzymamy inną wartość, równą

∑

=

i

i

i

r

q

m

r

r

'

(3.2)

7

Różnica

(

)

∑

−

=

−

=

Δ

i

i

i

i

i

r

q

r

q

m

m

m

'

'

r

r

r

r

r

(3.3)

Ale

0

'

r

r

r

i

i

r

r

r

=

−

a stąd na

mr

Δ

dostajemy

∑

=

Δ

i

i

q

r

m

0

r

r

(3.4)

Gdy bezwzględne wartości wypadkowych ładunków dodatnich i ujemnych będą jednakowe, wtedy
wypadkowy ładunek układu będzie równy zeru, czyli

∑

=

i

i

q

0 (3.5)

Tym samym zgodnie z równaniem (3.4)

0

=

Δmr

, czyli w tym wypadku wybór punktu odniesienia O'

będzie dowolny, a

∑

=

i

i

i

r

q

mr

będzie wektorem swobodnym. Nazywamy go momentem dipolowym

układu ładunków.

(Rys 3.2)

Na moment dipolowy

μ

r dwóch jednakowych ładunków, o przeciwnych znakach

q

q

q

=

=

−

+

dostajemy więc wyrażenie (rys. 3.2)

Układ taki nazywamy dipolem elektrycznym. Dipol elektryczny jest więc układem dwóch
jednakowych co do wartości ładunków q o przeciwnych znakach, znajdujących się w odległości

d

r

(rys. 3.2).

Moment dipolowy jest wektorem skierowanym od ładunku ujemnego do dodatniego (Rys. 3.3),
podobnie jak wektor polaryzacji dielektrycznej

Pr

określony wzorem (2.7)

Wektor polaryzacji

Pr

, zgodnie z definicją wprowadzoną w poprzednim paragrafie, jest miarą

gęstości powierzchniowej ładunku indukowanego na powierzchni dielektryka. Możemy go jednak
zdefiniować w inny sposób. Weźmy pod uwagę płaski kondensator (Rys. 3.3) o powierzchni płyt

S

,

odległych od siebie o

l

.

(Rys3.3)

8

Zakładając jednakowy rozkład gęstości ładunku, możemy całkowity moment

Mr

dipoli

elektrycznych dielektryka, wypełniającego przestrzeń między płytkami, wyrazić równaniem

Sl

P

M

r

r =

(3.6)

Ale

Sl

l

jest objętością

V

dielektryka (kondensatora), stąd

V

M

P

r

r =

(3.7)

Wektor polaryzacji

możemy więc zdefiniować jako moment dipoli elektrycznych, przypadających na

jednostkę objętości dielektryka.

4. Związek wektora polaryzacji z wielkościami molekularnymi

Załóżmy, że w jednostce objętości dielektryka znajduje się N elementarnych dipoli o momentach

μ

r

t

.

Wektor polaryzacji możemy wówczas przedstawić jako wartość średnią sumy wektorowej

ich momentów:

∑

=

>

=<

N

i

i

P

1

μ

r

r

(4.1)

Gdy dielektryk jest izotropowy i gdy brak jest zewnętrznego pola elektrycznego, prawa strona
równania (4.1) jest zerem, ponieważ dipole w ośrodku izotropowym rozłożone są bezładnie i
żaden kierunek nie jest uprzywilejowany. W polu elektrycznym

Fr

na dipol działa moment sił

F

T

r

r

r

×

=

μ

(4.2)

kierujący go zgodnie z polem (rys. 4.1). Kierunek pola jest więc wyróżniony. Wypadkowy moment
dipolowy dielektryka nie jest już równy zeru i skierowany jest zgodnie z kierunkiem przyłożonego
pola. Pole elektryczne indukuje w drobinie dodatkowy moment

ind

i

mr

, który należy dodać do

momentu trwałego, tak że w polu możemy drobinie przypisać moment wypadkowy,

ind

i

i

i

m

m

r

r

r

+

=

μ

.

