STATECZNO

ŚĆ ZBOCZY 

 

W praktyce geologiczno inżynierskiej bardzo często istnieje konieczność  oceny stateczności zboczy naturalnych, skarp nasypów 
(np. zapór ziemnych) i skarp wykopów (np. fundamentowych). Sprawdzenie stateczności skarpy polega na obliczeniu 
minimalnego wskaźnika stateczności (bezpieczeństwa) F

min

 przy zastosowaniu odpowiedniej metody obliczeniowej z 

uwzględnieniem układu warstw gruntu i przebiegu powierzchni poślizgu po której może nastąpić osuwisko lub zsuw. 
Wyznaczony wskaźnik F

min

 powinien być większy od wskaźnika dopuszczalnego F

dop

 

F

min

 > F

dop 

F

dop

 przyjmuje się w zależności od metody obliczeniowej. 

Poniżej zostanie przedstawionych kilka metod wyznaczania F

min

  

 
Przypadek 1 Skarpa zbudowana z gruntów niespoistych nienawodnionych 
Zakłada się tutaj, że powierzchnią poślizgu jest płaszczyzna równoległa do skarpy (Rys. 55) 

 

T 

- 

siła tarcia [kN] 

S 

- 

siła powodująca zsuw [kN] 

N 

- 

siła normalna 

[kN] 

W 

- 

ciężar elementu [kN] 

β

φ

=

β

φ

⋅

β

=

=

tg

tg

sin

W

tg

cos

W

S

T

F

 

(F

dop

 = 1,1

÷

1,3  - najczęściej przyjmowane wartości 

dla metody ) 
Widać, równowaga zbocza będzie zachowana gdy 

tg

ββββ

 

≤≤≤≤

 tg

φφφφ

 

Uwaga: w tym przypadku wysokość skarpy nie gra roli.  

 

 

 

Rys. 55 

 
Przypadek 2 Skarpa zbudowana z gruntów niespoistych nawodnionych 
Zakłada się tutaj, że powierzchnią poślizgu jest płaszczyzna równoległa do skarpy (Rys. 56). Dochodzi tu do siły zsuwającej siła 
ciśnienia spływowego 

 

T 

-siła tarcia [kN] 

S’ 

-siła powodująca zsuw [kN] 

S’’ 

-siła ciśnienia spływowego [kN] 

N 

-siła normalna 

[kN] 

W 

-efektywny ciężar elementu [kN] W = V 

⋅

 

γ

’ 

W

W

 

-ciężar wody w elemencie [kN] W

W

 = V 

⋅

 

γ

w 

 
 

Rys. 56 

(F

dop

 = 1,1

÷

1,3  - najczęściej przyjmowane wartości dla 

metody ) 
 
 
 
 
Widać, równowaga zbocza będzie zachowana gdy 

φ

γ

+

γ

γ

≤

β

tg

'

'

tg

w

 

Uwaga: w tym przypadku wysokość skarpy nie gra roli. 
 
Przypadek 3 Skarpa zbudowana z gruntów spoistych  
Jako płaszczyznę poślizgu przyjmuje powierzchnię krzywolinniową (np. powierzchnia kołowa, spirala logarytmiczna).  Tu zostaną 
przedstawione metody: szwedzka (Felleniusa, Ordinary) i Taylora 
 

 
 
 
 

 
 
 
 

β

φ

β

φ

γ

γ

γ

β

β

φ

β

tg

tg

tg

tg

W

W

tg

W

S

S

T

F

w

W

2

1

'

'

sin

sin

cos

'

'

'

≈

⋅

+

=

+

⋅

=

+

=

 
Metoda szwedzka (Felleniusa, "ordinary") 

Metodą tą można liczyć skarpy zbudowane z gruntów spoistych lub skarpy zbudowane z gruntów zarówno spoistych jak i 
niespoistych 

Grunt nienawodniony 

Kolejność postępowania: 

a)

 

mamy dane o gruntach budujących skarpę 

γ, φ, 

γ, φ, 

γ, φ, 

γ, φ, 

c 

b)

 

wybieramy środek powierzchni kołowej 0. Sposób wyboru pola w którym znajduje się środek 0 (dający F

min

) podano na Rys. 

57 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 57 

 
 
 
c)

 

Zakładamy promień R i rysujemy powierzchnię poślizgu o środku 0 i promieniu R (Rys. 57) 

d)

 

Dzielimy wyodrębnioną bryłę na pionowe paski o szerokości b

≈≈≈≈

0,1

⋅⋅⋅⋅

R (Rys. 58) . Jeżeli skarpa jest zbudowana z kilku 

rodzajów gruntów to zwracamy uwagę na to aby w podstawie paska znajdował się jeden rodzaj gruntu.  

