Adam  Bodnar:  Wytrzymałość  Materiałów.  Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych 

 

231 

17. STATECZNOŚĆ OSIOWO ŚCISKANYCH PRĘTÓW  PROSTYCH 
17.1. Stateczność pręta w zakresie liniowo sprężystym. 

Jednym  z  podstawowych  założeń  przyjętych  na  początku  naszych  rozważań  było  to,  że 
analizowane przez nas konstrukcje znajdują się w równowadze trwałej (inaczej statecznej) ale 
jak  dotąd,  prócz  prostych  objaśnień,  nie  zostały  sformułowane  żadne  analityczne  warunki 
gwarantujące  taką  równowagę  lub  jak  powiemy  w  języku  inżynierskim  gwarantujące  
stateczność konstrukcji. Utrata stateczności konstrukcji jest zagadnieniem niezwykle ważnym 
i  skomplikowanym - i co więcej - stanowi jedną z przyczyn wystąpienia  stanu granicznego 
nośności.  Konieczność  uwzględnienia  utraty  stateczności  w  analizie  mechanicznej 
zachowania  się  konstrukcji  dobitnie  obrazuje  następujące  zadanie

1

,  w  którym  należy 

wyznaczyć dopuszczalną wysokość stalowego pręta prostego o polu przekroju poprzecznego  
A

  =  1cm

2

,  obciążonego  tylko  ciężarem  własnym 

γ

  =  78.50  kN/m

3

,    wykonanego  ze  stali  o 

wytrzymałości obliczeniowej przy ściskaniu 

215

=

c

R

MPa. 

Warunek  stanu  granicznego  nośności  związanego  jedynie  z  nie  przekroczeniem 
wytrzymałości obliczeniowej przy ściskaniu, daje niżej wyznaczoną, dopuszczalną wysokość 
pręta  

m

*

.

*

.

*

R

l

R

A

A

l

c

c

3

3

6

10

739

2

10

5

78

10

215

=

=

≤

→

≤

γ

γ

. 

Jest  rzeczą  oczywistą,  że  nie  ma  możliwości  realizacji  konstrukcji  o  tych  wymiarach  z 
zachowaniem jej prostoliniowego kształtu (jak to jest założone w wykonanych obliczeniach) i 
w języku inżynierskim powiemy, że konstrukcja taka musi utracić swoją stateczność.  
Zajmiemy się teraz podaniem analitycznych warunków zapewnienia równowagi statecznej dla 
bardzo  prostej  konstrukcji,  jaką  jest  osiowo  ściskany  pręt  pryzmatyczny,  wykonany  z 
materiału o własnościach fizycznych określonych prawem Hooke’a. 
Zaczniemy  od  prostego  „ideowego”  objaśnienia    trzech  postaci  równowagi  w  jakich 
konstrukcja może się znajdować. 
Jeżeli  po  dowolnie  małym  wychyleniu  z  pierwotnego  położenia  równowagi  ruch  ciała  jest 
taki,  że  wychylenia  jego  punktów  nie  są  większe  tych  początkowych  to  taką  równowagę 
nazywamy stateczną (trwałą).  

 

W  przeciwnym  przypadku  równowaga 
jest  niestateczna  (nietrwała,  chwiejna). 
Można  jeszcze  wyróżnić  szczególne 
położenie 

równowagi 

zwane 

równowagą  obojętna  w  której  punkty 
ciała 

pozostają 

w 

położeniu 

po 

wychyleniu.  Opisaną  sytuację  można 
zobrazować  traktując  konstrukcję  jako 
ciężką  kulkę  w  różnych  warunkach 
podparcia 

znajdującą 

się 

w 

potencjalnym polu sił (rys. 17.1). 

Równowadze statecznej I odpowiada minimum energii potencjalnej układu, a w równowadze 
chwiejnej III maksimum. W stanie równowagi obojętnej II  wartość energii potencjalnej przy 
dowolnie małym wychyleniu pozostaje stała. 

 

                                                 

1

 Przykład wzięty z książki S.Piechnik. Wytrzymałość  Materiałów dla Wydziałów Budowlanych. PWN 1972. 

I 

III 

II 

Rys. 17.1 

Adam  Bodnar:  Wytrzymałość  Materiałów.  Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych 

 

232 

17.2. Siła krytyczna  

Zagadnienie  utraty  stateczności  ściskanego  osiowo  pręta  pryzmatycznego  rozwiążemy  w 
sposób podany przez L.Eulera w 1744 r. 

Rozważmy, pokazany na rys. 17.2, ściskany osiowo siłą P pręt  przegubowo podparty na obu 
końcach, wykonany z materiału liniowo sprężystego o module Younga  E i nadajmy mu  

 

 

 

 

Rys. 17.2 

jakimś  impulsem  poprzecznym  dowolnie  małe  początkowe  ugięcie  w  płaszczyźnie 
najmniejszej sztywności zginania. Jeżeli po usunięciu przyczyny ugięcia powróci on do swej 
początkowej prostoliniowej postaci, oznacza to, że znajduje się w równowadze statecznej. 
Powtarzając  rozumowanie  wraz  ze  zwiększaniem  wartości  siły  P  dojdziemy  do  sytuacji,  w 
której  pręt  po  usunięciu  przyczyny  początkowego  ugięcia  pozostanie  krzywoliniowy  (nie 
powróci  do  swej  pierwotnej  prostoliniowej  formy)

. 

Oznacza  to,  że  tym  razem  pręt  znajduje 

się  w  stanie  równowagi  obojętnej,  a  siłę,  przy  której  to  nastąpiło  nazywać  będziemy  siłą 
krytyczną 

kr

P

. Tak więc: 

siła krytyczna to siła przy której osiowo ściskany pręt znajduje się w stanie równowagi 
obojętnej.  
Wyliczmy  tę  siłę  krytyczną.  Równanie  momentów  w  zakrzywionym  pręcie  przy  obciążeniu 
siłą krytyczną ma postać: 

( )

( )

x

w

P

x

M

kr

=

, 

(17.1) 

a równanie różniczkowe jego ugiętej osi przyjmuje formę: 

 

( )

( )

min

EJ

x

M

dx

x

w

d

−

=

2

2

, 

(17.2) 

z której otrzymujemy równanie różniczkowe wiążące ugięcie z  siłą krytyczną: 

( )

( )

0

2

2

=

+

x

w

EJ

P

dx

x

w

d

min

kr

. 

(17.3) 

Przyjmując oznaczenie:  

min

kr

EJ

P

k

=

2

, 

(17.4) 

zapiszemy je w postaci:  

( )

( )

0

2

2

2

=

+

x

w

k

dx

x

w

d

, 

(17.5) 

którego rozwi

ą

zaniem jest funkcja: 

( )

kx

B

kx

A

x

w

cos

sin

+

=

. 

(17.6) 

Stałe całkowania A oraz B wyznaczymy z kinematycznych warunków brzegowych: 

J

y 

= J

min

 

Y

 

w(x)

 

P

kr 

w

 

l

 

Z

 

X

 

P

kr 

Z

 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Stateczno

ść

 osiowo 

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych 

 

233 

( )

0

0

=

w

  oraz   

( )

0

=

l

w

. 

(17.7)   

Pierwszy warunek daje 

0

=

B

, natomiast drugi zale

ż

no

ść

 

kl

A

sin

0

=

, z  której przy zało

ż

eniu 

ż

e 

0

≠

A

  (rozwa

ż

amy  pr

ę

t  zakrzywiony,  wi

ę

c  równocze

ś

nie  nie  mo

ż

e  by

ć

 

0

=

B

  i 

0

=

A

), 

dostajemy: 

,....

