Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 13.
130
60
Ekstrema lokalne funkcji dwu zmiennych
Ekstremami lokalnymi funkcji nazywamy minimum lokalne i maksimum lokalne.
Definicja maksimum lokalnego
Funkcja
R
D
R
f
→
⊃
2
:
ma w punkcie
D
y
x
P
∈
)
,
(
0
0
0
maksimum lokalne
, je eli istnieje takie otoczenie
D
r
P
U
⊂
)
,
(
0
punktu
0
P , e warto
)
(
0
P
f
jest nie mniejsza od warto ci f przyjmowanych w innych punktach tego otoczenia, tzn.,
gdy
)
(
)
(
0
P
f
P
f
≥
dla
)
,
(
0
r
P
U
P
∈
.
Definicja minimum lokalnego
Funkcja
R
D
R
f
→
⊃
2
:
ma w punkcie
D
y
x
P
∈
)
,
(
0
0
0
minimum lokalne
, je eli istnieje takie otoczenie
D
r
P
U
⊂
)
,
(
0
punktu
0
P , e warto
)
(
0
P
f
jest nie wi ksza od warto ci f przyjmowanych w innych punktach tego otoczenia, tzn.,
gdy
)
(
)
(
0
P
f
P
f
≤
dla
)
,
(
0
r
P
U
P
∈
.
Badanie ekstremów lokalnych funkcji dwu zmiennych polega na wykonywaniu nast puj cych operacji:
1.
Wyznaczamy pochodne cz stkowe pierwszego rz du i rozwi zujemy równanie
0
)
(
=
′ P
f
(
warunek konieczny
istnienia ekstremum lokalnego
).
2.
Punkty, b d ce rozwi zaniami tego układu s jedynymi, w których ekstremum mo e, ale nie musi, si znajdowa .
3.
W punktach, w których
0
)
(
=
′ P
f
obliczamy wyznacznik macierzy Hessego (
hesjan
)
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
2
2
2
2
2
2
y
f
x
y
f
x
y
f
x
f
Hf
,
yy
xy
yx
xx
f
f
f
f
y
f
x
y
f
x
y
f
x
f
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∆
2
2
2
2
2
2
2
,
xx
f
x
f =
∂
∂
=
∆
2
2
1
.
4.
Je li
0
2
>
∆
,
0
1
>
∆
, to w punkcie stacjonarnym funkcja f ma minimum lokalne.
5.
Je li
0
2
>
∆
,
0
1
<
∆
, to w punkcie stacjonarnym funkcja f ma maksimum lokalne.
6.
Je li
0
2
<
∆
, to w punkcie stacjonarnym funkcja f nie ma ekstremum lokalnego.
7.
Je li
0
2
=
∆
, to nic nie wiadomo o ekstremum lokalnym funkcji f.
Zadanie 1.
Zbada ekstrema funkcji
1
2
3
2
)
,
(
2
2
1
2
+
−
−
+
+
=
y
x
y
xy
x
y
x
f
.
Funkcja jest ró niczkowalna dla ka dego
2
)
,
(
R
y
x
∈
. Ekstremów nale y szuka tam, gdzie
0
)
(
=
′ P
f
.
]
)
,
(
)
,
(
[
)
,
(
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
=
′
[
]
1
3
2
3
4
−
+
−
+
=
y
x
y
x
0
)
(
=
′ P
f
⇔
=
−
+
=
−
+
0
1
3
0
2
3
4
y
x
y
x
⇔
)
,
(
5
2
5
1
=
P
Obliczymy macierz Hessego (macierz drugiej pochodnej)
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
P
f
P
f
P
f
P
f
P
Hf
yy
xy
yx
xx
=
1
3
3
4
.
•
Poniewa
0
4
1
>
=
∆
,
0
5
9
4
1
3
3
4
2
<
−
=
−
=
=
∆
, wi c funkcja nie ma ekstremum w punkcie stacjonarnym
)
,
(
5
2
5
1
=
P
.
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 13.
131
Zadanie 2.
Zbada ekstrema funkcji
1
2
)
,
(
4
4
1
5
5
1
+
+
+
=
x
xy
x
y
x
f
.
Funkcja jest ró niczkowalna dla ka dego
2
)
,
(
R
y
x
∈
. Ró niczkuj c otrzymujemy:
]
)
,
(
)
,
(
[
)
,
(
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
=
′
]
2
[
3
4
4
1
4
xy
y
x
+
+
=
Ekstremów nale y szuka tam, gdzie
0
)
(
=
′ P
f
.
