KOD ZDAJĄCEGO

MMA-P1D1P-021

EGZAMIN MATURALNY

Z MATEMATYKI

POZIOM PODSTAWOWY

Arkusz I

Czas pracy 120 minut

Instrukcja dla zdającego

1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 8 stron.

Ewentualny brak należy zgłosić przewodniczącemu zespołu
nadzorującego egzamin.

2. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu

na to przeznaczonym przy każdym zadaniu.

3. Proszę pisać tylko w kolorze niebieskim lub czarnym; nie pisać

ołówkiem.

4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania

prowadzący do ostatecznego wyniku.

5. Nie wolno używać korektora.
6. Błędne zapisy trzeba wyraźnie przekreślić.
7. Brudnopis nie będzie oceniany.
8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,

którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.

9. Podczas egzaminu można korzystać z tablic matematycznych,

cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie można korzystać
z kalkulatora graficznego.

10. Do ostatniej kartki arkusza dołączona jest karta odpowiedzi,

którą wypełnia egzaminator.

Życzymy powodzenia!

ARKUSZ I

STYCZEŃ

ROK 2003

Za rozwiązanie

wszystkich zadań

można otrzymać

łącznie 40 punktów

Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)

PESEL ZDAJĄCEGO

(Wpisuje zdający przed

rozpoczęciem pracy)

Miejsce

na naklejkę

z kodem

2

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz I

Zadanie 1. (3 pkt)

Powierzchnia prostokątnej działki budowlanej równa się

. Oblicz wymiary tej

działki wiedząc, że różnią się one o 9

.

2

m

1540

m

Odpowiedź: ..................................................................................................................................

Zadanie 2. (4 pkt)

Na wspólne konto państwa Kowalskich wpływają pieniądze z ich dwóch pensji miesięcznych,
razem jest to kwota 3200 złotych. Na początku każdego miesiąca małżonkowie dzielą całość
tej kwoty. Na diagramie kołowym przedstawiono strukturę planowanych, przez państwa
Kowalskich, miesięcznych wydatków.

wyżywienie

inne
(5%)

ubrania

(12%)

gaz i energia

(14%)

czynsz

(400 zł)

Korzystając z tych danych:

a) Oblicz, ile procent danej kwoty

stanowią miesięczne wydatki
państwa Kowalskich na
wyżywienie.

b) Oblicz, ile pieniędzy wydają

państwo Kowalscy w ciągu
miesiąca łącznie, na gaz i energię
oraz czynsz.

Odpowiedź: a) .............................................................................................................................

b)..............................................................................................................................

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz I

3

Zadanie 3. (3 pkt)

Upraszczając pierwiastek kwadratowy z liczby

2

10

27

+

, zapiszemy ją w postaci kwadratu

sumy dwóch liczb. Postępujemy następująco:

( )

( )

(

)

2

5

2

5

2

2

5

2

5

2

2

10

25

2

10

27

2

2

2

+

=

+

=

+

⋅

⋅

+

=

+

+

=

+

Przeanalizuj ten przykład, a następnie, stosując analogiczne postępowanie, uprość

2

6

11

+

.

Odpowiedź: .............................................................................................................................

Zadanie 4. (4 pkt)

Równanie postaci

9

160

9

5

−

⋅

=

F

C

( )

C

, ustala zależność między temperaturą, wyrażoną

w stopniach Celsjusza

oraz Fahrenheita

(

.

)

F

a) Oblicz, ile stopni w skali Fahrenheita, ma wrząca w temperaturze 100

woda.

C

D

b) Wyznacz taką temperaturę, przy której liczba stopni w skali Celsjusza jest równa

liczbie stopni w skali Fahrenheita.

Odpowiedź: a) ............................................................................................................................

b) ............................................................................................................................

4

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz I

Zadanie 5. (4 pkt)

Dany jest trójkąt, którego dwa boki mają długości 8 cm i 12 cm, kąt zawarty między tymi
bokami ma miarę 120 . Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

D

Odpowiedź: ..................................................................................................................................