3

,

2

,

1

,

0

sin

=

=

→

=

n

l

n

k

kl

π

 

Korzystaj

ą

c z (17.4), dla kolejnych liczb naturalnych otrzymujemy:  

( )

x

l

A

x

w

l

EJ

P

n

kr

π

π

sin

,

,

1

2

min

2

1

,

=

=

=

 , 

 

( )

x

l

A

x

w

l

EJ

P

n

kr

π

π

2

sin

,

4

,

2

2

min

2

2

,

=

=

=

, 

 

( )

x

l

A

x

w

l

EJ

P

n

kr

π

π

3

sin

,

9

,

3

2

min

2

1

,

=

=

=

, 

............., 
co dowodzi, 

ż

e ka

ż

dej warto

ś

ci siły krytycznej odpowiada inna forma deformacji pr

ę

ta, albo -

inaczej - inna posta

ć

 wyboczonego pr

ę

ta, ale wszystkie s

ą

 sinusoidami. 

Jest rzecz

ą

 oczywist

ą

, 

ż

e za sił

ę

 krytyczn

ą

 uznamy t

ę

 najmniejsz

ą

, odpowiadaj

ą

c

ą

 

1

=

n

 . W 

tym  miejscu  warto  zwróci

ć

  uwag

ę

, 

ż

e  impuls  poprzeczny  wywołuj

ą

cy  to  wst

ę

pne 

zakrzywienie  potrzebny  jest  tylko  w  rozwa

ż

aniach  teoretycznych.  W  rzeczywisto

ś

ci 

odst

ę

pstwa  od  idealnych  zało

ż

e

ń

,  np.  idealnej  prostoliniowo

ś

ci  pr

ę

ta,  osiowo

ś

ci  przyło

ż

enia 

siły czy jednorodno

ś

ci materiału, same zawsze spowoduj

ą

 wyboczenie pr

ę

ta.  

Wyniki  analizy  pr

ę

tów  o  innych  warunkach  podparcia  pozwalaj

ą

  napisa

ć

  jednolity  wzór  na 

sił

ę

 krytyczn

ą

, nazywan

ą

 sił

ą

 krytyczn

ą

 Eulera, w postaci:  

2

min

2

w

E

kr

l

EJ

P

π

=

, 

(17.8) 

gdzie:  

l

l

w

α

=

, 

(17.9) 

nazywamy długo

ś

ci

ą

 wyboczeniow

ą

. 

Warto

ś

ci  współczynnika    długo

ś

ci  wyboczeniowej 

α   zale

ż

nego  od  warunków  podparcia 

podano na rys. 17.3.  

 

 

 

 

 

 

Rys. 17.3 

l 

l/2 

l/2 

l/3 

l/3 

l/3 

α 

= 1 

α 

= 2 

l 

α

 =0.7 

α

 = 0.5 

α

 = 1 

α 

= 2 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Stateczno

ść

 osiowo 

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych 

 

234 

17.3. Naprężenia krytyczne  

Zakres  wa

ż

no

ś

ci  wzoru  Eulera  na  sił

ę

  krytyczn

ą

  jest  ograniczony  własno

ś

ciami  fizycznymi 

materiału 

ś

ciskanego pr

ę

ta. Poniewa

ż

 materiał analizowanego przez nas pr

ę

ta był z zało

ż

enia 

materiałem liniowo spr

ęż

ystym to napr

ęż

enia normalne w pr

ę

cie nie mog

ą

 przekracza

ć

 

H

R

- 

granicy stosowalno

ś

ci prawa Hooke’a (granicy proporcjonalno

ś

ci). 

W  celu  wyznaczenia  zakresu  stosowalno

ś

ci  wzoru  (17.8)  dokonamy  jego  przekształcenia. 

Wpierw podzielimy obustronnie przez pole przekroju poprzecznego A  

2

min

2

w

E

kr

l

A

EJ

A

P

π

=

, 

a nast

ę

pnie, definiuj

ą

c poj

ę

cie napr

ęż

enia krytycznego: 

A

P

kr

kr

=

σ

, 

(17.10) 

i smukło

ś

ci pr

ę

ta:   

min

i

l

w

=

λ

, 

(17.11) 

gdzie: 

A

/

J

i

min

min

=

  -  jest  minimalnym  promieniem  bezwładno

ś

ci  przekroju 

poprzecznego, mo

ż

emy otrzyma

ć

 zale

ż

no

ść

: 

2

2

λ

π

σ

E

E

kr

=

 

(17.12) 

w której:  

A

P

E

kr

E

kr

=

σ

 oznacza napr

ęż

enie krytyczne Eulera. 

Na wykresie zale

ż

no

ś

ci 

kr

σ

od 

λ (rys. 17.4), wykresem funkcji 

( )

λ

σ

E

kr

 jest hiperbola, której 

zakres  wa

ż

no

ś

ci  jest  ograniczony  od  góry,  na  osi  rz

ę

dnych,  warto

ś

ci

ą

   

H

R

.  Odpowiadaj

ą

c

ą

 

tej  warto

ś

ci  napr

ęż

e

ń

  krytycznych 

kr

σ

,  smukło

ść

  nazwiemy  smukło

ś

ci

ą

  graniczn

ą

  i 

wyznaczymy z warunku: 

H

gr

gr

H

R

E

E

R

π

λ

λ

π

=

→

=

2

2

. 

(17.13)   

 

 

 

 

 

 

 

 

kr

σ

e

R

H

R

λ

gr

λ

hiperbola Eulera 

prosta  Tetmajera-Jasi

ń

skiego 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Stateczno

ść

 osiowo 

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych 

 

235 

Rys. 17.4 

Zatem  wzór  Eulera  jest  wa

ż

ny  dla  smukło

ś

ci 

gr

λ

λ

≥

  i    napr

ęż

enia  krytyczne  s

ą

  opisane 

wówczas przez hiperbol

ę

 Eulera, a pr

ę

t pracuje w zakresie linio spr

ęż

ystym. 

W praktycznych zastosowaniach potrzebujemy, jednak cz

ę

sto, analizowa

ć

 utrat

ę

 stateczno

ś

ci 

równie

ż

  w  zakresie  nieliniowo  spr

ęż

ystym  i  spr

ęż

ysto  plastycznym,  dla  których  smukło

ść

 

spełnia nierówno

ść

 

gr

λ

λ

<

≤

0

. 

W  stanach  poza  liniowo  spr

ęż

ystych  posługiwa

ć

  si

ę

    b

ę

dziemy  zale

ż

no

ś

ciami  ustalonymi 

empirycznie,  z  których  najbardziej  znanymi  s

ą

,  prosta  Tetmajera-Jasi

ń

skiego  okre

ś

lona 

wzorem: 

λ

σ

b

a

J

T

kr

−

=

−

, 

(17.14) 

oraz parabola Johnsona-Ostenfelda zdefiniowana równaniem: 

2

λ

σ

B

A

O

J

kr

−

=

−

. 

(17.15) 

W obu powy

ż

szych zale

ż

no

ś

ciach  a,

 

b, A

 oraz B to stałe materiałowe. 

Aproksymacja krzywej teoretycznej prost

ą

 Tetmajera-Jasi

ń

skiego (patrz rys. 17.4) zakłada, 

ż

e 

dla pr

ę

tów ,których smukło

ść

 

0

→

λ

 (pr

ę

tów kr

ę

pych) stan graniczny no

ś

no

ś

ci osi

ą

gany jest 

przez  uplastycznienie  a  nie  poprzez  utrat

ę

  stateczno

ś

ci  i  st

ą

d  stałe  a  i  b  we  wzorze 

wyznaczone s

ą

 z warunków : 

e

J

T

kr

R

=

−

σ

  dla 

e

R

a

=

→

= 0

λ

, 

H

J

T

kr

R

=

−

σ

 dla  

E

R

R

R

R

R

b

b

a

R

H

H

e

gr

H

e

gr

H

gr

π

λ

λ

λ

λ

−

=

−

=

→

−

=

→

=

, 

gdzie:  R

e

  - wyra

ź

na granica plastyczno

ś

ci. Zatem  ostatecznie  napr

ęż

enie krytyczne według 

Tetmajera-Jasi

ń

skiego mo

ż

na zapisa

ć

 w postaci wzoru: 

λ

π

σ

E

R

R

R

R

H

H

e

e

J

T

kr

−

−

=

−

. 