(Rys 4.1)

Załóżmy, że dielektryk składa się z jednakowych drobin o momencie wypadkowym mr . Wektor
polaryzacji możemy w tym wypadku przedstawić równaniem

∑

∑

>

<

=

>

<

=

>

=<

e

m

N

e

e

m

e

e

m

P

E

i

i

r

r

r

r

r

r

r

r

(4.3)

gdzie

E

m

>

<

oznacza wartość średnią rzutu wypadkowego momentu

mr na kierunek pola

zewnętrznego, er wektor jednostkowy w kierunku pola

Er

, a N jest liczbą dipoli znajdujących się w

jednostce objętości. Wartość

E

m

>

<

w pierwszym przybliżeniu jest proporcjonalna do natężenia

aktualnie działającego na drobinę pola elektrycznego

Fr

, zwanego polem lokalnym. Możemy więc

napisać

F

e

m

E

r

r

α

=

>

<

(4.4)

9

Współczynnik proporcjonalności

α nazywamy polaryzowalnością.

Łącząc równania (2.9) oraz (4.3) i (4.4) dostajemy

F

N

E

P

r

r

r

α

ε

χ

=

=

0

'

(4.5)

5

. Polaryzowalność

Dielektryk składa się z drobin, które możemy w tym wypadku traktować jako układy elektryczne,
złożone z dodatnio naładowanych jąder i otaczających je ujemnych chmur elektronowych.
Zewnętrzne pole elektryczne działa na te ładunki siłą

E

q

K

r

r =

,

przesuwając je względem siebie. W

drobinach zbudowanych symetrycznie środki ciężkości ładunków dodatnich i ujemnych przypadają
w tym samym miejscu i na zewnątrz drobina taka nie wytwarza pola elektrycznego. Dopiero
umieszczone drobiny w zewnętrznym polu elektrycznym powoduje przesunięcie chmury
elektronowej względem jąder. W ten sposób powstają indukowane momenty dipolowe, dające tak
zwaną polaryzację elektronową dielektryka.
W drobinach składających się z różnych atomów powłoki elektronowe są zdeformowane i
skierowane w stronę silniej wiążących atomów, czyli atomów o większej elektroujemności; na
przykład w drobinie HC1 środek ciężkości ładunków ujemnych przesunięty jest w stronę atomu
chloru i drobina ma moment dipolowy równoległy do osi wiązania, skierowany w stronę
atomu wodoru (rys. 5.1).

(Rys 5.1)

W drobinach atomy mają ładunki o różnych znakach. Zewnętrzne pole elektryczne działa na nie i
powoduje zmianę ich położenia równowagi. Pojawia się innego typu polaryzacja indukowana,
zwana polaryzacją atomową

Może się zdarzyć, że środki ciężkości ładunków dodatnich i ujemnych w drobinie składającej się z
różnych atomów nie będą się pokrywać. Wtedy drobina będzie miała trwały moment dipolowy

μ

r ,

niezależnie od istnienia zewnętrznego pola elektrycznego. Momenty te w izotropowych układach
drobin, statystycznie rzecz biorąc, będą się znosiły i na zewnątrz dielektryka nie będzie pola
elektrycznego. Przyłożenie zewnętrznego pola elektrycznego spowoduje porządkowanie się drobin
dipolowych. Pole zewnętrzne E powoduje bowiem pojawienie się momentu sił

E

T

r

r

r

×

=

μ

(5.1)

kierującego dipole zgodnie z kierunkiem pola (rys. 4.1). Prowadzi to do pojawienia się polaryzacji,
zwanej polaryzacją orientacyjną lub dipolową.

W dielektryku istnieją nieraz ładunki związane z atomami lub drobinami dielektryka albo nośniki
ładunków, mogące się przemieszczać wewnątrz dielektryka, które jednak nie mogą zostać
zobojętnione. Taki przestrzenny ładunek, przemieszczając się w polu elektrycznym, powoduje
wzrost pojemności kondensatora. W ten sposób powstałą polaryzację określamy mianem polaryzacji
ładunku przestrzennego

lub powierzchniowego.