0
)
(
=
′ P
f
⇔
=
=
+
+
0
0
2
3
4
4
1
4
xy
y
x
Poniewa pierwsze równanie rozpatrywanego układu równa nie ma rozwi zania, wi c warunek konieczny na istnienie
ekstremum nie jest spełniony w adnym punkcie i w konsekwencji funkcja f nie ma ekstremów.
Zadanie 3.
Znale ekstrema lokalne funkcji
10
16
4
6
3
)
,
(
2
2
+
+
+
−
=
y
y
x
x
y
x
f
.
Rozwi zanie
Obliczamy pierwsze pochodne cz stkowe funkcji i przyrównujemy je do zera, aby wyznaczy punkty, w których mog
by ekstrema, tzw. punkty stacjonarne:
6
6
−
= x
f
x
,
16
8
+
= y
f
y
−
=
=
⇔
=
+
=
−
⇔
=
=
⇔
=
′
2
1
0
16
8
0
6
6
0
0
0
y
x
y
x
f
f
f
y
x
Jedynym punktem, w którym mo e istnie ekstremum jest punkt
)
2
,
1
(
−
=
P
.
Obliczamy macierz Hessego
=
=
8
0
0
6
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
P
f
P
f
P
f
P
f
P
Hf
yy
xy
yx
xx
.
Poniewa
0
48
0
8
6
8
0
0
6
2
>
=
−
⋅
=
=
∆
i
0
6
1
>
=
∆
, wi c funkcja posiada minimum lokalne w punkcie
)
2
,
1
(
−
=
P
. Minimum to wynosi
9
10
)
2
(
16
)
2
(
4
1
6
1
3
)
2
,
1
(
2
2
min
−
=
+
−
⋅
+
−
+
⋅
−
⋅
=
−
= f
f
.
Zadanie 4.
Znale ekstrema lokalne funkcji
3
6
)
,
(
2
+
+
−
−
=
y
x
y
x
y
y
x
f
.
Rozwi zanie
Funkcja jest ró niczkowalna dla ka dego
2
)
,
(
R
y
x
∈
. Ekstremów nale y szuka tam, gdzie
0
)
,
(
=
′
y
x
f
.
1
2
)
,
(
−
=
x
y
y
x
f
x
,
6
2
)
,
(
+
−
=
y
x
y
x
f
y
.
3
4
)
,
(
x
y
y
x
f
xx
−
=
,
x
y
x
f
y
x
f
yx
xy
2
1
)
,
(
)
,
(
=
=
,
2
)
,
(
−
=
y
x
f
yy
.
=
=
−
=
−
=
⇔
−
=
−
=
⇔
=
+
−
=
−
⇔
=
=
⇔
=
4
4
6
4
2
6
2
2
0
6
2
0
1
2
0
)
,
(
0
)
,
(
0
)
,
(
'
y
x
x
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
Sprawdzamy, czy w punkcie
)
4
,
4
(
=
P
istniej ekstrema lokalne podanej funkcji. Obliczamy macierz Hessego:
−
−
=
=
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
4
1
4
1
8
1
"
"
"
"
P
f
P
f
P
f
P
f
P
Hf
yy
yx
xy
xx
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 13.
132
St d wynika, e
0
8
1
1
<
−
=
∆
i
0
16
3
16
1
4
1
2
>
=
−
=
∆
, wi c funkcja ma w punkcie
)
4
,
4
(
=
P
maksimum lokalne, które
wynosi
15
3
24
4
16
4
4
)
4
,
4
(
max
=
+
+
−
−
=
= f
f
.
Zadanie 5.
Zbada ekstrema funkcji
xy
y
x
y
x
f
3
)
,
(
3
3
−
+
=
.
Funkcja jest ró niczkowalna dla ka dego
2
)
,
(
R
y
x
∈
. Ekstremów nale y szuka tam, gdzie
0
)
(
=
′ P
f
.
]
)
,
(
)
,
(
[
)
,
(
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
=
′
]
3
3
3
3
[
2
2
x
y
y
x
−
−
=
0
)
(
=
′ P
f
⇔
=
−
=
−
0
3
3
0
3
3
2
2
x
y
y
x
⇔
=
=
x
y
y
x
2
2
⇔
)}
1
,
1
(
),
0
,
0
{(
∈
P
Obliczymy macierz Hessego (macierz drugiej pochodnej)
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
P
f
P
f
P
f
P
f
P
Hf
yy
xy
yx
xx
−
−
=
y
x
6
3
3
6
.
