Ć

wiczenie z mapą cd. wzory

Elżbieta Kokocińska-Pakiet

Strona 1

2007-03-20

3.5. Zasada obliczeń wartości kątów z różnicy azymutów.

Azymuty liczone są ze współrzędnych (pośrednich) podanych w
punkcie 1.4.

Kąt o wierzchołku w B:

ϕ

ϕ

gdzie: A - azymut

A

BA ⇒

φ

BA

= arctg

B

A

B

A

x

x

y

y

−

−

= …

ϕ

BA

= …

IV ćw.

⇒

A

BA

= 360,0°- φ

BA

=…

Proszę do obliczenia azymutów pozostawić jak najdłuższy
ułamek dziesiętny. Kąty obliczane tą metodą są podawane w
stopniach (chyba, że ktoś przestawi kalkulator na grady).

A

BC ⇒

ϕ

BC

= arctg

B

C

B

C

x

x

y

y

−

−

= …

III ćw.

⇒

A

BC

= 180,0°+ φ

BC

=

< ABC = A

BA

- A

BC

⇒

Ć

wiczenie z mapą cd. wzory

Elżbieta Kokocińska-Pakiet

Strona 2

2007-03-20

Kąt o wierzchołku w A:

A

AC ⇒

φ

AC

= arctg

0

,

86

0

,

579

4

,

1125

5

,

1116

−

−

= …

II ćw.

⇒

A

AC

=180,0°- φ

AC

= ...

A

AB ⇒

φ

AB

= φ

BA

II ćw.

⇒

A

AB

= 180,0°- φ

AB

= ...

<BAC = A

AC

- A

AB

⇒

…

Azymut AC

< BAC

C

Azymut AB

N

A

B

AB

AC

IV

I

II

III

Ć

wiczenie z mapą cd. wzory

Elżbieta Kokocińska-Pakiet

Strona 3

2007-03-20

Kąt o wierzchołku w C:

A

CA ⇒

φ

CA

= φ

AC

IV ćw.

⇒

A

CA

= 360,0°- φ

CA

=...

A

CB ⇒

φ

CB

= φ

BC

I ćw.

⇒

A

CB

= φ

CB

= ...

<ACB = 360°- (A

CA

- A

CB

)

⇒

Powyższego wzoru do obliczania kąta o wierzchołku w
punkcie C używamy tylko w przypadku gdy kierunek północy
znajduje się wewnątrz kąta (jak na rysunku powyżej).

Obliczenia azymutów dla sytuacji z mapy w skali 1: 2000.

C

N

A

Azymut CA

< ACB

B

Azymut CB

CB

CA

IV

III

I

II

Ć

wiczenie z mapą cd. wzory

Elżbieta Kokocińska-Pakiet

Strona 4

2007-03-20

Zestawienie wartości pomierzonych i obliczonych Tabela nr 3

Ozna-

czenie

kątów

Wartości

kątów

pomierzo-

ne w [

g

]

Wartości kątów

przeliczone z [

g

] na [

o

] wg

3.1

Kąty obliczone

metodą azymutów

wg 3.5 [

o

]

Różnica

kol.3 - kol.4

1

2

3

4

5

ABC

ACB

BAC

Suma

200,0

g

180,00

o

180

o

00’

180,00

o

180

o

00’

4.Pomiar wysokości punktów A,B,C.

Do obliczeń zastosowano następujące wzory (rysunek 2):

D

– odległość pomiędzy poziomicami

d

1

– odległość od niższej poziomicy do punktu

d

2

– odległość od wyższej poziomicy do punktu

∆

H

– odległość w pionie pomiędzy poziomicami

dh

1

, dh

2

– odległość w pionie punktu od niższej i wyższej

poziomicy.

4.1. Punkt A

d

1

= ...

d

2

= … D = …

∆

H = ...

dh

1

= ?

dh

2

= ? obliczamy z proporcji wg rysunku 2.

H

A(1)

= 172,0 + dh

1

= …m

H

A(2)

= 173,0 - dh

2

= … m

( )

( )

m

H

H

H

A

A

A

....

2

2

1

=

+

=

4.2. Punkt B

d

1

= ...

d

2

= … D = …

∆

H = ...

dh

1

= ?

dh

2

= ? obliczamy z proporcji wg rysunku 2.

Ć

wiczenie z mapą cd. wzory

Elżbieta Kokocińska-Pakiet

Strona 5

2007-03-20

4.3. Punkt C

d

1

= ...

d

2

= … D = …

∆

H = ...

dh

1

= ?

dh

2

= ? obliczamy z proporcji wg rysunku 2.

Pozostałe obliczenia jak dla punktu A.

5. Pomiar i obliczenie powierzchni trójkąta ABC.

5.1. Metoda analityczna.

Do pomiaru powierzchni użyto współrzędnych pośrednich z punktu
1.4. (przed zaokrągleniem).