Przedstawione cztery mechanizmy polaryzacji charakteryzujemy odpowiednimi
polaryzowalnościami, kolejno: polaryzowalnością elektronową

e

α

t

, polaryzowalnością atomową

a

α

,

polaryzowalnością orientacyjną

lub dipolową

d

α

oraz polaryzowalnością ładunku przestrzennego lub

powierzchniowego

p

α

. Wypadkowa polaryzowalność dielektryka

α jest sumą wymienionych

rodzajów polaryzowalności:

p

d

a

e

α

α

α

α

α

+

+

+

=

(5.2)

10

Polaryzowalność indukowana i orientacyjna

Polaryzację, podobnie jak i polaryzowalność, ogólnie możemy podzielić na indukowaną i

orientacyjną. Do polaryzacji indukowanej zaliczamy polaryzację elektronową i atomową, czyli
polaryzację wywołaną deformacją rozkładu ładunku na skutek działania pola elektrycznego. Do
polaryzacji orientacyjnej zaliczamy polaryzację dipolową, będącą wynikiem kierunkowego
działania pola elektrycznego na trwałe momenty dipolowe drobin. Stąd ten drugi rodzaj
polaryzacji będzie występował tylko w ośrodkach, których drobiny mają już w nieobecności pola
elektrycznego trwałe momenty dipolowe. Polaryzację ładunku powierzchniowego lub
przestrzennego w dalszych rozważaniach pominiemy.

Polaryzowalność indukowana

Polaryzacja indukowana jest skutkiem deformacji rozkładu ładunku w wyniku działania pola

elektrycznego. Jeżeli rozważanie ograniczymy do słabych pól elektrycznych (w praktyce stosowane
pola, nawet znaczne, możemy jeszcze uważać za słabe), to możemy przyjąć liniową zależność
przesunięcia ładunku (odkształcenia) od natężenia przyłożonego pola elektrycznego. Możemy więc
przyjąć, że pole o natężeniu F będzie działało na ładunek q

i

siłą

(7.1)

gdzie k

i

jest współczynnikiem proporcjonalności, a r

i

- przesunięciem ładunku.

Moment elektryczny m

i

powstały w ten sposób, zgodnie z definicją będzie wynosił:

(7.2)

stąd na podstawie wzoru (7.1)

(7.3)

Możemy uważać, że drobina składa się z określonej liczby ładunków, dlatego przy założeniu, że
w przestrzeni zajmowanej przez drobinę pole jest jednorodne, całkowity moment drobiny m

będzie równy (7.4):

Polaryzowalność indukowana a, drobiny jest zdefiniowana jako stosunek jej momentu
indukowanego m do natężenia lokalnego pola elektrycznego F, działającego na drobinę, stąd
(7.5):

gdzie k

i

jest stałą, charakterystyczną dla wiązania ładunku q

i

. Z równania tego wynika, że im

słabsze będzie wiązanie (mniejsze k

i

), tym większy będzie jego udział w polaryzowalności.

W drobinach niedipolowych, w statycznych polach elektrycznych lub w polach o niskiej

częstości, nie jesteśmy w stanie oddzielić polaryzowalności elektronowej α

e

od atomowej α

a

.

Polaryzację czysto elektronową możemy wyznaczyć jedynie w drobinach jednoatomowych, w
których polaryzacja atomowa nie występuje. Polaryzacja atomowa występuje zawsze wspólnie z

11

elektronową, stąd pomiar jej jest możliwy tylko drogą pośrednią, przeważnie przez wykorzystanie
zjawiska dyspersji.

Polaryzowalność orientacyjna

Polaryzacja dipolowa orientacyjna jest - jak już zaznaczono - wynikiem porządkującego,

kierunkowego działania pola na trwałe momenty dipolowe n drobin. Pojęcie momentu dipolowego
drobiny zostało po raz pierwszy wprowadzone przez Debye'a, w celu wyjaśnienia termicznej
zależności przenikalności elektrycznej. Debye oparł się na wcześniejszej teorii orientacji trwałych
momentów magnetycznych, podanej przez Langevina.