•
Poniewa
−
−
=
0
3
3
0
)
0
,
0
(
Hf
,
0
9
0
3
3
0
2
<
−
=
−
−
=
∆
, wi c funkcja nie ma ekstremum w punkcie stacjonarnym
)
0
,
0
(
=
P
.
•
Poniewa
−
−
=
6
3
3
6
)
1
,
1
(
Hf
,
0
27
6
3
3
6
2
>
=
−
−
=
∆
,
0
6
1
>
=
∆
, wi c funkcja ma minimum lokalne w
punkcie stacjonarnym
)
1
,
1
(
=
P
. Minimum to wynosi:
1
3
1
1
)
1
,
1
(
min
−
=
−
+
=
= f
f
.
Zadanie 6.
Zbada ekstrema funkcji
y
x
xy
x
y
x
f
24
51
3
)
,
(
2
3
−
−
+
=
.
Funkcja jest ró niczkowalna dla ka dego
2
)
,
(
R
y
x
∈
. Ekstremów nale y szuka tam, gdzie
0
)
(
=
′ P
f
.
]
)
,
(
)
,
(
[
)
,
(
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
=
′
]
24
6
51
3
3
[
2
2
−
−
+
=
xy
y
x
0
)
(
=
′ P
f
⇔
=
−
=
−
+
0
24
6
0
51
3
3
2
2
xy
y
x
⇔
=
=
+
4
51
2
2
xy
y
x
⇔
)}
1
,
4
(
),
4
,
1
(
),
4
,
1
(
),
1
,
4
{(
−
−
−
−
∈
P
Obliczymy macierz Hessego (macierz drugiej pochodnej)
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
P
f
P
f
P
f
P
f
P
Hf
yy
xy
yx
xx
=
x
y
y
x
6
6
6
6
.
•
Poniewa
−
−
−
−
=
−
−
24
6
6
24
)
1
,
4
(
Hf
,
0
540
24
6
6
24
2
>
=
−
−
−
−
=
∆
,
0
24
1
<
−
=
∆
, wi c funkcja ma maksimum
lokalne w punkcie stacjonarnym
)
1
,
4
(
−
−
=
P
:
152
max
=
f
.
•
Poniewa
−
−
−
−
=
−
−
6
24
24
6
)
4
,
1
(
Hf
,
0
540
6
24
24
6
2
<
−
=
−
−
−
−
=
∆
, wi c funkcja nie ma ekstremum w punkcie
stacjonarnym
)
4
,
1
(
−
−
=
P
.
•
Poniewa
=
6
24
24
6
)
4
,
1
(
Hf
,
0
540
6
24
24
6
2
<
−
=
=
∆
, wi c funkcja nie ma ekstremum w punkcie stacjonar-
nym
)
4
,
1
(
=
P
:
152
min
−
=
f
.
•
Poniewa
=
24
6
6
24
)
1
,
4
(
Hf
,
0
540
24
6
6
24
2
>
=
=
∆
,
0
24
1
>
=
∆
, wi c funkcja ma minimum lokalne w punk-
cie stacjonarnym
)
1
,
4
(
=
P
.
Zadanie 7.
Zbada ekstrema funkcji
|
|
5
|
|
3
)
,
(
y
x
y
x
f
⋅
+
⋅
=
.
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 13.
133
Mamy
<
−
=
>
=
,
0
3
,
0
,
0
3
)
,
(
x
x
x
y
x
f
x
dla
dla
istnieje
nie
dla
<
−
=
>
=
.
0
5
,
0
,
0
5
)
,
(
y
y
y
y
x
f
y
dla
dla
istnieje
nie
dla
Jedynym punktem, w którym funkcja f mo e mie ekstremum jest punkt
)
0
,
0
(
. Rzeczywi cie w punkcie tym
funkcja f ma minimum lokalne, gdy dla wszystkich punktów
)
0
,
0
(
)
,
(
≠
y
x
mamy
)
0
,
0
(
0
|
|
5
|
|
3
)
,
(
f
y
x
y
x
f
=
>
+
=
.
Zadanie 8.
Zbada ekstrema funkcji
2
2
5
3
4
)
,
(
y
x
y
x
f
+
−
=
.
