STATECZNOŚĆ PRĘTÓW
PROSTYCH
POSTACI UTRATY
STATECZNOŚCI
METOD OKREŚLANIA SIŁY
KRYTYCZNEJ

ZAGADNIENIE NR 3:

POSTACI RÓWNOWAGI

Jeżeli po dowolnie małym
wychyleniu z pierwotnego
położenia równowagi ruch
ciała jest taki, że wychylenia
jego punktów nie są większe
tych początkowych to taka
równowagę nazywamy
stateczna (trwała). W
przeciwnym przypadku
równowaga jest niestateczna
(nietrwała, chwiejna). Można
jeszcze wyróżnić szczególne
położenie równowagi zwane
równowagą obojętną, w której
punkty ciała pozostają w
położeniu po wychyleniu.

RÓWNOWAGA STATECZNA

Równowadze statecznej I odpowiada minimum energii
potencjalnej układu, a w równowadze chwiejnej III maksimum. W
stanie równowagi obojętnej II wartość energii potencjalnej przy
dowolnie małym wychyleniu pozostaje stała.

Z utratą stateczności mamy do
czynienia, gdy niewielka zmiana
przyczyny powoduje bardzo dużą
zmianę skutku. Idealnie sprężysty
pręt przy pewnej wartości siły
ściskającej zmienia w sposób
nagły swą prostoliniową postać i
przyjmuje położenie wygięte. W
środku rozpiętości pręta będzie
występował moment jako skutek
działania siły ściskającej na
pewnym mimośrodzie, na ramieniu
równym wartości ugięcia tego
pręta w.

W teorii I-go rzędu rozpatrujemy konstrukcje w stanie
nieodkształconym (stosujemy zasadę zesztywnienia). Jeżeli siły
osiowe są znaczne a pręt wiotki należy odrzucić zasadę
zesztywnienia i uwzględnić wpływ sił osiowych na powstawanie
momentów. Stosujemy teorię II-go rzędu.

Rozważmy, ściskany osiowo siła P pręt przegubowo podparty na obu
końcach, wykonany z materiału liniowo sprężystego o module Younga
E i nadajmy mu jakimś impulsem poprzecznym dowolnie małe
początkowe ugięcie w płaszczyźnie najmniejszej sztywności zginania.
Jeżeli po usunięciu przyczyny ugięcia powróci on do swej początkowej
prostoliniowej postaci, oznacza to, że znajduje sie w równowadze
statecznej.

Powtarzając rozumowanie wraz ze zwiększaniem wartości siły P
dojdziemy do sytuacji, w której pręt po usunięciu przyczyny
początkowego ugiecia pozostanie krzywoliniowy (nie powróci do swej
pierwotnej prostoliniowej formy). Oznacza to, że tym razem pret
znajduje sie w stanie równowagi obojetnej, a siłe, przy której to
nastapiło nazywac bedziemy siła krytyczna P

. Tak wiec:

siła krytyczna to siła, przy której osiowo ściskany pręt
znajduje sie w stanie równowagi obojętnej.

Gdy siła osiągnie wartość krytyczną Pkr pręt traci
stateczność (ulega wyboczeniu), a jego ugięcia mogą
być dowolnie duże. Wyboczenie jest to zatem utrata
przez ściskany pręt stanu równowagi statecznej na
rzecz równowagi obojętnej lub niestatecznej.

Wyboczenie może mieć jedną z trzech postaci:

• giętną- pręt ulega wygięciu w płaszczyźnie najmniejszej jego sztywności (a)

• skrętną- pręt skręca się wokół osi podłużnej (b)

• giętno-skrętną- następuje wygięcie pręta z równoczesnym jego skręceniem (c)

Niestateczność ogólna elementów zginanych to
zwichrzenie. Występuje, gdy moment zginający
osiągnie wartość krytyczną (M

). Jest inicjowane

wyboczeniem pasa ściskanego z płaszczyzny
zginania i natychmiast przechodzi w skręcanie
(jest zbliżone do wyboczenia giętno-skrętnego).

Możliwość utraty stateczności pręta zależy
od jego smukłości. W miarę wzrostu
długości wyboczeniowej pręta l

, rośnie

jego wrażliwość na utratę stateczności
ogólnej.

Długość wyboczeniowa związana jest ze
współczynnikiem wyboczeniowym α.

=α*l

Postaci wyboczenia

Długość wyboczeniowa l

odpowiada długości

półfali sinusoidy przedstawiającej daną postać
wyboczenia

Smukłość λ jest liczbą charakteryzującą
pręt. Zależy ona od właściwości przekroju,
długości wyboczeniowej pręta (więc od
warunków podparcia) i od własności
materiału pręta.

minimalnym promieniem
bezwładności przekroju poprzecznego

Znając E dla materiału pręta oraz
dopuszczalne naprężenie możemy
wyznaczyć jego (dopuszczalną)
właściwą smukłość.