Na razie ograniczymy się do drobin gazu, a więc drobin w pierwszym przybliżeniu nie

oddziałujących ze sobą. Założymy przeto, że mamy do czynienia z drobinami dipolowymi
swobodnymi, na które działa jedynie zewnętrzne pole elektryczne. Ponadto założymy, że pole
elektryczne nie zmienia wartości trwałych momentów dipolowych. Nie uwzględnimy więc
polaryzowalności indukowanej, to znaczy założymy, że drobina jest sztywna. Założymy, że również
temperatura nie zmienia wartości momentu dipolowego drobiny.

Drobina o momencie dipolowym u, w polu o natężeniu F, ma energię

(7.6)

Jeżeli moment dipolowy drobiny tworzy z polem kąt θ, energia tej drobiny w polu będzie miała
wartość

(7.7)

Liczba drobin dN, o momentach dipolowych ustawionych do kierunku pola elektrycznego F pod
kątem

θ, leżących wewnątrz kąta bryłowego d

Ω

(rys. 7.1), zgodnie ze statystyką klasyczną

Boltzmanna, jest dana wzorem (7.8):

gdzie k jest stałą Boltzmanna (k = 1,38-10

-23

J/K), a T- temperaturą w skali

bezwzględnej, natomiast A jest stałą normowania. Kąt bryłowy (7.9):

Rys.

7.1. Rysunek pomocniczy do obliczenia wartości średniej rzutu momentu dipolowego

.

12

Całkowitą liczbę drobin N o momentach dipolowych skierowanych pod wszystkimi kątami
otrzymamy przez scałkowanie wyrażenia (7.8) po wszystkich kierunkach, a całkowity moment w
kierunku pola przez obliczenie całki po wszystkich kierunkach z funkcji (7.8) pomnożonej przez
μcosθ . Stąd wartość średnia rzutu momentu <μ>

E

drobiny w kierunku zewnętrznego pola

będzie równa

Podstawiając dostajemy (7.11):

oraz

ξ=cosθ

(7.12)

możemy wzór (7.10) przepisać w postaci (7.13) :

Po scałkowaniu otrzymamy (7.14):

Ale, ponieważ (7.15):




To dostajemy(7.16):

Rys. 7.2. Wykres funkcji Langevina

Funkcję L(y) przedstawia rys. 7.2. Funkcję tę wprowadził Langevin w teorii paramagnetyzmu,
dlatego nazywamy ją funkcją Langevina. Podaje ona zależność średniej wartości rzutu momentu na
kierunek zewnętrznego pola elektrycznego od energii dipola w polu elektrycznym o natężeniu F,
wyrażonej w jednostkach kT. Dla małych wartości y funkcja L(y) ma przebieg prawie liniowy, a

13

dla dużych wartości y zbliża się asymptotycznie do jedności. Zwykle dla pól stosowanych w
pomiarach oraz dla wartości momentów, które obserwujemy w drobinach, y << 1.
Dla przykładu rozważmy drobinę o momencie dipolowym równym 10

-30

C*m. W temperaturze

pokojowej, w polu o natężeniu lO

6

V/m (7.17):

Tak więc warunek, by y<< l, jest spełniony, w wypadku temperatury pokojowej, nawet w stosunkowo
silnych polach.
Liniowa zależność funkcji Langevina od y dla małych wartości y świadczy o tym. że w słabych polach
elektrycznych wartość średnia rzutu momentu na kierunek pola jest proporcjonalna, w pierwszym
przybliżeniu, do natężenia działającego pola F. Dla dużych natomiast pól możemy obserwować już
nasycenie. Stosując bardzo silne pola doprowadzilibyśmy do całkowitego uporządkowania (gdy y -> ∞,
L(y) —

<μ>

E

/μ ->1 ). Przykładanie pól, w których by to wystąpiło, jest jednak niemożliwe, gdyż zwykły

dielektryk już w znacznie słabszych polach zostanie przebity.
Fukcję Langevina możemy przedstawić za pomocą szeregu (7.18):