Mamy
=
≠
+
−
=
),
0
,
0
(
)
,
(
),
0
,
0
(
)
,
(
5
3
3
)
,
(
2
2
y
x
y
x
y
x
x
y
x
f
x
dla
istnieje
nie
dla
=
≠
+
−
=
),
0
,
0
(
)
,
(
),
0
,
0
(
)
,
(
5
3
5
)
,
(
2
2
y
x
y
x
y
x
y
y
x
f
y
dla
istnieje
nie
dla
Jedynym punktem, w którym funkcja f mo e mie ekstremum jest punkt
)
0
,
0
(
. Rzeczywi cie w punkcie tym funkcja f
ma maksimum lokalne, gdy dla wszystkich punktów
)
0
,
0
(
)
,
(
≠
y
x
mamy
)
0
,
0
(
4
5
3
4
)
,
(
2
2
f
y
x
y
x
f
=
<
+
−
=
.
Zadanie 9.
Zbada ekstrema funkcji
2
2
4
4
2
4
2
)
,
(
y
xy
x
y
x
y
x
f
−
+
−
+
=
.
Funkcja jest ró niczkowalna dla ka dego
2
)
,
(
R
y
x
∈
. Ekstremów nale y szuka tam, gdzie
0
)
(
=
′ P
f
.
]
)
,
(
)
,
(
[
)
,
(
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
=
′
]
4
4
4
4
4
4
[
3
3
y
x
y
y
x
x
−
+
+
−
=
0
)
(
=
′ P
f
⇔
=
−
+
=
+
−
0
4
4
4
0
4
4
4
3
3
y
x
y
y
x
x
⇔
=
−
+
=
+
−
0
0
3
3
y
x
y
y
x
x
⇔
)}
2
,
2
(
),
2
,
2
(
),
0
,
0
{(
−
−
∈
P
Obliczymy macierz Hessego (macierz drugiej pochodnej)
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
P
f
P
f
P
f
P
f
P
Hf
yy
xy
yx
xx
−
−
=
4
12
4
4
4
12
2
2
y
x
.
•
Poniewa
=
−
20
4
4
20
)
2
,
2
(
Hf
,
0
384
20
4
4
20
2
>
=
=
∆
,
0
20
1
>
=
∆
, wi c funkcja ma minimum lokalne w
punkcie stacjonarnym
)
2
,
2
(
−
=
P
:
8
min
−
=
f
.
•
Poniewa
=
−
20
4
4
20
)
2
,
2
(
Hf
,
0
384
20
4
4
20
2
>
=
=
∆
,
0
20
1
>
=
∆
, wi c funkcja ma minimum lokalne w
punkcie stacjonarnym
)
2
,
2
(
−
=
P
:
8
min
−
=
f
.
•
Poniewa
−
−
=
4
4
4
4
)
0
,
0
(
Hf
,
0
4
4
4
4
2
=
−
−
=
∆
, wi c nie wiadomo, czy funkcja f ma ekstremum w punkcie
stacjonarnym
)
0
,
0
(
=
P
.
Rozpatrzmy przekrój powierzchni b d cej wykresem funkcji f płaszczyzn
0
=
y
:
)
2
(
2
)
0
,
(
2
2
2
4
−
=
−
=
x
x
x
x
x
f
W s siedztwie pocz tku układu funkcja ma warto ci ujemne.
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 13.
134
Rozpatrzmy teraz przekrój powierzchni b d cej wykresem funkcji f płaszczyzn
x
y
= :
4
2
2
2
4
4
2
2
4
2
)
,
(
x
x
x
x
x
x
x
x
f
=
−
+
−
+
=
W s siedztwie pocz tku układu funkcja ma warto ci dodatnie.
Dlatego funkcja nie ma ekstremum w punkcie stacjonarnym
)
0
,
0
(
=
P
.
Zadanie 10.
Zbada ekstrema funkcji
y
x
yz
z
y
x
z
y
x
f
+
+
+
−
−
−
=
2
2
2
)
,
,
(
.
Funkcja jest ró niczkowalna dla ka dego
3
)
,
,
(
R
z
y
x
∈
. Ró niczkuj c otrzymujemy:
]
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
[
)
,
,
(
z
y
x
f
z
y
x
f
z
y
x
f
z
y
x
f
z
y
x
=
′
[
]
y
z
z
y
x
+
−
+
+
−
+
−
=
2
1
2
1
2
0
)
(
=
′ P
f
⇔
=
+
−
=
+
+
−
=
+
−
0
2
0
1
2
0
1
2
y
z
z
y
x
⇔
)
,
,
(
3
1
3
2
2
1
=
P
Dalej
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
Hf
zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
−
−
−
=
2
1
0
1
2
0
0
0
2
.