(17.16) 

17.4. Wymiarowanie osiowo ściskanych prętów z uwzględnieniem utraty stateczności  

Poprawnie  zaprojektowany  osiowo 

ś

ciskany  pr

ę

t  winien  spełnia

ć

  równocze

ś

nie  dwa, 

niezale

ż

ne od siebie warunki stanu granicznego no

ś

no

ś

ci tzn. był wytrzymały i znajdował si

ę

 

w  równowadze  statecznej.  Warunki  te  wymagaj

ą

  aby  siła  obci

ąż

aj

ą

ca    P  spełniała 

nierówno

ś

ci: 

c

R

A

P

*

≤

  i   

kr

P

P

≤

, 

gdzie: A to pole przekroju poprzecznego pr

ę

ta. 

W  praktyce  in

ż

ynierskiej  przy  projektowaniu  konstrukcji  stalowych  korzystamy  z  jednego 

warunku, wyst

ę

puj

ą

cego w Polskich Normach Budowlanych, spełniaj

ą

cego równocze

ś

nie oba 

te  kryteria.  Warunek  ten  mo

ż

na  otrzyma

ć

  wychodz

ą

c  z  nierówno

ś

ci  zapewniaj

ą

cej  

równowag

ę

 stateczn

ą

 : 

( )

A

P

P

P

kr

kr

λ

σ

≤

→

≤

. 

(17.17) 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Stateczno

ść

 osiowo 

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych 

 

236 

Uto

ż

samiaj

ą

c  na  wykresie  zale

ż

no

ś

ci 

( )

λ

σ

kr

(rys.  17.4)  wyra

ź

n

ą

  granic

ę

  plastyczno

ś

ci 

e

R

  z 

wytrzymało

ś

ci

ą

 obliczeniow

ą

 przy 

ś

ciskaniu 

c

R

 mo

ż

emy na mocy definicji napisa

ć

: 

( )

( )

c

kr

R

λ

ϕ

λ

σ

=

 

by  po wstawieniu do nierówno

ś

ci (17.17) dosta

ć

: 

( )

c

R

A

P

≤

λ

ϕ

 

(17.18) 

gdzie :  

( )

( )

c

kr

R

λ

σ

λ

ϕ

=

współczynnik wyboczeniowy. 

(17.19) 

Współczynnik  wyboczeniowy    przyjmuje  warto

ś

ci 

( )

1

≤

λ

ϕ

,  i  fizycznie  spełnia  rol

ę

 

współczynnika  redukcyjnego  pola  przekroju  poprzecznego  A

   

(czyli  tym  samym 

współczynnika  redukcyjnego  no

ś

no

ś

ci  obliczeniowej

 

pr

ę

ta),  jest  funkcj

ą

  smukło

ś

ci  oraz 

stałych materiałowych i w przedziale 

gr

λ

λ

≥

 wynosi: 

( )

2

2

λ

π

λ

ϕ

c

R

E

=

, 

a przedziale 

gr

λ

λ

<

≤

0

, przy zastosowaniu wzoru Tetmajera-Jasi

ń

skiego , przyjmuje posta

ć

: 

( )

λ

π

λ

ϕ

E

R

R

R

R

H

c

H

c

−

−

= 1

. 

Współczynniki  wyboczeniowe,  podane  w  formie  tablic  w  Polskiej  Normie  PN-90/B-03200 
dotycz

ą

cej oblicze

ń

 statycznych i projektowania konstrukcji stalowych, uwzgl

ę

dniaj

ą

 jeszcze 

inne,  dodatkowe  niezwykle  wa

ż

ne  dla  zagadnienia  utraty  stateczno

ś

ci  parametry,  takie  jak 

pocz

ą

tkowe  zniekształcenia  osi  lub  przekroju  porzecznego  pr

ę

tów  (tzw.  imperfekcje).  St

ą

d 

warto

ś

ci tych współczynników zale

ż

ne s

ą

 od tzw. smukło

ś

ci wzgl

ę

dnej 

p

λ

λ

λ

=

, gdzie 

p

λ  

jest smukło

ś

ci

ą

 porównawcz

ą

: 

c

p

R

E

15

.

1

π

λ

=

, 

(17.20) 

oraz od technologii wytwarzania (spawany, walcowany) i kształtu przekroju elementu. 
Koncepcja współczynnika wyboczeniowego funkcjonuje równie

ż

 przy wymiarowaniu pr

ę

tów 

ś

ciskanych w konstrukcjach drewnianych. 

17.5. Przykłady 
Przykład  17.5.1. 

Wyznaczy

ć

  siły  krytyczne  dla 

ś

ciskanych  osiowo  pr

ę

tów  stalowych  o 

długo

ś

ci l = 1 m , wymiarach przekroju poprzecznego 3*6 cm podpartych jak na rysunkach, 

je

ś

li 

200

=

H

R

MPa, 

215

=

e

R

MPa, 

195

=

c

R

MPa, 

205

=

E

GPa. 

 

 

 

Rozwiązanie 

l 

P

kr 

a 

P

kr 

l 

c 

P

kr 

l 

b 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Stateczno

ść

 osiowo 

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych 

 

237 

Przyjmujemy, 

ż

e  warunki  podparcia  w  obu  płaszczyznach  s

ą

  takie  same,  wi

ę

c  wyboczenie 

wyst

ą

pi  w  płaszczy

ź

nie  minimalnej  sztywno

ś

ci  zginania  i  minimalny  moment  oraz  promie

ń

 

bezwładno

ś

ci s

ą

 równe: 

50

.

13

12

3

*

6

3

min

=

=

J

cm

4

 ,    

0

.

18

6

*

3

=

=

A

cm

2

,   

866

.

0

0

.

18

5

.

13

min

min

=

=

=

A

J

i

 cm. 

Smukło

ść

  graniczna:   

6

.

100

10

*

200

10

*

205

6

9

=

=

=

π

π

λ

H

gr

R

E

 

Przypadek a

 

Smukło

ść

 pr

ę

ta:     

gr

w

i

l

λ

λ

>

=

=

=

946

.

230

866

.

0

0

.

100

*

2

min

 

Obowi

ą

zuje wzór Eulera:     

285

.

68

2

10

*

5

.

13

*

10

*

205

2

8

9

2

2

min

2

=

=

=

−

π

π

w

E

kr

l

EJ

P

 kN. 

Przypadek b 

Smukło

ść

 pr

ę

ta     

gr

w

i

l

λ

λ

>

=

=

=

473

.

115

866

.

0

0

.

100

min

 

Obowi

ą

zuje wzór Eulera:    

141

.

273

1

10

*

5

.

13

*

10

*

205

2

8

9

2

2

min

2

=

=

=

−

π

π

w

E

kr

l

EJ

P

kN. 

Przypadek c

 

Smukło

ść

 pr

ę

ta     

gr

w

i

l

λ

λ

<

=

=

=

737

.

57

866

.

0

0

.

100

*

5

.

0

min

 

Utrata  stateczno

ś

ci  wyst

ą

pi  w  zakresie  poza  liniowo  spr

ęż

ystym  i  nie  obowi

ą

zuje  wzór 

Eulera.  
Przyjmuj

ą

c aproksymacj

ę

 prost

ą

 Tetmajera-Jasi

ń

skiego otrzymamy: 

389

.

206

737

.

57

10

*

205

10

*

200

200

215

215

9

6

=

−

−

=

−

−

=

−

π

λ

π

σ

E

R

R

R

R

H

H

e

e

J

T

kr

 MPa 

500

.

371

10

*

389

.

206

*

10

*

18

*

6

4

=

=

=

−

−

−

J

T

kr

J

T

kr

A

P

σ

 kN. 

Warunek  wytrzymało

ś

ci  we  wszystkich  trzech  przypadkach  daje  dopuszczaln

ą

  sił

ę

 

obci

ąż

aj

ą

c

ą

 

0

.

351

10

*

195

*

10

*

18

6

4

=

=

≤

−

c

R

A

P

 kN. 