Gdy y <<1, możemy się ograniczyć do pierwszego wyrazu (7.19):

a stąd na wartość średnią rzutu momentu na kierunek pola otrzymujemy wyrażenie (7.20)

zatem polaryzowalność dipolowa α

d

będzie wynosiła (7.21) :

α

d

=μ

2

/3kT

Pole elektryczne równocześnie indukuje moment m =α

1

F [wzory (7.3) i (7.5)], który

w naszych rozważaniach opuściliśmy, a który możemy po prostu dodać do wyżej otrzymanego

udziału trwałego momentu w polaryzowalności. Stąd :
<m>

E

= (α

e

+

α

d

+ (μ

2

/3kT) ) F

(7.22)

gdzie:

(α

=

α

e

+

α

d

+(μ

2

/3kT)

(7.23)

jest polaryzacją całkowitą.

14

Polaryzacja dielektryczna w polu elektrycznym przemiennym

Jeśli umieścimy dielektryk w polu elektrycznym, wektor polaryzacji nie osiąga natychmiast

wartości maksymalnej, ale jego wzrost opóźniony jest w czasie. Opóźnienie to jest wynikiem
przede wszystkim lepkości ośrodka, a następnie bezwładności ładunków elektrycznych
zmieniających swe położenie pod wpływem pola elektrycznego . Podobnie amplituda wektora
polaryzacji dielektrycznej P dielektryka umieszczonego w przemiennym polu elektrycznym
(18.1)

może nie podążać za zmianą pola elektrycznego i może być względem niego przesunięta w fazie.
Oznaczmy kąt przesunięcia przez ψ; wtedy zmianę wektora polaryzacji w czasie możemy opisać
następującym równaniem (18.2):

Związek między wektorem polaryzacji P i wektorem natężenia pola elektrycznego E, wyrażony
równaniem (18.3):

będzie nadal spełniony, z tym że podatność elektryczna będzie teraz liczbą zespoloną (18.4):

określoną równaniem (1.11). w

:

którym χ` oznacza jej część rzeczywista, a χ`` — urojoną.

Tangens kata stratności ψ (rys. 1.2c). zgodnie z wzorami (18.1) (18.4), będzie — podobnie jak we
wzorze (1.13) — wynosił (18.5):

Wektor przesunięcia elektrycznego D będzie przesunięty w fazie względem wektora

natężenia pola elektrycznego E o kąt

δ

,

czyli

D

=D

0

e

j(

ω

t+δ)

(18.6)

I równanie (2.10) możemy teraz zapisać w postaci (18.7) :

gdzie :

ε=ε`-jε`` (18.8)

oznacza zespolona przenikalność elektryczną dielektryka zdefiniowaną równaniem (1.15).
Tangens kąta przesunięcia fazowego (rys. 1.2c) wektora przesunięcia elektrycznego D względem
wektora natężenia pola elektrycznego E zgodnie z wzorami (18.1), (18.6), (18.7) będzie miał postać
(18.9) :

podobnie jak w równaniu

(1.18).

Zgodnie z równaniem (2.8), które jest słuszne zarówno w wypadku statycznym, jak i

dynamicznym, oraz zależnościami (18.3) i (18.7) możemy napisać związek między podatnością
elektryczną a przenikalnością elektryczną dielektryka w postaci

χ=ε-1 (18.10)

Po uwzględnieniu zależności (18.4) i (18.8) otrzymujemy (18.11) :

15

oraz

(18.12).

Wynika stad. że podatność elektryczna i przenikalność elektryczna różnią się jedynie w części
rzeczywistej i to o jedność. W wypadku zespolonej wartości przenikalności elektrycznej równanie
Clausiusa-Mossottiego (6.11) możemy napisać w postaci

(18.13)

Oczywiście, polaryzowalność a jest w tym wypadku również wielkością zespoloną.

Zespolona podatność elektryczna χ (lub przenikalność elektryczna ε) określa makroskopowe

własności dielektryka w polach elektrycznych o różnych częstościach. Zarówno jej część
rzeczywista, jak i urojona zależą od częstości kołowej ta przyłożonego pola elektrycznego. Nie są
one wielkościami niezależnymi od siebie, możemy je bowiem wyrazić za pomocą tej samej funkcji
czasu.