Poniewa
0
2
1
<
−
=
∆
,
0
4
2
0
0
2
2
>
=
−
−
=
∆
,
0
6
2
1
0
1
2
0
0
0
2
3
<
−
=
−
−
−
=
∆
, wi c funkcja ma w punkcie
)
,
,
(
3
1
3
2
2
1
=
P
maksimum lokalne.
Zadanie 11.
Wyznaczy ekstrema funkcji
3
2
3
2
3
2
)
,
,
(
z
y
x
z
y
x
f
+
+
=
.
Rozwi zanie
Obliczamy pochodne cz stkowe:
(
)
3
3
2
,
,
x
z
y
x
f
x
=
,
(
)
3
3
2
,
,
y
z
y
x
f
y
=
,
(
)
3
3
2
,
,
z
z
y
x
f
z
=
.
Pochodne te nie istniej w punkcie
)
0
,
0
,
0
(
=
P
. Punkt ten nale y do wn trza okre lono ci funkcji. Rozpatruj c ró nic
3
2
3
2
3
2
)
0
,
0
,
0
(
)
,
,
(
z
y
x
w
z
y
x
f
+
+
=
−
w otoczeniu punktu P stwierdzimy, e jest ona nieujemna. W punkcie P
istnieje minimum lokalne funkcji równe
0
)
(
min
=
=
P
f
f
.
Zadanie 12.
Zbada istnienie ekstremów funkcji
2
3
2
5
3
2
)
,
,
(
z
y
y
x
x
z
y
x
f
+
+
−
−
=
.
Rozwi zanie
Obliczamy pochodne cz stkowe rz du pierwszego
2
2
)
,
,
(
−
= x
z
y
x
f
x
,
3
3
)
,
,
(
2
+
−
=
y
z
y
x
f
y
,
z
z
y
x
f
z
10
)
,
,
(
=
.
Pochodne te zeruj si tylko w dwóch punktach:
)
0
,
1
,
1
(
1
−
=
P
i
)
0
,
1
,
1
(
2
=
P
. Nast pnie wyznaczamy pochodne cz stko-
we rz du drugiego i tworzymy macierz Hessego:
2
)
,
,
(
=
z
y
x
f
xx
,
0
)
,
,
(
=
z
y
x
f
xy
,
0
)
,
,
(
=
z
y
x
f
xz
,
y
z
y
x
f
yy
6
)
,
,
(
−
=
,
10
)
,
,
(
=
z
y
x
f
zz
,
0
)
,
,
(
=
z
y
x
f
yz
;
′′
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
Hf
zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 13.
135
•
Poniewa
=
−
10
0
0
0
6
0
0
0
2
)
0
,
1
,
1
(
Hf
,
0
2
1
>
=
∆
,
0
12
2
>
=
∆
,
0
120
3
>
=
∆
, wi c funkcja posiada minimum lokal-
ne w punkcie stacjonarnym
)
0
,
1
,
1
(
1
−
=
P
.
•
Poniewa
−
=
10
0
0
0
6
0
0
0
2
)
0
,
1
,
1
(
Hf
,
0
2
1
>
=
∆
,
0
12
2
<
−
=
∆
,
0
120
3
<
−
=
∆
, wi c funkcja nie posiada ekstre-
mum w punkcie
)
0
,
1
,
1
(
2
=
P
– ci g wyznaczników nie jest ci giem o dodatnich wyrazach, ani ci giem znakozmiennym
(pierwszy wyraz ujemny, drugi – dodatni, trzeci – ujemny, itd.).
Zadanie 13.
Zbada ekstrema absolutne funkcji
1
16
12
)
,
(
2
2
+
+
−
+
=
y
x
y
x
y
x
f
w kole
}
16
:
)
,
{(
2
2
≤
+
=
y
x
y
x
K
.