Zadanie 6. (5 pkt)

Do pewnego przepisu z książki kucharskiej należy przygotować

litra płynu. Mamy do

wyboru trzy szklanki w kształcie walca, o wewnętrznych wymiarach:
pierwsza – o średnicy

i wysokości

, druga – o średnicy

i wysokości

oraz trzecia – o średnicy

6

i wysokości

9

.

25

,

0

cm

6

cm

10

cm

8

,

5

cm

5

,

9

cm

cm

Której szklanki objętość jest najbliższa

litra? Odpowiedź uzasadnij.

25

,

0

Odpowiedź: .............................................................................................................................

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz I

5

0

Zadanie 7. (6 pkt)

Funkcja

jest określona wzorem:

.

R

R

f

→

:

12

6

)

(

2

+

−

=

x

x

x

f

a) Rozwiąż nierówność

.

19

)

(

>

−

x

f

b) Uzasadnij, że obrazem wykresu funkcji , w symetrii względem prostej o równaniu

,

f

6

=

x

nie jest parabola, określona równaniem

.

(

)

6

9

2

+

−

= x

y

Odpowiedź: a) ............................................................................................................................

6

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz I

Zadanie 8. (3 pkt)

Spośród wszystkich wierzchołków sześcianu wybieramy jednocześnie trzy wierzchołki.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy wierzchołki
trójkąta równobocznego.


















Odpowiedź: .................................................................................................................................

Zadanie 9. (3 pkt)

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich jego kątów
wewnętrznych równa się 2.

Egzamin maturalny z matematyki

Arkusz I

7

Zadanie 10. (5 pkt)

Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, podzielne przez 6 są kolejnymi wyrazami pewnego
ciągu rosnącego.

a) Zapisz wzór ogólny na n-ty wyraz tego ciągu arytmetycznego.
b) Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.
c) Oblicz sumę piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Odpowiedź: a) ............................................................................................................................

b) ............................................................................................................................

c) ............................................................................................................................

Egzamin maturalny z matematyki – Arkusz I – Poziom podstawowy – styczeń 2003 r.

SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ

ARKUSZ I – POZIOM PODSTAWOWY

Nr

zadania

Etapy rozwiązania zadania

Maksymalna

liczba punktów

za dany etap

1. Zapisanie równania, wynikającego z treści zadania,
np.:

, gdzie i

są długościami boków prostokąta.

1540

)

9

(

=

+

⋅ x

x

x

9

+

x

1p.

2. Przekształcenie równania do postaci

i rozwiązanie

tego równania.

0

1540

9

2

=

−

+ x

x

1p.

1.

(3 pkt)

3. Wybranie rozwiązania spełniającego warunki zadania i podanie
wymiarów działki: 35 oraz 44 .

m

m

1p.

4. Obliczenie, ile procent kwoty 3200 złotych stanowi kwota
przeznaczona na czynsz –

złotych: 12

.

400

%

5

,

1p.

5. Obliczenie, ile procent kwoty 3200 złotych stanowi kwota
przeznaczona na wyżywienie: 56

.

%

5

,

1p.

6. Obliczenie kwoty pieniędzy, jaką państwo Kowalscy wydają
miesięcznie na gaz i energię:

złotych.

448

1p.

2.

(4 pkt)

7. Obliczenie łącznej kwoty, jaką państwo Kowalscy wydają miesięcznie
na gaz i energię oraz czynsz: 848 złotych.

1p.

8. Zapisanie liczby

2

6

11

+

w postaci

2

2

6

9

+

+

.

1p.

9. Zapisanie liczby

2

2

6

9

+

+

w postaci

2

2

)

2

(

2

3

2

)

3

(

+

⋅

⋅

+

.

1p.

3.

(3 pkt)

10. Zapisanie liczby

2

2

)

2

(

2

3

2

)

3

(

+

⋅

⋅

+

w postaci

2

)

2

3

( +

, a w

konsekwencji w postaci uproszczonej:

2

3

+

.

1p.

11. Wstawienie wartości

C

do danego równania.

100

=

1p.

12. Rozwiązanie równania z niewiadomą :

.

F

212

=

F

1p.

13. Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np.

9

160

9

5

−

⋅

=

F

F

.

1p.

4.

(4 pkt)

14. Rozwiązanie równania:

(lub C

).

40

−

=

F

40

−

=

1p.