Teoria dielektryków w polach przemiennych nastręcza znacznie większe trudności niż w

wypadku pól statycznych. Dlatego zadowalające ilościowe wyniki uzyskujemy jedynie dla gazów
lub roztworów rozcieńczonych. Trudności są głównie związane z tym. że w procesie dynamicznym
konieczna jest znajomość kinetycznych własności drobin, co nie było konieczne w wypadku
statycznym.

Drobiny możemy sobie wyobrazić jako układ oscylatorów elektrycznych, mogących zmieniać w

sposób elastyczny swoje wzajemne położenie w polu elektrycznym, lub jako układ obdarzony
trwałym momentem dipolowym, zmieniającym swą orientację w polu elektrycznym.

Obecnie przeprowadzimy analizę zależności zespolonej podatności elektrycznej od częstości

działającego na dielektryk pola elektrycznego, a więc omówimy zjawiska dyspersji i absorpcji
w dielektrykach.

6.

Równanie Clausiusa—Mossottiego. Pole lokalne Lorentza

(Dodatek- nie wiem czy to tez łapie się w temacie ale wole opracować-na
wykładzie było)

Jedynie w odniesieniu do gazów rozrzedzonych możemy przyjąć, że pole lokalne

F

r

jest identyczne

z zewnętrznym, przyłożonym polem

E

r

. W ośrodkach skondensowanych musimy uwzględnić

oddziaływanie otoczenia na drobiny dielektryka.
Weźmy dielektryk znajdujący się w polu elektrycznym o natężeniu

Er

i rozważmy drobiny

znajdujące się w środku kulistej półmakroskopowej wnęki (rys. 6.1). Dielektryk na zewnątrz
wnęki traktujemy jako jednorodny.

(Rys 6.1)

16

Pole panujące w środku wnęki będzie się składało z pola zewnętrznego

E

r

, z pola

1

E

r

,

pochodzącego od indukowanych ładunków na powierzchni wnęki, i z pola

2

Er

, pochodzącego

od drobin znajdujących się wewnątrz wnęki, czyli

2

1

E

E

E

F

r

r

r

r

+

+

=

(6.1)

Pole

1

E

r

, pochodzące od ładunków znajdujących się na powierzchni pomyślanej wnęki, obliczamy

w następujący sposób (Rys. 6.2). Niech

θ oznacza kąt biegunowy w stosunku do osi zgodnej z

kierunkiem polaryzacji. Wtedy gęstość ładunku powierzchniowego wnęki będzie wynosiła

θ

cos

P

.

(Rys 6.2)

Zgodnie z prawem Coulomba każdy element powierzchni

ds

wytwarza wewnątrz wnęki o

promieniu

a

pole o natężeniu

ds

a

P

dE

2

0

1

4

cos

πε

θ

=

(6.2)

Powierzchnię elementu

ds

, o kształcie pierścienia, możemy wyrazić wzorem

θ

θ

π

ad

a

ds

⋅

=

sin

2

(6.3)

Składowe pola

1

dE

prostopadłe do wektora polaryzacji, a pochodzące od elementów

ds

pierścienia

symetrycznie rozłożonych względem osi wnęki (rys. 6.2), znoszą się. Przyczynek do pola dają więc
jedynie składowe wektora polaryzacji

θ

cos

1

dE

Zatem wypadkowe natężenie będzie równe

0

0

2

2

0

2

1

3

sin

2

4

cos

ε

θ

θ

π

π

ε

θ

π

P

d

a

a

P

E

r

r

r

=

=

∫

(6.4)

Pozostaje do obliczenia pole pochodzące od dipoli znajdujących się wewnątrz wnęki. Pole to zależy
od struktury dielektryka. W wypadku regularnej sieci krystalicznej lub bezładnego rozkładu drobin
gazu lub cieczy , który możemy traktować podobnie jak układ o wysokiej symetrii, założymy
więc