A ( X

A

; Y

A

)

B ( X

B

; Y

B

)

C ( X

C

; Y

C

)

Do obliczenia powierzchni zastosowano następujący wzór:

2P = Σ [x

i

(y

i+1

- y

i-1

)]

to znaczy:

)

Y

Y

(

X

)

Y

Y

(

X

)

Y

Y

(

X

P

2

B

A

C

A

C

B

C

B

A

−

+

−

+

−

=

P=2P/2

Dla sprawdzenia otrzymanych wartości skorzystano ze wzoru:

-2P = Σ [y

i

(x

i+1

- x

i-1

)]

to znaczy:

)

X

X

(

Y

)

X

X

(

Y

)

X

X

(

Y

P

2

B

A

C

A

C

B

C

B

A

−

+

−

+

−

=

−

Ć

wiczenie z mapą cd. wzory

Elżbieta Kokocińska-Pakiet

Strona 6

2007-03-20

5.2. Metoda graficzna.

Do obliczeń metodą graficzną wykorzystano wzór Herona:

)

c

s

)(

b

s

)(

a

s

(

s

P

−

−

−

=

∆

gdzie: s – to połowa obwodu trójkąta,

a, b, c – to długości boków trójkąta

(

).

Do obliczeń przyjmujemy wartości pomierzone.

m

AC

c

m

....

...

BC

=

b

...m

=

AB

=

a

=

=

=

m

c

b

a

...

2

s

=

+

+

=

)

c

s

)(

b

s

)(

a

s

(

s

P

−

−

−

=

∆

5.3. Metoda mechaniczna (za pomocą planimetru

biegunowego)

Planimetr przykładowy pokazano na rysunku 3.
Pole obszaru obliczamy z wzoru:

P

∆

= c* n

k

Gdzie stałą c dla danej skali ustala się za pomocą wzoru na
podstawie znanego obszaru, kwadratu rozpiętego na krzyżach
kresek (dla danego przykładu powierzchnia P=40000 m

2

):

k

n

P

c

=

Ć

wiczenie z mapą cd. wzory

Elżbieta Kokocińska-Pakiet

Strona 7

2007-03-20

gdzie:

c - stała planimetru,
n

k

- średnia (czterokrotnie) zmierzonego planimetrem

obwodu zadanej powierzchni,

P - dla kwadratu o wymiarach 200 x 200 m na mapie w

skali 1: 2000, P = 40000 m

2

Kolejne pomiary planimetrem kwadratu (przy n wpisujemy
odczyty z planimetru:

n

1

=…

n

2

=…

n

3

=…

n

4

=…

n

5

=…

n

k

= (

Σ

∆

n

i

)/ 4 = …

lub

...

4

n

1

5

=

−

=

n

n

k

2

k

m

.....

n

kwadratu

Pole

c

=

=

Kolejne pomiary planimetrem trójkąta ABC:

n

1

=…

n

2

=…

n

3

=…

n

4

=…

n

5

=…

n

k

= (

Σ

∆

n

i

)/ 4 = …

lub

...

4

n

1

5

=

−

=

n

n

k

P

∆

= c * n

k

= ... m

2

∆

n

1

= n

2

-n

1

= 1016

∆

n

2

= n

3

-n

2

= 1015

∆

n

3

= n

4

-n

3

= 1012

∆

n

4

= n

5

-n

4

= 1010

Różnica pomiędzy różnicami
odczytów nie większa niż 20
jednostek pomiędzy najmniejszą a
największą wartością !!!!!

∆

n

1

= n

2

-n

1

= 1016

∆

n

2

= n

3

-n

2

= 1015

∆

n

3

= n

4

-n

3

= 1012

∆

n

4

= n

5

-n

4

= 1010

Różnica pomiędzy różnicami
odczytów nie większa niż 20
jednostek pomiędzy najmniejszą a
największą wartością !!!!!

Ć

wiczenie z mapą cd. wzory

Elżbieta Kokocińska-Pakiet

Strona 8

2007-03-20

Różnica pomiędzy pomiarem analitycznym, a pomiarem
mechanicznym

m

138,6

P

-

P

2

M

A

=

Błąd procentowy pomiaru:

....

100%

P

P

P

A

M

A

=

⋅

−

Błąd obliczamy w porównaniu do metody analitycznej.
ZAWSZE !!!!

5.4. Zestawienie wyników

Tabela nr 4

Metoda

Analityczna

Graficzna

(Herona)

Mechaniczna

1

2

3

4

Powierzchnia

[m

2

]

56076,5

56247,3

56215,1

kol.2 – kol.2

kol.3 – kol.2

kol.4 – kol.2

Błąd [%]

0,0

0,3

0,25

Różnica [m

2

]

0,0

+ 170,8

+ 138,6

6.Wnioski:
Proszę podać przyczynę ewentualnych błędów.