15. Wykorzystanie twierdzenia cosinusów do obliczenia długości trzeciego

boku danego trójkąta np.











 −

⋅

⋅

⋅

−

+

=

2

1

8

12

2

8

12

2

2

2

a

.

1p.

16. Obliczenie długości trzeciego boku:

19

4

=

a

cm .

1p.

17. Wykorzystanie np. twierdzenia sinusów do obliczenia długości
promienia okręgu opisanego na tym trójkącie i zapisanie, że:

2 .

sin120

a

R

=

D

1p.

5.

(4 pkt)

18. Obliczenie długości promienia:

3

57

4

=

R

cm .

1p.

Strona 1 z 2

Egzamin maturalny z matematyki – Arkusz I – Poziom podstawowy – styczeń 2003 r.

19. Obliczenie objętości pierwszej szklanki: V

.

3

2

1

6

,

282

10

3

cm

≈

⋅

⋅

= π

1p.

20. Obliczenie objętości drugiej szklanki: V

c

( )

2

3

2

2,9

9,5 250,9

π

= ⋅

⋅

≈

m

1p.

21. Obliczenie objętości trzeciej szklanki: V

.

3

2

3

3

,

254

9

3

cm

≈

⋅

⋅

= π

1p.

22. Zamiana jednostek objętości: np.

.

3

250

25

,

0

cm

l

=

1p.

6.

(5 pkt)

23. Wskazanie szklanki, której objętość jest najbliższa

.

0, 25l

1p.

24. Zapisanie podanej nierówności w postaci:

i obliczenie

wyróżnika trójmianu:

.

0

7

6

2

>

−

− x

x

64

=

∆

1p.

25. Obliczenie pierwiastków trójmianu:

lub

1

−

=

x

7

=

x

1p.

26. Zapisanie zbioru rozwiązań danej nierówności:

.

(

) (

∞

∪

−

∞

−

∈

;

7

1

;

x

)

1p.

27. Obliczenie współrzędnych wierzchołka paraboli, będącej wykresem
funkcji :

W

.

f

)

3

,

3

(

1p.

28. Wykorzystanie postaci kanonicznej trójmianu

do

odczytania współrzędnych wierzchołka wykresu trójmianu: W

.

(

)

6

9

2

+

−

= x

y

6

,

9

(

1

)

1p.

7.

(6 pkt)

29. Zapisanie, że obrazem paraboli o równaniu

nie jest

wykres funkcji

ponieważ: np. obrazem punktu W w danej

symetrii jest punkt W

.

12

6

2

+

−

=

x

x

y

(

)

6

9

2

+

−

= x

y

)

3

,

9

(

'

1p.

30. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych danego

doświadczenia:

56

3

8

=













=

Ω

.

1p.

31. Podanie liczby zdarzeń sprzyjających:

8

=

A

.

1p.

8.

(3 pkt)

32. Obliczenie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia:

7

1

)

(

=

A

P

.

1p.

33. Zapisanie sumy kwadratów sinusów miar wszystkich kątów
wewnętrznych danego trójkąta np. sin

(1).

D

90

sin

sin

2

2

2

+

+

β

α

1p.

34. Przekształcenie wyrażenia (1) do postaci:

.

1

cos

sin

2

2

+

+

α

α

1p.

9.

(3 pkt)

35. Wykorzystanie równości:

sin

do uzyskania tezy

twierdzenia.

1

cos

2

2

=

+

α

α

1p.

36. Zauważenie, że pierwszy wyraz ciągu jest równy1 , zaś różnica równa
się 6 .

2

1p.

37. Zapisanie wzoru na n

wyrazu tego ciągu:

.

ty

−
6

+

6

6

)

1

(

12

=

⋅

−

+

=

n

n

a

n

1p.

38. Wyznaczenie największej liczby dwucyfrowej podzielnej przez 6: 96.

1p.

39. Rozwiązanie równania liniowego: 6

.

96

6

=

+

n

⇒

15

=

n

1p.

10.

(5 pkt)

40. Obliczenie sumy:

810

15

2

96

12

15

=

⋅

+

=

S

.

1p.

Uwaga:
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od przedstawionej
w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Strona 2 z 2