0

2

=

E

r

(6.5)

Korzystając z równania (2.9), możemy zatem pole lokalne zastąpić wyrażeniem

E

P

E

F

r

r

r

r

3

3

3

'

0

+

+

+

=

χ

ε

(6.6)

Stąd na podstawie wzoru (4.6) otrzymujemy wyrażenie, wiążące polaryzowalność

α . i

podatność elektryczną

'

χ

, w postaci:

17

3

3

'

0

'

+

=

χ

ε

α

χ

N

(6.7)

Wielkość

α

N

podanych wzorach oznacza polaryzowalność na jednostkę objętości Praktyczniej jest

posługiwać się polaryzowalnością na określoną liczbę drobin dlatego też wprowadzamy
polaryzowalność na mol lub inaczej polaryzowalność molowa

Π

0

'

'

3

3

ε

α

ρ

χ

χ

A

N

M =

+

=

Π

(6.8)

M

- masa dielektryka

ρ

-

gęstość dielektryka

A

N

-liczba

Avogadra

Jest to równanie Clausiusa-Mossottiego.

Rodzaje polaryzowalności. Wykres Cole'a-Cole'a(to tez dodatek)

Rozważając polaryzowalność. podzieliliśmy ją na polaryzowalność orientacyjną i indukowaną.

Ponadto polaryzowalność indukowaną podzieliliśmy na polaryzowalność elektronowa i atomową.
Zwróciliśmy również uwagę, że rozdzielanie polaryzowalności możemy uzyskać przez pomiar
zależności podatności elektrycznej od częstości.
Polaryzowalność indukowaną charakteryzuje odpowiadająca jej podatność elektryczna, którą

oznaczyliśmy

χ

∞

.

Musimy wiec wyznaczyć tę wielkość, aby obliczyć polaryzowalność indukowaną.

Polaryzowalność orientacyjną, czyli dipolową obliczamy odejmując od całkowitej polaryzowalności
jej część indukowana. Podział zaś polaryzowalności indukowanej na elektronową i atomowa możemy
uzyskać przez wyznaczenie refrakcji (6.14) i ekstrapolowanie jej do wartości odpowiadającej
nieskończenie długiej fali mierzącej. Tak określona refrakcja przedstawia polaryzowalność
elektronową, która możemy odjąć od polaryzowalności indukowanej, by w ten sposób otrzymać
polaryzowalność atomową.

W celu wyznaczenia polaryzowalności elektronowej badamy zależność współczynnika załamania

od długości fali i ekstrapolujemy do wartości odpowiadającej falom nieskończenie długim. Taką
wartość współczynnika załamania oznaczamy n

∞

.

Jak już wspominaliśmy w poprzednim paragrafie, drobina może mieć kilka częstości

rezonansowych ω

r

, odpowiadających drganiom własnym zawartych w niej oscylatorów

elektronowych. W przedziale częstości rezonansowej każdego z oscylatorów podatność elektryczna,
a tym samym i współczynnik załamania, wykazują przebieg anomalny. Stąd, ekstrapolując
współczynnik załamania do fal nieskończenie długich, należy się upewnić, czy współczynnik
załamania w badanym przedziale długości fal nie zawiera pasm absorpcji. W wypadku bowiem
istnienia absorpcyjnych pasm na n

∞

możemy otrzymać wartość znacznie odbiegającą od

wartości rzeczywistej.

Molową polaryzowalność elektronową zgodnie z zależnością (6.14) określa więc wzór

ρ

M

n

n

x

e

2

1

2

2

+

−

=

Π

∞

(21.1)

a polaryzowalność indukowaną (6.11) — wzór :

18

ρ

χ

χ

M

ind

3

+

=

Π

∞

∞

(21.2)

Stąd polaryzowalność atomowa będzie wynosiła:

ρ

χ

χ

M

n

n

x

a

)

2

1

3

(

2

2

+

−

−

+

=

Π

∞

∞

∞

(21.3)

Do wyznaczenia polaryzowalności atomowej konieczna jest wiec znajomość

χ

∞

.