(Rys. 58) 

 
e)

 

Mierzymy odcinki L

i

 w podstawie 

każdego paska. (łuk przybliżamy 
cięciwą) 

f)

 

Wyznaczamy kąt 

α

i

  

g)

 

Obliczamy ciężar poszczególnych 
pasków gruntu W

i

 = 

γ

i

 

⋅

 V

i

 (wymiar 

paska w kierunku prostopadłym =1). 
Jeżeli pasek przechodzi przez kilka 
warstw gruntu należy to uwzględnić w 
obliczeniach odpowiednimi ciężarami 
objętościowymi gruntu. 

h)

 

Rozpatrujemy osobno obrót każdej 
bryły (tak jakby były one sztywne i 
osobne) względem środka 0  na 
ramieniu R. Obliczenie wskaźnika F 
otrzymujemy ze wzoru opisującego 
stosunek sumy momentów 
utrzymujących (M

u

) do zsuwających 

(M

o

)  

 

 
 
 
 
 
 
i)

 

Po znalezieniu F dla wybranej powierzchni poślizgu należy sprawdzić, czy przy innych jej położeniach i innych promieniach 
wskaźnik ten nie wypadnie mniejszy, wybierając różne środki obrotu 0. Powinien być spełniony warunek: 

F

min

 

≥≥≥≥

 F

dop 

Gdzie F

dop

 = 1,1 

÷

 1,5 (czasem 2,0 zależnie od ważności zagadnienia i stopnia rozpoznania parametrów) 

 
 

Obliczenia tego typu są bardzo pracochłonne i dlatego opracowano wiele programów komputerowych umożliwiających 

szybkie określenie stateczności skarpy różnymi metodami. W dalszym toku zajęć będziemy wyznaczać wartość F

min

 programem 

Geo Slope. 

 

∑

∑

∑

∑

∑

∑

⋅

+

⋅

=

⋅

⋅

=

=

=

=

=

=

i

i

i

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

oi

n

i

ui

W

L

c

tg

W

R

S

R

T

M

M

F

α

φ

α

sin

cos

1

1

1

1

 
 

 

Grunt nawodniony 

Jeżeli w skarpie występuje woda gruntowa w ruchu, w kierunku do podnóża zbocza, to również uwzględnia się jej działanie. 
Musimy znać położenie zwierciadła wody. 
 
Kolejność postępowania. 
Od a) do f) jak w skarpie nienawodnionej 
g)

 

Obliczmy ciężary pasków, przy czym dla części paska znajdującego się pod wodą uwzględnia się 

γ

’ 

h)

 

Obliczmy siłę ciśnienia spływowego działającego na całą bryłę gruntu zanurzoną pod wodą. (Rys 59) 

P = V

g

 

⋅⋅⋅⋅

 i 

⋅⋅⋅⋅

 

γγγγ

w 

Linia działania siły P na promieniu r przechodzi przez środek ciężkości zawodnionej bryły gruntu. Środek ten można 
wyznaczyć w przybliżeniu. 
 

Rys. 59 

i)

 

Wskaźnik F oblicz się ze wzoru: 

∑

∑

∑

∑

∑

∑

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

⋅

+

⋅

⋅

=

=

=

=

=

=

i

i

i

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

oi

n

i

ui

W

R

r

P

L

c

tg

W

R

R

S

r

P

R

T

M

M

F

α

φ

α

sin

cos

1

1

1

1

 

Należy zwrócić uwagę, że dla pasków pod wodą uwzględnia się efektywne wartości 

c’

 i

 

φφφφ

’

 

j) 

Do obliczania F wygodnie jest obliczenia prowadzić w tabeli. Jej wzór jest poniżej. 

Nr  
bloku 

b

i

 [m]  h

i

śr

 

[m] 

V

i

= b

i

⋅

 h

i

śr

 

[m

3

] 

W

i

= V

i

⋅γ 

[kN] 

α

i

  sin

α

i 

cos

α

i

 

S

i

=W

i

sin

α

i

 

[kN] 

L

i

 

[m] 

T

i

=W

i

cos

α

i

⋅

tg

φ

i

+ 

c

i

⋅

L

i

 [kN] 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

 

 

 

 

 

 

 

 

Σ 

 

Σ 

 
UWAGA:  w przypadku obciążenia naziomu skarpy uwzględnia się to w obliczeniach zwiększając ciężar pasków. 
Np. niech  obciążenie naziomu wynosi q = 100 kN/m

2 

a  szerokość paska obliczeniowego niech wynosi b=5 m (w głąb 1 m). W 

takiej sytuacji do obciążonego paska należy dodać przeliczony ciężar od obciążenia q tj.: Q = q 

⋅

 b 

⋅

 1m = 100

⋅

5

⋅

1 = 500 kN. 