Przykład  17.5.2. 

Wyznaczy

ć

  sił

ę

  krytyczn

ą

  dla 

ś

ciskanego  osiowo  pr

ę

ta  stalowego  o 

długo

ś

ci  l  =  1  m  ,  wymiarach  przekroju  poprzecznego 

6

3

×

=

× h

b

cm  podpartego  jak  na 

rysunku, je

ś

li 

200

=

H

R

MPa,  

215

=

e

R

 MPa,  

205

=

E

GPa. 

 

 

 

b 

h 

Y 

Z 

Z 

l 

X 

Y 

P

kr 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Stateczno

ść

 osiowo 

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych 

 

238 

Rozwiązanie 

W  płaszczy

ź

nie  (X,  Z)  pr

ę

t  jest  jednym  ko

ń

cem  zamocowany,  a  drugi  koniec  ma  wolny, 

natomiast w płaszczy

ź

nie (X, Y) oba ko

ń

ce pr

ę

ta s

ą

 zamocowane. 

0

.

18

6

*

3

=

=

A

cm

2

,  

00

.

54

12

6

*

3

3

=

=

y

J

cm

4

,  

73

.

1

0

.

18

0

.

54

=

=

=

A

J

i

y

y

cm, 

50

.

13

12

3

*

6

3

=

=

z

J

cm

4

,  

866

.

0

0

.

18

5

.

13

=

=

=

A

J

i

z

z

 cm. 

Smukło

ść

  graniczna:   

6

.

100

10

*

200

10

*

205

6

9

=

=

=

π

π

λ

H

gr

R

E

. 

Wyboczenie w płaszczy

ź

nie (X, Z) 

Smukło

ść

 pr

ę

ta     

gr

y

w

i

l

λ

λ

>

=

=

=

607

.

115

73

.

1

0

.

100

*

2

 

Obowi

ą

zuje wzór Eulera    

141

.

273

2

10

*

0

.

54

*

10

*

205

2

8

9

2

2

2

=

=

=

−

π

π

w

y

E

kr

l

EJ

P

kN. 

Wyboczenie w płaszczy

ź

nie (X, Y) 

Smukło

ść

 pr

ę

ta     

gr

z

w

i

l

λ

λ

<

=

=

=

737

.

57

866

.

0

0

.

100

*

5

.

0

 

Utrata stateczno

ś

ci wyst

ą

pi w zakresie poza liniowo spr

ęż

ystym. 

Przyjmuj

ą

c aproksymacj

ę

 prost

ą

 Tetmajera-Jasi

ń

skiego otrzymamy: 

389

.

206

737

.

57

10

*

205

10

*

200

200

215

215

9

6

=

−

−

=

−

−

=

−

π

λ

π

σ

E

R

R

R

R

H

H

e

e

J

T

kr

 MPa, 

500

.

371

10

*

389

.

206

*

10

*

18

*

6

4

=

=

=

−

−

−

J

T

kr

J

T

kr

A

P

σ

kN. 

Siła krytyczna dla rozwa

ż

anego pr

ę

ta wynosi 

141

.

273

=

kr

P

 kN. 

Przykład  17.5.3.

2

 

Wyznaczy

ć

  sił

ę

  krytyczn

ą

  i  współczynnik  długo

ś

ci  wyboczeniowej,  pr

ę

ta 

przegubowo podpartego obci

ąż

onego osiowo dwoma siłami 

ś

ciskaj

ą

cymi jak na rysunku.  

 

 

 

 

                                                 

2

 W pierwszym wydaniu  podręcznika był błąd w rozwiązaniu tego przykładu. 

J

y 

= J

min

 

Y

 

Z

 

Z

 

X

 

P

 

2

l

2

l

P

 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Stateczno

ść

 osiowo 

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych 

 

239 

Rozwiązanie 

 
 
 
 
 
  

 
 
Reakcje w zdeformowanym pr

ę

cie w stanie równowagi oboj

ę

tnej wywołane poprzecznym 

impulsem wyznaczone z warunków równowagi wynosz

ą

 (patrz rys. wy

ż

ej):  

∑

=

→

=

kr

B

P

H

X

2

0

, 

 

∑

=

→

=

l

P

V

M

kr

B

A

δ

0

, 

 

∑

=

→

=

l

P

V

M

kr

A

B

δ

0

. 

 
Równania momentów zginaj

ą

cych , równania ró

ż

niczkowe osi wyboczonego pr

ę

ta oraz 

ogólna posta

ć

 ich rozwi

ą

zania w dwóch przedziałach charakterystycznym maj

ą

 form

ę

: 

 

2

0

1

l

x

≤

≤

 

2

0

2

l

x

≤

≤

 

( )

( )

1

1

1

1

1

x

P

x

w

P

x

M

kr

kr

δ

+

=

, 

( )

( )

2

2

2

2

2

2

x

V

x

w

P

x

M

B

kr

−

=

 

( )

( )

( )

min

A

kr

min

EJ

x

V

x

w

P

EJ

x

M

dx

x

w

d

1

1

1

1

2

1

1

1

2

+

−

=

−

=

, 

( )

( )

( )

min

B

kr

min

EJ

x

V

x

w

P

EJ

x

M

dx

x

w

d

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

−

−

=

−

=

, 

( )

( )

1

1

1

2

1

2

1

1

1

2

x

EJ

V

x

w

k

dx

x

w

d

min

A

−

=

+

 

( )

( )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x

EJ

V

x

w

k

dx

x

w

d

min

B

=

+

 

( )

( )

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

x

k

cos

B

x

k

sin

A

x

w

x

w

s

+

+

=

 

( )

( )

2

2

2

2

2

2

2

2

kx

cos

B

kx

sin

A

x

w

x

w

s

+

+

=

 

( )

1

1

1

x

P

V

x

w

kr

A

s

−

=

 

( )

2

2

2

2

x

P

V

x

w

kr

B

s

=

 

 

gdzie: 

min

kr

EJ

P

k

=

2

1

, 

min

kr

EJ

P

k

2

2

2

=

,  

( )

1

1

x

w

s

 i 

( )

2

2

x

w

s

, całki szczególne równa

ń

 niejednorodnych 

a  A

1

, B

1

, A

2

, i B

2   

to

 

stałe całkowania , które nale

ż

y wyznaczy

ć

 z kinematycznych warunków 

brzegowych. 

Kinematyczne warunki brzegowe w tym zadaniu opisuj

ą

 zale

ż

no

ś

ci: 

( )

0

0

0

1

1

1

=

→

=

B

w

/

 

( )

0

0

0

2

2

2

=

→

=

B

w

/

 

B

A

δ

V

A 

w

1

(x

1

)

 

w

1 

X

1 

2

l

2

l

X

2 

w

2 

H

B 

w

2

(x

2

)

 

P

kr

 

P

kr

 

V

B 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Stateczno

ść

 osiowo 

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych 

 

240 

i równania zdeformowanej osi pr

ę

ta w poszczególnych przedziałach s

ą

 nast

ę

puj

ą

ce: 

( )

1

1

1

1

1

1

x

k

sin

A

x

l

x

w

+

−

=

δ

,    

( )

2

2

2

2

2

2

kx

sin

A

x

l

x

w

+

=

δ

. 

Pozostałe dwie stałe wyznaczamy z warunków zszycia: 

( )

( )

δ

=

=

2

2

3

2

1

l

w

l

w

/

, 

 

( )

( )

2

2

4

2

1

l

w

l

w

/

'

'

−

=

. 

 

Po wykorzystaniu dwóch pierwszych, trzeci warunek daje zale

ż

no

ś

ci: 

(

)

(

)

2

1

4

3

2

1

2

3

2

2

1

1

l

k

sin

A

,

l

k

sin

A

δ

δ

=

=

, 

(a) 

a czwarty równanie: 

(

)

(

)













+

−

=

+

−

2

2

2

2

2

2

1

1

1

l

k

cos

A

k

l

l

k

cos

A

k

l

δ

δ

, 

które po wykorzystaniu (a) i relacji 

1

2

2 k

k

=

 oraz podstawieniu 

2

1

l

k

=

µ

 przyjmuje posta

ć

 

(

)

( )

0

2

1

3

2

1

2

2

3

=

−

+

µ

µ

µ

tg

tg

 

(b) 

Numeryczne rozwi

ą

zanie równania (b) daje wynik:  

2783

1.