Prosty sposób

wyznaczenia tej wielkości na podstawie równania Debye'a (20.44) lub (20.13) podali K. S. Cole i
R. H. Cole.

Przedstawmy podatność elektryczną w płaszczyźnie zmiennej zespolonej. W tym celu równanie

Debye'a (20.44) możemy napisać w postaci :

(

χ-χ

∞

) + j(

χ-χ

∞

) ω τ

e

=

χ

s

-

χ

∞

(21.4)

W płaszczyźnie zmiennej zespolonej podatność elektryczna

χ dla danej częstości kołowej ω

określają współrzędne punktu A (rys. 21.1).

Wprowadźmy oznaczenia

χ-χ

∞

= u oraz (

χ-χ

∞

)ω τ

e

>v. Odcinek v ma ω τ

e

razy większą

wartość liczbowa od u i jest do u prostopadły (ponieważ występuje przy nim jednostka urojona j).
Dla innej częstości ω

1

otrzymamy na podatność elektryczną

χ, powiedzmy, wartość określona

przez współrzędne punku B. Podobnie i odcinki u

1

oraz v

1

będą wzajemnie prostopadłe, przy czym

odcinki te będą łączyły znów te same punkty leżące na osi

χ' o wartościach χ

∞

i

χ

s

.

Rys. 21.1. Wykres Cole`a-Cole`a.

Odcinek

χ

s

-

χ

∞

Jest stały dla wszystkich u i v , odpowiadających różnym wartościom

χ. Tak więc

wartości podatności elektrycznej

χ dla wszystkich częstości kołowych ω: od ω =0, dla której χ=χ

s

,

do ω

->ω

∞

, dla której

χ=χ

∞

,

będą leżały na okręgu o średnicy

χ

s

-

χ

∞

i

środku leżącym w punkcie

(

χ

s+

χ

∞

)/2 na osi rzeczywistej wartości podatności elektrycznej

χ`

.

Wykres tak skonstruowany

(rys. 21.1) znany jest pod nazwą wykresu Cole'a-Cole'a.

(21.5)

straty osiągają największa wartość, równą zgodnie z wzorami (21.5) i (20.15)

19

Wyznaczając podatność elektryczną

χ dla różnych częstości i ekstrapolujac do częstości ω= 0 i ω

=ω

∞

,znajdujemy z wykresu Cole'a-Cole'a statyczną wartość podatności elektrycznej

χ

s

:

χ=χ

s

dla ω =0 (21.7)

oraz indukowaną wartość podatności elektrycznej

χ

∞

:

χ=χ

∞

dla ω =ω

∞

(21.8)

Jeśli ponadto wyznaczamy współczynnik załamania ekstrapolowany do nieskończenie długich fal:

n=n

∞

dla λ -> ∞ (21.9)

będziemy mogli rozdzielić całkowita polaryzację (14.5) na część dipolowa atomową i elektronowa,
zgodnie z wzorami (14.11). (21.1) i (21.3).
W celu wyznaczenia w prosty sposób czasu relaksacji

τ

wyeliminujemy

χ

∞

z równań

(20.14), (20.15). Wtedy dostaniemy:

χ`=χ

s

-ωτ

χ``

(21.10)

Podstawiając zaś zgodnie z wzorem (20.54)

σ=-ωχ`` , dostaniemy:

(21.11)

Wykreślając

χ' w zależności od przewodności σ, otrzymujemy czas relaksacji z nachylenia

prostej

χ' = f(σ).

Powyższe rozważania słuszne są oczywiście w wypadku, kiedy zjawiska zachodzące w

dielektrykach odpowiadają prostemu modelowi relaksacji Debye'a, to znaczy, kiedy istnieje tylko
jeden czas relaksacji

τ (lub widmo czasów relaksacji z jednym maksimum) oraz możemy pominąć

oddziaływania międzydrobinowe. Rzeczywiste dielektryki dipolowe na ogół rzadko odpowiadają
temu modelowi. Stąd zjawisko relaksacji nie zawsze da się w nich opisać prostym równaniem
Debye'a.