1. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW

PROSTYCH
2. POSTACI UTRATY

STATECZNOŚCI
3. METODY OKREŚLANIA SIŁY

KRYTYCZNEJ

ZAGADNIENIE NR 3:

1. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW
PROSTYCH

Postaci stateczności (równowagi):
-równowaga stateczna E.p=min
-równowaga niestateczna E.p=max
-równowaga obojętna E.p=const

Jeżeli po dowolnie małym
wychyleniu z pierwotnego
położenia równowagi ruch ciała
jest taki, że wychylenia jego
punktów nie są większe od tych
początkowych to taka równowagę
nazywamy stateczną (trwałą).
W przeciwnym przypadku
równowaga jest niestateczna
(nietrwała, chwiejna).
Można jeszcze wyróżnić
szczególne położenie równowagi
zwane równowagą obojętną, w
której punkty ciała pozostają w
położeniu po wychyleniu.

Rozważmy, ściskany osiowo siła P pręt przegubowo podparty na obu
końcach, wykonany z materiału liniowo sprężystego o module Younga
E i nadajmy mu jakimś impulsem poprzecznym dowolnie małe
początkowe ugięcie w płaszczyźnie najmniejszej sztywności zginania.
Jeżeli po usunięciu przyczyny ugięcia powróci on do swej
początkowej prostoliniowej postaci, oznacza to, że znajduje się w
równowadze statecznej. W przeciwnym przypadku będziemy mieli do
czynienia z równowagą nie stateczną

Gdy siła osiągnie wartość krytyczną Pkr pręt traci
stateczność (ulega wyboczeniu), a jego ugięcia mogą
być dowolnie duże. Wyboczenie jest to zatem utrata
przez ściskany pręt stanu równowagi statecznej na
rzecz równowagi obojętnej lub niestatecznej.

Postaci wyboczenia

•

giętna- pręt ulega wygięciu w płaszczyźnie najmniejszej jego sztywności (a)

•

skrętna- pręt skręca się wokół osi podłużnej (b)

•

giętno-skrętna- następuje wygięcie pręta z równoczesnym jego skręceniem (c)

Z utratą stateczności mamy do czynienia, gdy niewielka zmiana
przyczyny powoduje bardzo dużą zmianę skutku. W momencie gdy
dochodzi do utraty stateczności dochodzi do wyboczenia pręta

2. POSTACI UTRATY STATECZNOŚCI

Możliwość utraty stateczności pręta zależy od jego
smukłości. W miarę wzrostu długości wyboczeniowej pręta
l

w

, rośnie jego wrażliwość na utratę stateczności ogólnej.

Długość wyboczeniowa związana jest ze
współczynnikiem wyboczeniowym α.

l

w

=α*l

Od czego zależy stateczność
pręta?

Postaci wyboczenia (utraty
stateczności)

Wraz ze zwiększaniem wartości siły P dojdziemy do sytuacji, w której
pręt po usunięciu przyczyny początkowego ugięcia pozostanie
krzywoliniowy (nie powróci do swej pierwotnej prostoliniowej formy).
Oznacza to, że tym razem pręt znajduje się w stanie równowagi
obojętnej, a siłę, przy której to nastąpiło nazywać będziemy siła
krytyczna P

kr

. Tak wiec:

siła krytyczna to siła, przy której osiowo ściskany pręt
znajduje się w stanie równowagi obojętnej.

3. METODY OKREŚLANIA SIŁY KRYTYCZNEJ

Aby obliczyć siłę krytyczną układamy równanie różniczkowe
ugięcia pręta.

EI*w’’=-M(x)

Ponieważ:

istnienie nieskończenie wiele rozwiązań tego równania

Najważniejsza jest najmniejsza
siła (czyli kiedy n=1):

Taka postać siły krytycznej P

kr

nazywana jest siłą Eulera

Sile krytycznej odpowiadają powstałe
w pręcie naprężenia krytyczne

gdzie:

λ=l

w

/i

min

- smukłość

l

w

=α*l – długość wyboczeniowa

i

min

- minimalnym promieniem

bezwładności przekroju poprzecznego

Należy pamiętać, że wzór Eulera można
stosować tylko w zakresie wyboczenia
sprężystego

.

Granicę proporcjonalności σ

dop

utożsamiamy z granicą sprężystości.

Jeżeli zjawisko wyboczenia zachodzi przy
naprężeniach większych niż granica
proporcjonalności,
σ

kr

> σ

dop

,

wówczas mamy do czynienia z
wyboczeniem niesprężystym.

Dla zakresu niesprężystego naprężenia
krytyczne możemy wyznaczać za pomocą
wzorów empirycznych

Tetmajera-Jasińskiego

σ

kr

=a-b*λ

Johnsona-Ostenfelda

σ

kr

=A-B*λ

2

a, b, A, B stałe zależące od rodzaju
materiału

DZIĘKUJĘ ZA
UWAGĘ

Źródła:



Bodnar A.: Wytrzymałość Materiałów



Kozłowski A., Konstrukcje Stalowe



Paluch M., Mechanika Budowli



Siemieniec A., Wolny S.,
Wytrzymałość Materiałów I



http://limba.wil.pk.edu.pl/~jg/wyklady
_wm/dzienne/wyboczenie/wybocz.pdf