=

µ

. 

A poniewa

ż

: 

4

2

2

1

2

l

k

=

µ

, to 

2

2

2

2

2

2

1

5362

6

4

4

l

EJ

.

l

EJ

P

l

k

min

min

kr

=

=

→

=

µ

µ

. 

Ten ostatni wynik mo

ż

emy zapisa

ć

 w formie: 

(

)

2

2

229

1

l

.

EJ

P

min

kr

π

=

, 

zatem współczynnik długo

ś

ci wyboczeniowej 

229

1.

=

α

. 

Przykład 17.5.4. 

Wyznaczy

ć

 sił

ę

 krytyczn

ą

 i współczynnik długo

ś

ci wyboczeniowej 

ś

ciskanego osiowo pr

ę

ta pryzmatycznego obci

ąż

onego jak na rysunku.  

 

 

 

 

Rozwiązanie 

Moment zginaj

ą

cy  w wyboczonym pr

ę

cie wynosi:  

 

J

y 

= J

min

 

Y

 

Z

 

Z

 

X

 

P

 

l

 

w

(x)

 

X

 

P

kr

 

l

 

B

 

A

 

V

A 

w

(x)

 

V

B 

P

kr

 

M

B 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Stateczno

ść

 osiowo 

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych 

 

241 

( )

( )

x

V

x

w

P

x

M

A

kr

−

=

. 

 

Reakcja pionowa  V

A

 jest konsekwencj

ą

 utwierdzenia na podporze B w wyniku czego  

wyst

ę

puje tam moment zginaj

ą

cy (moment utwierdzenia). 

 
Zatem:  

( )

( )

min

EJ

x

V

x

w

P

x

w

A

kr

−

−

=

′′

. 

 

Kolejne ró

ż

niczkowania tego równania daj

ą

: 

( )

( )

min

EJ

V

x

w

P

x

w

A

kr

−

′

−

=

′′

′

,    

( )

( )

min

EJ

x

w

P

x

w

kr

IV

′′

−

=

. 

To równanie ró

ż

niczkowe czwartego rz

ę

du

 

zapiszemy w formie: 

( )

( )

0

2

=

′′

+

x

w

k

x

w

IV

, 

(a) 

gdzie: 

min

2

EJ

P

k

kr

=

. 

Całk

ę

 ogóln

ą

 równania (a) mo

ż

na zapisa

ć

 w postaci: 

( )

kx

C

kx

C

x

C

C

x

w

cos

sin

4

3

2

1

+

+

+

=

. 

Stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych: 

1/ 

( )

4

1

4

1

0

0

0

C

C

C

C

w

−

=

→

=

+

→

=

, 

2/ 

( )

0

0

0

4

=

→

=

′′

C

w

, 

3/ 

( )

0

sin

0

3

2

=

+

→

=

kl

C

l

C

l

w

, 

4/ 

( )

0

cos

0

3

2

=

+

→

=

′

kl

k

C

C

l

w

. 

Pewnego obja

ś

nienia wymaga drugi kinematyczny warunek brzegowy. Jego sens fizyczny, 

oznaczaj

ą

cy zerowanie si

ę

 momentu zginaj

ą

cego w punkcie A (podpora przegubowo 

przesuwna) staje si

ę

 oczywisty, je

ś

li zauwa

ż

ymy, 

ż

e:  

( )

( )

min

EJ

x

w

x

M

′′

−

=

 

Z dwóch ostatnich warunków otrzymujemy równanie: 

kl

kl

tg

=

, 

którego najmniejszy dodatni, ró

ż

ny od zera pierwiastek ma warto

ść

 

4934

.

4

=

kl

. 

Tak wi

ę

c: 

 

2

min

2

min

2

1906

.

20

4934

.

4

l

EJ

l

EJ

P

kr

=

=

,  

lub inaczej: 
 

(

)

(

)

2

min

2

2

min

2

7

.

0

*

6992

.

0

l

EJ

l

EJ

P

kr

π

π

≈

=

. 

Współczynnik długo

ś

ci wyboczeniowej dla takiego pr

ę

ta wynosi

7

.

0

=

α

. 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Stateczno

ść

 osiowo 

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych 

 

242 

Przykład  17.5.5. 

Wyznaczy

ć

  sił

ę

  krytyczn

ą

  i  współczynnik  długo

ś

ci  wyboczeniowej 

ś

ciskanego osiowo pr

ę

ta pryzmatycznego obci

ąż

onego jak na rysunku.  

 

 

 

 

Rozwiązanie 

Moment zginaj

ą

cy  w wyboczonym pr

ę

cie wynosi:  

 

 

 
 
 

 

 

( )

( )

A

kr

M

x

w

P

x

M

−

=

. 

 

St

ą

d równanie ró

ż

niczkowe osi wyboczonego pr

ę

ta ma posta

ć

: 

( )

( )

min

EJ

x

w

P

M

x

w

kr

A

−

=

′′

 

Tak jak w poprzednim przykładzie, kolejne ró

ż

niczkowania tego równania daj

ą

: 

( )

( )

min

EJ

x

w

P

x

w

kr

′

−

=

′′

′

,    

( )

( )

min

EJ

x

w

P

x

w

kr

IV

′′

−

=

,  

( )

( )

0

2

=

′′

+

x

w

k

x

w

IV

, 

(a) 

gdzie: 

min

2

EJ

P

k

kr

=

. 

Całk

ę

 ogóln

ą

 równania (a) mo

ż

na zapisa

ć

 w postaci: 

( )

kx

C

kx

C

x

C

C

x

w

cos

sin

4

3

2

1

+

+

+

=

. 

Stałe całkowania wyznaczymy z warunków brzegowych, ale zanim je sformułujemy zwró

ć

my 

uwag

ę

 na zale

ż

no

ść

 mi

ę

dzy trzeci

ą

 pochodn

ą

 ugi

ę

cia i sił

ą

 poprzeczn

ą

. Wiemy ju

ż

, 

ż

e: 

( )

( )

min

EJ

x

w

x

M

′′

−

=

,  

wi

ę

c po obustronnym ró

ż

niczkowaniu  otrzymamy: 

( )

( )

min

EJ

x

w

x

M

′′

′

−

=

′

, 

  ale  

( )

( )

x

Q

x

M

=

′

,   zatem  

( )

( )

min

EJ

x

w

x

Q

′′

′

−

=

. 

Indeks „min” przy momencie bezwładno

ś

ci w ogólnym przypadku zale

ż

no

ś

ci ró

ż

niczkowych 

mi

ę

dzy momentem zginaj

ą

cym, sił

ą

 poprzeczn

ą

 i odpowiednimi pochodnymi funkcji ugi

ę

cia 

winien by

ć

 zast

ą

piony indeksem  wskazuj

ą

cym o

ś

 zginania. 

Kinematyczne warunki brzegowe w tym pr

ę

cie maj

ą

 posta

ć

: 

J

y 

= J

min

 

Y

 

Z

 

Z

 

X

 

P

 

l

 

B

 

A

 

w

(x)

 

X

 

P

kr 

l

 

w

(x)

 

M

A 

M

B 

P

kr 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Stateczno

ść

 osiowo 

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych 

 

243 

1/ 

( )

0

0

0

4

1

=

+

→

=

C

C

w

, 

2/ 

( )

3

2

3

2

0

0

0

kC

C

kC

C

w

−

=

→

=

+

→

=

′

, 

3/ 

( )

0

sin

cos

0

4

3

2

=

−

+

→

=

′

kl

kC

kl

kC

C

l

w

, 

4/ 

( )

0

sin

cos

0

4

3

3

3

=

+

−

→

=

′′

′

kl

C

k

kl

C

k

l

w

. 