Ciężar Q dodajemy do każdego paska na który działa obciążenie q. 

 

 

 

Metoda 

Taylora 

Schemat I  grunty jednorodne spoiste. Wartość F oblicza się ze wzoru: 
 

min

min

HN

c

N

N

F

⋅

=

=

γ

 

gdzie: 

H

c

N

⋅

=

γ

 (c – spójność, 

γ

 – ciężar ob., H – wysokość skarpy) 

N

min

 

-  

wyznacza się z nomogramu (Rys. 60) na podstawie 

φφφφ

 (kąta tarcia) i 

α

αα

α

 (kąta nachylenia skarpy) 

 

Rys. 60 

(F

dop

 = 1,1

÷

1,5  - najczęściej przyjmowane wartości dla metody ) 

 
Projektowanie nachylenia skarpy - obliczenie N

min

 (przy założonych parametrach gruntu, wysokości skarpy i F

dop

) odczytanie 

z nomogramu nachylenia. 
 
Schemat II  grunty niejednorodne (spoiste + niespoiste). (Rys. 61) 
W przypadku, gdy zbocze jest uwarstwione, a wartości 

φφφφ

 i c w poszczególnych warstwach są zbliżone – można założyć, że zbocze 

jest zbudowane z gruntu jednorodnego, przy czym do obliczeń należy przyjmować średnie wartości c i 

φφφφ

 wyznaczone wg wzorów: 

∑

∑

⋅

φ

=

φ

i

i

i

ś

r

L

L

 

∑

∑

⋅

=

i

i

i

ś

r

L

L

c

c

 

gdzie: 
   

φ

i

 , c

i

  

- wartości w poszczególnych warstwach 

 

L

i

   

- przybliżona długość linii poślizgu w obrębie warstwy. Przebieg linii po

ślizgu 

wykre

śla się subiektywnie.   

 
Jeżeli w obszarze objętym możliwą linią odłamu występuje grunty o różnym ciężarze objętościowym lub woda gruntowa, 
wówczas do obliczeń można przyjąć średni ciężar objętościowy 

γγγγ

,  

h

h

i

i

ś

r

∑

⋅

γ

=

γ

 

gdzie: 
   

γ

i

 

- ciężar objętościowy gruntu w danej warstwie 

   

h

i

 

- grubość poszczególnej warstwy tylko w obrębie skarpy  

h  - wysokość skarpy 
 

   

 

 

 
 

 

(Rys. 61) 

 Wartość F oblicza się ze wzoru: 

min

N

N

F

=

 

gdzie: 

H

c

N

ś

r

ś

r

⋅

γ

=

 (c

śr

 – spójność średnia, 

γ

śr

 – średni ciężar ob., H – wysokość skarpy) 

N

min

 

-  

wyznacza się z nomogramu (Rys. 60) na podstawie 

φ

śr 

 
 
 
Zadanie 1 
Policzyć wskaźnik stateczności skarpy. Dane 

φ

 = 25

°

, 

β

 = 1:3. Skarpa zbudowana z Ps, nie nawodniona. 

β

 = 1:3 

→

 

β = 

arctan(1/3) = 18

°

26’ (18,43

°

) 

 
Zadanie 2 
Jakie należy przyjąć pochylenie skarpy wykopu wykonanego w Ps nawodnionych, jeżeli wymagany współczynnik pewności jest F 
= 1,3. Dane: 

γ

’ = 11 kN/m

3

, 

φ

 = 19

°

, 

 
Zadanie 3 
Wyznaczyć metodą Taylora wskaźnik F. Dane: H = 15 m. nachylenie skarpy 

β

 = 50

°

, 

γ

 = 20 kN/m

3

, 

φ

 = 19

°

, c = 30 kPa (skarpa 

zbudowana z gruntu jednorodnego) 
 
 
Zadanie 4  
Jakie należy przyjąć pochylenie skarpy wykopu wykonanego w warunkach gruntowo wodnych przedstawionych na Rys. 62, jeżeli 
wymagany współczynnik pewności jest F =1,4 
 

 

 

Rys. 62