Zaczniemy od znalezienia punktów, w których funkcja f ma ekstrema lokalne. Ró niczkuj c otrzymujemy
[
]
)
,
(
)
,
(
)
,
(
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
=
′
[
]
16
2
12
2
+
−
=
y
x
0
)
(
=
′ P
f
⇔
=
+
=
−
0
16
2
0
12
2
y
x
⇔
)
8
,
6
(
−
=
P
Punkt P nie nale y do rozwa anego koła K. St d wynika, e przyjmuje ona swoj warto najwi ksz i najmniejsz na
brzegu obszaru, tzn. na okr gu
}
16
:
)
,
{(
2
2
=
+
=
∂
y
x
y
x
K
. Okr g ten zapiszemy nast puj co
}
2
0
,
sin
4
,
cos
4
:
)
,
{(
π
≤
≤
=
=
=
∂
t
t
y
t
x
y
x
K
.
Rozwa amy funkcj
1
sin
4
16
cos
4
12
)
sin
4
(
)
cos
4
(
)
(
2
2
+
⋅
+
⋅
−
+
=
t
t
t
t
t
F
t
t
sin
64
cos
48
17
+
−
=
,
π
≤
≤
2
0 t
.
Wyznaczamy jej ekstrema:
63
)
(
64
48
17
5
4
5
3
min
−
=
−
⋅
+
⋅
−
=
F
, dla
5
4
sin
−
=
t
,
5
3
cos
=
t
97
64
)
(
48
17
5
4
5
3
max
=
⋅
+
−
⋅
−
=
F
, dla
5
4
sin
=
t
,
5
3
cos
−
=
t
.
St d wynika, e funkcja f przyjmuje warto najwi ksz w rozwa anym kole na jego brzegu w punkcie
)
,
(
5
16
5
12
−
a
najmniejsz w punkcie
)
,
(
5
16
5
12
−
.
Uwaga.
Do wyznaczenia ekstremum warunkowego mo emy stosowa
metod Lagrange’a
.
Wprowadzamy funkcj pomocnicz
)
16
(
1
16
12
)
,
(
2
2
2
2
−
+
λ
+
+
+
−
+
=
y
x
y
x
y
x
y
x
F
,
a nast pnie obliczamy
x
x
y
x
F
x
λ
+
−
=
′
2
12
2
)
,
(
,
y
y
y
x
F
y
λ
+
+
=
′
2
16
2
)
,
(
.
Z układu równa
=
λ
+
+
=
λ
+
−
0
2
16
2
0
2
12
2
y
y
x
x
eliminujemy czynnik
λ uzyskuj c
x
y
3
4
−
=
.
Z kolei, z układu równa
=
+
−
=
16
2
2
3
4
y
x
x
y
wyznaczamy wszystkie mo liwe punkty ekstremalne funkcji:
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 13.
136
)
,
(
5
16
5
12
−
=
A
,
)
,
(
5
16
5
12
−
=
B
.
Badamy, w których z podanych punktów funkcja f przy warunku
16
2
2
=
+ y
x
rzeczywi cie przyjmuje ekstrema. W
otoczeniu punktu A równanie
16
2
2
=
+ y
x
okre la funkcj uwikłan
2
16 x
y
−
−
=
, czyli w otoczeniu tego punktu
funkcja f przy warunku
16
2
2
=
+ y
x
zachowuje si identycznie jak funkcja
2
2
2
2
2
16
16
12
17
1
)
16
(
16
12
)
16
(
)
,
(
)
(
x
x
x
x
x
x
y
x
f
x
G
−
−
−
=
+
−
−
+
−
−
−
+
=
=
,
a ta funkcja w punkcie
5
12
=
x
ma minimum lokalne (wystarczy stwierdzi , e
0
)
(
5
12
=
′
G
,
0
)
(
5
12
>
′′
G
). W ten sposób
wykazali my, e funkcja f przy warunku
16
2
2
=
+ y
x
w punkcie
)
,
(
5
16
5
12
−
=
A
ma minimum.
W otoczeniu punktu B równanie
16
2
2
=
+ y
x
okre la funkcj uwikłan
2
16 x
y
−
=
, czyli w otoczeniu tego punktu
funkcja f przy warunku
16
2
2
=
+ y
x
zachowuje si identycznie jak funkcja
2
2
2
2
2
16
16
12
17
1
16
16
12
)
16
(
)
,
(
)
(
x
x
x
x
x
x
y
x
f
x
H
−
+
−
=
+
−
+
−
−
+
=
=
,
a ta funkcja w punkcie
5
12
−
=
x
ma maksimum lokalne. W ten sposób wykazali my, e funkcja f przy warunku
16
2
2
=
+ y
x
w punkcie
)
,
(
5
16
5
12
−
=
B
ma maksimum.