Czwarty kinematyczny warunek brzegowy mówi o zerowaniu si

ę

 siły poprzecznej na 

podporze B. 

Podstawienie do warunku trzeciego, 

3

2

kC

C

−

=

 z warunku drugiego i 

kl

kl

C

C

sin

cos

3

4

=

 z 

warunku czwartego daje zale

ż

no

ść

: 

0

sin

3

=

kl

C

. 

Stała całkowania 

3

C

 nie mo

ż

e by

ć

 równa zeru  bo wówczas zeruj

ą

 si

ę

 pozostałe stałe 

całkowania i 

( )

0

=

x

w

, co przeczy zało

ż

onej krzywoliniowej formie wyboczonego pr

ę

ta, 

wi

ę

c:  

,....

3

,

2

,

1

,

0

sin

=

=

→

=

n

l

n

k

kl

π

 

Najmniejszy pierwiastek tego równania daje sił

ę

 krytyczn

ą

 o warto

ś

ci: 

2

min

2

l

EJ

P

kr

π

=

,  z której wynika i

ż

 współczynnik długo

ś

ci wyboczeniowej dla takiego pr

ę

ta  

1

=

α

. 

Przykład 17.5.6. 

O jak

ą

 warto

ść

 

T

∆  musi wzrosn

ąć

 temperatura otoczenia obustronnie 

zamocowanego pr

ę

ta stalowego, o długo

ś

ci l = 12 m i przekroju zło

ż

onego z dwóch 

k

ą

towników równoramiennych 150*150*12, aby utracił on swoj

ą

 stateczno

ść

. Stałe 

materiałowe pr

ę

ta wynosz

ą

: moduł Younga E = 205 GPa, granica proporcjonalno

ś

ci R

H

 = 200 

MPa, współczynnik rozszerzalno

ś

ci cieplnej liniowej 

C

T

o

/

10

*

12

6

−

=

ε

. 

 

 

 

Siła krytyczna dla pr

ę

ta obustronnie zamocowanego pracuj

ą

cego w zakresie liniowo 

spr

ęż

ystym ma warto

ść

: 

2

min

2

w

E

kr

l

EJ

P

π

=

,  gdzie: 

l

l

w

5

.

0

=

 

Pod wpływem podniesienia temperatury o 

T

∆  pr

ę

t podparty w sposób nieskr

ę

powany mo

ż

e 

si

ę

 wydłu

ż

y

ć

 o 

l

T

l

T

∆

ε

∆

=

. Poniewa

ż

 pr

ę

t jest zamocowany to wydłu

ż

enie redukowane jest 

do zera przez 

ś

ciskaj

ą

c

ą

 sił

ę

 osiow

ą

  P spełniaj

ą

c

ą

 zale

ż

no

ść

:  

l

EA

l

T

P

l

EA

l

P

T

∆

ε

∆

=

→

=

. 

X

 

l = 12 m

 

Z

0 

Z

0 

Y

0 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Stateczno

ść

 osiowo 

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych 

 

244 

Z porównania obu tych sił otrzymamy krytyczn

ą

 warto

ść

 zmiany temperatury otoczenia, przy 

której pr

ę

t utraci sw

ą

 stateczno

ść

: 

2

2

2

min

2

λ

ε

π

∆

π

∆

ε

T

w

T

T

l

EJ

l

EA

l

T

=

→

=

,    

gdzie:  

min

i

l

w

=

λ

. 

Potrzebujemy wyliczy

ć

 minimalny promie

ń

 bezwładno

ś

ci przekroju. 

Z tablic profili walcowanych odczytujemy dane dla jednego k

ą

townika 

 

Z tablic profili walcowanych odczytujemy 
dane dla jednego k

ą

townika 

Pole przekroju: A = 34.9 cm

2

, 

główne centralne momenty bezwładno

ś

ci: 

1186

=

ξ

J

 cm

4

, 

305

=

η

J

 cm

4

. 

 

 

 

Główne centralne osie bezwładno

ś

ci przekroju tego pr

ę

ta to 

jego osie symetrii. Momenty bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem tych osi 

maj

ą

 warto

ść

: 

2372

1186

*

2

*

2

=

=

=

ξ

J

J

y

 cm

4

, 

(

)

[

]

=

+

=

2

2

*

15

.

4

2

A

J

J

z

η

 

(

)

[

]

261

.

3014

2

*

15

.

4

9

.

34

305

2

2

=

+

=

 cm

4

. 

Minimalny promie

ń

 bezwładno

ś

ci: 

829

.

5

8

.

69

2372

min

=

=

=

y

i

i

cm. 

Smukło

ść

: 

934

.

102

829

.

5

1200

*

5

.

0

min

=

=

i

l

w

λ

. 

Poniewa

ż

 do oblicze

ń

 przyj

ę

to sił

ę

 krytyczn

ą

 Eulera, nale

ż

y sprawdzi

ć

 czy smukło

ść

 pr

ę

ta 

jest wi

ę

ksza od smukło

ś

ci granicznej. 

58

.

100

200

10

*

205

3

=

=

=

π

π

λ

H

gr

R

E

, zatem 

gr

λ

λ

>

. 

Zmiana temperatury otoczenia powoduj

ą

ca utrat

ę

 stateczno

ś

ci rozwa

ż

anego pr

ę

ta wynosi: 

62

.

77

934

.

102

*

10

*

12

2

6

2

2

2

=

=

=

−

π

λ

ε

π

∆

T

T

°C. 

10.85 

4.15 

4.15 

10.85 

ξ

 

45

° 

η

 

wymiary w cm 

Y 

Z 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Stateczno

ść

 osiowo 

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych 

 

245 

Je

ś

li zmienione zostan

ą

 warunki podparcia pr

ę

ta z zamocowanych na przegubowe, to 

wówczas jego smukło

ść

 b

ę

dzie równa: 

867

.

205

829

.

5

1200

*

1

min

=

=

=

i

l

w

λ

,  

a krytyczna zmiana temperatury b

ę

dzie wynosi

ć

: 

41

.

19

867

.

205

*

10

*

12

2

6

2

2

2

=

=

=

−

π

λ

ε

π

∆

T

T

°C. 

17.6. Zastosowanie metody energetycznej przy wyznaczaniu siły krytycznej 

Rozwi

ą

zanie zagadnienia utraty stateczno

ś

ci drog

ą

 całkowania równania ró

ż

niczkowego 

krzywoliniowej postaci pr

ę

ta w bardziej zło

ż

onych przypadkach obci

ąż

enia czy jego 

geometrii, cz

ę

sto prowadzi do skomplikowanych równa

ń

 ró

ż

niczkowych o zmiennych 

współczynnikach, których rozwi

ą

zanie wymaga zło

ż

onych metod matematycznych i bywa 

przyczyn

ą

 braku zamkni

ę

tych rozwi

ą

za

ń

 analitycznych.  

W takich przypadkach ch

ę

tnie korzystamy z metod energetycznych, umo

ż

liwiaj

ą

cych szybkie 

otrzymanie przybli

ż

onego rozwi

ą

zania. Dalej omówimy metod

ę

 Timoshenki - Ritza 

wyznaczania siły krytycznej wykorzystuj

ą

c

ą

 twierdzenie o minimum całkowitej energii 

potencjalnej układu. Twierdzenie to mówi, 

ż

e: w poło

ż

eniu równowagi stałej całkowita 

energia potencjalna układu

 

Π

zdefiniowana wzorem: 

z

w

L

L

−

=

Π

,   

(17.21) 

gdzie: 

z

L

 - praca sił zewn

ę

trznych, 

w

L

 - praca sił wewn

ę

trznych, osi

ą

ga minimum. 

We wspomnianej metodzie zakładamy równanie odkształconej osi pr

ę

ta odpowiadaj

ą

ce 

kinematycznym i statycznym warunkom brzegowym: 

( )

( )

x

f

C

x

w

m

n

m

m

∑

=

=

1

,

 

(17.22)

 

i dalej na podstawie zało

ż

onego równania odkształconej osi pr

ę

ta obliczamy prac

ę

 sił 

zewn

ę

trznych  oraz  prac

ę

 sił wewn

ę

trznych , a nast

ę

pnie rozpisujemy układ równa

ń

 

0

=

∂

∂

m

C

Π

. 

(17.23) 

Otrzymany w ten sposób układ równa

ń

 (17.23) jest układem równa

ń

 liniowych jednorodnych 

ze wzgl

ę

du na współczynniki 

m

C

. Z przyrównania do zera wyznacznika tego układu 

wyznaczamy przybli

ż

on

ą

 warto

ść

 siły krytycznej. 

Uzyskana t

ą

 metod

ą

 siła krytyczna ma warto

ść

 zawsze wi

ę

ksza od dokładnej, i tym bli

ż

sz

ą

 

dokładnej im bli

ż

sz

ą

 rzeczywistej jest zało

ż

ona posta

ć

 ugi

ę

tej osi pr

ę

ta w stanie 

krzywoliniowej równowagi. 
Je

ż

eli w miejsce sko

ń

czonego szeregu funkcji (17.22) przyjmiemy, 

ż

e zdeformowan

ą

 o

ś

 

opisuje jedna funkcja: 

( )

( )

x

f

C

x

w

=

,  

to w miejsce układu równa

ń

 (17.23) otrzymujemy jedno równanie z którego wyznaczamy sił

ę

 

krytyczn

ą

 prostym wzorem zawieraj

ą

cym pierwsz

ą

 i drug

ą

 pochodn

ą

 funkcji 

( )

x

f

. W celu 

jego wyprowadzenia rozwa

ż

my pr

ę

t pokazany ni

ż

ej na rys. 

 
 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Stateczno

ść

 osiowo 

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych 

 

246 

 
 
 

 
 
 
 
 

Praca sił wewn

ę

trznych, która równa si

ę

 energii spr

ęż

ystej układu, przy pomini

ę

ciu wpływu 

sił podłu

ż

nych wynosi: 

( )

dx

EJ

x

M

U

L

l

y

y

w

∫

=

=

0

2

2

. 

Uwzgl

ę

dniaj

ą

c, zwi

ą

zek ró

ż

niczkowy mi

ę

dzy momentem zginaj

ą

cym i drug

ą

 pochodn

ą

 linii 

ugi

ę

cia 

( )

x

w

EJ

M

''

y

y

−

=

, otrzymujemy: 

( )

( )

[

]

( )

[

]

∫

∫

∫

=

=

=

=

l

''

y

l

''

y

l

y

y

w

dx

x

f

EJ

C

dx

x

w

EJ

dx

EJ

x

M

U

L

0

2

2

0

2

0

2

2

2

2

. 

Aby obliczy

ć

 prac

ę

 sił zewn

ę

trznych potrzebujemy wyznaczy

ć

 poziome przemieszczenia u . 

Wyliczymy je jako ró

ż

nic

ę

 mi

ę

dzy długo

ś

ci

ą

 pierwotn

ą

 l a rzutem zdeformowanej osi pr

ę

ta 

na o

ś

 X.  

Z rysunku pokazanego wy

ż

ej, łatwo obliczymy zale

ż

no

ść

 mi

ę

dzy dowolnie małym odcinkiem 

pr

ę

ta dx i dowolnie małym przemieszczenie jego ko

ń

ca du: 

(

)

α

cos

dx

du

−

=

1

. 

Poniewa

ż

 k

ą

t 

α

 jest mały to: 

( )

x

w

tg

sin

'

=

≈

≈

α

α

α

 i kolejno przekształcenia daj

ą

: 

(

)

( )

[

]

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

1

x

w

tg

tg

sin

cos

'

=













≈













≈

≈

=

−

α

α

α

α

α

 

 
St

ą

d całkowite przemieszczenie u wynosi: 

(

)

( )

[

]

( )

[

]

dx

x

f

C

dx

x

w

dx

u

l

l

l

∫

∫

∫

=

=

−

=

0

2

'

2

0

2

'

0

2

2

1

cos

1

α

, i 

i praca sił zewn

ę

trznych jest równa: 

( )

[

]

dx

x

f

C

P

u

P

L

l

z

∫

=

=

0

2

'

2

2

. 

Całkowita energia potencjalna analizowanego pr

ę

ta jest równa: 

 

 

( )

[

]

( )

[

]

∫

∫

−

=

=

−

=

Π

l

l

y

z

w

dx

x

f

C

P

dx

x

f

EJ

C

U

L

L

0

2

'

2

0

2

''

2

2

2

, 

i przyrównanie do zera jej pochodnej wzgl

ę

dem stałego współczynnika

C

daje równanie  

 

w(x)

 

X

 

P 

u

P 

l 

J

y 

= J

min

 

Y

 

Z

 

α

 

dx 

du 

X 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Stateczno

ść

 osiowo 

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych 

 

247 

( )

[

]

( )

[

]

0

0

2

0

2

=

−

=

∫

∫

l

'

l

''

y

dx

x

f

PC

dx

x

f

EJ

C

C

d

d

Π

, 

 
z którego otrzymujemy poszukiwany wzór na sił

ę

 krytyczn

ą

: 

 
 

( )

[

]

( )

[

]

∫

∫

=

l

l

''

min

kr

dx

x

'

f

dx

x

f

EJ

P

0

2

0

2

. 

(17.24) 

 

17.6.1. Przykłady 

 

Przykład 17.6.1.1. 

Wyznaczy

ć

 sił

ę

 krytyczn

ą

 i współczynnik długo

ś

ci wyboczeniowej, pr

ę

ta 

przegubowo podpartego obci

ąż

onego osiowo dwoma siłami 

ś

ciskaj

ą

cymi jak na rysunku.  

 
 
 
 
 
 
Zakładamy równanie odkształconej osi pr

ę

ta w postaci: 

 

( )

l

x

sin

C

x

w

π

=

,  

(a) 

które spełnia kinematyczne warunki brzegowe - zerowanie si

ę

 ugi

ę

cia na podporach oraz 

statyczne warunki brzegowe -  zerowanie si

ę

 tam momentów  zginaj

ą

cych.  

 
 
 
 
 
 
 
 
Praca sił wewn

ę

trznych wynosi: 

( )

( )

[

]

2

3

4

0

2

4

4

2

0

2

0

2

4

2

2

2

C

l

EJ

dx

l

x

sin

l

C

EJ

dx

x

w

EJ

dx

EJ

x

M

U

L

y

l

y

l

''

y

l

y

y

w

π

π

π

=

=

=

=

=

∫

∫

∫

 

 
Przemieszczenie punktu przyło

ż

enia siły na lewej podporze jest równe: 

 

( )

[

]

l

C

dx

l

x

cos

l

C

dx

x

w

u

l

l

'

4

2

2

1

2

2

0

2

2

2

2

0

2

π

π

π

=

=

=

∫

∫

, 

st

ą

d całkowita  praca sił zewn

ę

trznych wynosi: 

 

J

y 

= J

min

 

Y

 

Z

 

Z

 

X

 

P

 

2

l

2

l

P

 

w

 

X

 

2

u

P 

P 

u

2

l

2

l

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Stateczno

ść

 osiowo 

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych 

 

248 

2

2

8

3

2

C

l

P

u

P

u

P

L

z

π

=

+

=

. 

Całkowita energia potencjalna analizowanego pr

ę

ta jest równa: 

  

2

1

2

2

1

3

4

8

3

4

C

l

P

C

l

EJ

L

L

y

z

w

π

π

Π

−

=

−

=

, i przyrównanie do zera jej pochodnej wzgl

ę

dem 

współczynnika

C

daje równanie:  

 

0

4

3

2

2

3

4

=

−

=

C

l

P

C

l

J

E

C

d

d

y

π

π

Π

 , 

z którego wyznaczamy poszukiwane warto

ś

ci siły krytycznej i współczynnika długo

ś

ci 

wyboczeniowej 

(

)

2

2

2

2

225

1

3

2

l

.