Zadania.
Zbada ekstrema funkcji
1
2
3
2
)
,
(
2
2
+
−
−
+
+
=
y
x
y
xy
x
y
x
f
.
Zbada ekstrema funkcji
5
4
2
)
,
(
2
2
−
+
−
+
−
=
y
x
y
xy
x
y
x
f
.
Wyznacz ekstrema funkcji
xy
y
x
y
x
f
9
)
,
(
3
2
−
+
=
.
Wyznacz ekstrema funkcji
xy
y
x
y
x
f
9
)
,
(
2
3
−
+
=
.
Wyznaczy ekstrema lokalne funkcji
xy
y
x
y
x
f
9
)
,
(
3
3
−
+
=
.
Wyznaczy ekstrema lokalne funkcji
3
6
)
,
(
2
+
+
−
−
=
y
x
y
x
y
y
x
f
.
Wyznaczy ekstrema funkcji okre lonej za pomoc wzoru
y
x
y
xy
x
y
x
f
−
−
+
+
=
2
)
,
(
2
2
.
Wyznaczy ekstrema funkcji okre lonej za pomoc wzoru
2
2
6
1
)
,
(
y
xy
x
x
y
x
f
−
−
−
+
=
.
Wyznaczy ekstrema funkcji okre lonej za pomoc wzoru
2
2
6
8
5
5
)
,
(
2
2
+
−
+
−
+
=
y
x
xy
y
x
y
x
f
.
Wyznaczy ekstrema funkcji okre lonej za pomoc wzoru
z
y
xy
z
y
x
z
y
x
f
+
−
+
+
+
=
4
2
2
)
,
,
(
2
2
2
Okre li wymiary otwartego zbiornika prostopadło ciennego o obj to ci
3
32 m tak, aby jego pole powierzchni było
minimalne.
Znale rozmiary prostok tnej wanny, która przy danej obj to ci
3
2 m
V
=
ma najmniejsz powierzchni .
1.
x
xy
y
x
y
x
f
4
2
2
)
,
(
2
2
−
−
+
=
,
2.
xy
y
x
y
x
f
3
)
,
(
3
3
+
+
=
,
3.
2
1
)
,
(
y
x
x
y
x
f
+
+
=
,
4.
y
y
x
x
y
x
f
4
8
)
,
(
2
2
4
−
+
+
=
,
5.
3
2
3
)
2
ln(
)
,
(
y
x
x
y
y
x
f
−
−
+
=
.
6.
,
2
4
2
)
,
(
2
2
4
4
y
xy
x
y
x
y
x
z
−
+
−
+
=
7.
3
3
6
)
,
(
y
x
xy
y
x
z
−
−
=
,
8.
)
(
2
1
)
,
(
y
x
xy
y
x
f
+
+
=
,
9.
x
y
xy
x
y
x
f
2
2
2
)
,
(
2
2
+
+
−
=
,
10.
2
2
3
3
2
)
,
(
y
xy
x
y
x
y
x
f
−
−
−
+
=
,
Stanisław Kowalski,
Wykłady z matematyki –
Funkcje dwu zmiennych
– wykład 13.
137
11.
y
x
y
x
y
x
f
6
3
2
)
,
(
3
3
+
−
−
=
,
12.
y
x
y
x
y
x
f
+
+
=
1
)
,
(
,
13.
2
2
1
)
,
(
y
x
y
x
f
+
−
=
.
Odpowiedzi
1. W (4, 2) minimum lokalne;
2. W (
−1,−1) maksimum lokalne;
3. W (1, 0) minimum lokalne;
4. W (0, 2) minimum lokalne;
5. W punktach
)
1
,
(
3
5
−
oraz
)
1
,
(
3
7
− s maksima lokalne.
6.
)
2
,
2
(
8
)
2
,
2
(
min
−
=
−
=
−
=
z
z
z
;
7.
8
)
2
,
2
(
max
=
= z
z
;
8. Ekstremów lokalnych brak;
9.
2
)
1
,
2
(
min
−
=
−
−
= f
f
;
10.
27
64
3
4
3
4
min
)
,
(
−
=
= f
f
;
11.
6
)
1
,
1
(
min
−
=
−
= f
f
;
12.
3
)
1
,
1
(
min
=
= f
f
;
13.
1
)
0
,
0
(
max
=
= f
f
.