J

E

l

J

E

P

min

min

kr

π

π

=

=

.  

Siła krytyczna dla tego pr

ę

ta otrzymana metod

ą

 całkowania równania ró

ż

niczkowego (patrz 

przykład 17.5.3) wyniosła  

 

(

)

2

2

2

229

1

5362

6

l

.

EJ

l

EJ

.

P

min

min

kr

π

=

=

, 

st

ą

d bł

ą

d  rozwi

ą

zania metod

ą

 energetyczn

ą

 wynosi 0.67 %. 

Policzmy ponownie to zadanie przy zało

ż

onym innym równaniu odkształconej osi pr

ę

ta. 

Przyjmijmy teraz równanie w formie:  

( )

(

)

x

l

x

l

C

x

w

−

=

2

, 

(b) 

które spełnia kinematyczne warunki brzegowe ale nie daje zerowania si

ę

 momentów 

zginaj

ą

cych na podporach bo: 

( )

(

)

x

l

l

C

x

w

2

2

'

−

=

 ,  

( )

2

''

2

l

C

x

w

−

=

, i druga pochodna jest ró

ż

na od zera. Zatem równanie (b) 

jest „gorsze” od równania (a) i zobaczymy jaki to b

ę

dzie miało wpływ na warto

ść

 siły 

krytycznej. 
Kolejno obliczamy:  

moment zginaj

ą

cy: 

( )

2

2

l

C

EJ

x

w

EJ

M

y

''

y

y

=

−

=

,  

prac

ę

 sił wewn

ę

trznych: 

( )

2

3

0

2

4

0

2

2

2

2

C

l

EJ

dx

C

l

EJ

dx

EJ

x

M

U

L

y

l

y

l

y

y

w

=

=

=

=

∫

∫

, 

przemieszczenie lewej podpory: 

( )

[

]

(

)

l

C

dx

x

l

l

C

dx

x

w

u

l

l

'

6

2

2

2

1

2

0

2

4

2

0

2

=

−

=

=

∫

∫

, 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Stateczno

ść

 osiowo 

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych 

 

249 

prac

ę

 sił zewn

ę

trznych:  

P

l

C

Pu

u

P

u

P

L

z

4

2

3

2

2

=

=

+

=

, 

całkowit

ą

 energi

ę

 potencjaln

ą

 pr

ę

ta:  

P

l

C

C

l

EJ

L

L

y

z

w

4

2

2

2

3

−

=

−

=

Π

, 

aby z zerowania si

ę

 jej pochodnej: 

0

8

3

=

−

−

=

C

l

P

C

l

J

E

C

d

d

y

Π

, wyznaczy

ć

 sił

ę

 krytyczn

ą

: 

(

)

2

2

2

111

1

8

l

.

J

E

l

J

E

P

min

min

kr

π

=

=

. 

Tym razem bł

ą

d rozwi

ą

zania metod

ą

 energetyczn

ą

 wynosi 18.30 %.  

 

Przykład  17.6.1.2. 

Wyznaczy

ć

  sił

ę

  krytyczn

ą

,  pr

ę

ta  przegubowo  podpartego,  o  skokowo 

zmiennym  momencie  bezwładno

ś

ci  obci

ąż

onego  osiowo  dwoma  siłami 

ś

ciskaj

ą

cymi  jak  na 

rysunku.  

 

 

 

 
Zakładamy równanie odkształconej osi pr

ę

ta w postaci: 

 

( )

l

x

sin

C

x

w

π

=

. 

 

Równanie momentów zginaj

ą

cych przyjmuje form

ę

: 

( )

l

x

sin

l

EJ

C

x

w

EJ

M

y

''

y

y

π

π

2

2

=

−

=

,  

prac

ę

 sił wewn

ę

trznych jest równa:  

2

3

4

4

4

2

4

4

2

2

2

4

4

2

2

0

2

4

4

2

8

3

4

2

2

4

2

2

2

2

C

l

EJ

l

l

C

EJ

l

l

C

EJ

dx

l

x

sin

l

C

EJ

dx

l

x

sin

l

C

EJ

L

y

y

y

l

l

y

l

y

w

π

π

π

π

π

π

π

=

=

+

=

+

=

∫

∫

. 

Przemieszczenia zewn

ę

trznych sił 

ś

ciskaj

ą

cych jak i praca tych sił s

ą

 takie same jak w 

przykładzie 17.6.1.1.  

2

2

8

3

2

C

l

P

u

P

u

P

L

z

π

=

+

=

. 

St

ą

d całkowita energia potencjalna analizowanego pr

ę

ta wynosi: 

  

J

y 

= J

min

 

Y

 

Z

 

Z

 

X

 

P

 

2

l

2

l

P

 

J

y 

 

2J

y 

 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Stateczno

ść

 osiowo 

ś

ciskanych pr

ę

tów prostych 

 

250 

2

2

2

3

4

8

3

8

3

C

l

P

C

l

EJ

L

L

y

z

w

π

π

Π

−

=

−

=

. 

 Z przyrównanie do zera jej pochodnej wzgl

ę

dem stałego współczynnika

C

otrzymujemy:  

 

2

2

l

J

E

P

min

kr

π

=

. 

Przykład 17.6.1.3. 

 

Wyznaczy

ć

  krytyczn

ą

  warto

ść

  obci

ąż

enia  pr

ę

ta 

wspornikowego,  jak  na  rysunku  obok,  o 
przekroju 

A

 

obci

ąż

onego 

tylko 

ci

ęż

arem 

własnym 

γ .  

 

Mamy  tutaj  do  czynienia  z  zagadnieniem  utraty  stateczno

ś

ci  pr

ę

ta 

ś

ciskanego  osiowo 

obci

ąż

eniem ci

ą

głym 

A

q

γ

=

 równomiernie rozło

ż

onym wzdłu

ż

 jego osi.  

Moment  zginaj

ą

cy  w  dowolnym  przekroju  pr

ę

ta 

przy  zdeformowanej  jego  osi  (patrz  rys.  obok) 
wynosi: 

( )

( )

( )

[

]

∫

−

=

l

x

y

d

x

w

q

x

M

ξ

ξ

η

,  gdzie: 

A

q

γ

=

. 

 

Równanie ró

ż

niczkowe ugi

ę

tej osi pr

ę

ta ma posta

ć

: 

( )

( )

( )

[

]

ξ

ξ

η

d

x

w

q

x

d

x

w

d

EJ

l

x

y

∫

−

=

2

2

. 

Powy

ż

sze  równanie  ró

ż

niczkowe  o  zmiennych  współczynnikach  mo

ż

na  rozwi

ą

za

ć

  stosuj

ą

c 

niesko

ń

czone  szeregi  otrzymuj

ą

c  (patrz  np.  S.P.Timoshenko,  R.Gere:  Teoria  stateczno

ś

ci 

spr

ęż

ystej. Arkady, Warszawa 1963) w wyniku:  

( )

(

)

2

min

2

2

min

122

.

1

837

.

7

l

EJ

l

EJ

ql

kr

π

=

=

. 

(c) 

Teraz przykład ten rozwi

ąż

emy stosuj

ą

c metod

ę

 energetyczn

ą

. 

Przyjmijmy lini

ę

 ugi

ę

cia w postaci: 

( )













−

=

l

x

cos

C

x

w

2

1

π

,  która  spełnia  kinematyczne  warunki  brzegowe  (zerowanie  si

ę

  ugi

ę

cia  i 

k

ą

ta ugi

ę

cia w utwierdzeniu). 

Przy przyj

ę

tej formie linii ugi

ę

cia moment zginaj

ą

cy okre

ś

la zale

ż

no

ść

: 

 

w(x)

 

l 

X

 

x 

ξ

l 

( )

ξ

η

w

 

q

 

Y

 

Z

 

l 

X

 

Z

 

J

y 

= J

min