1
Wykład II
Macierze – ciąg dalszy
Macierz odwrotna
Zastosowanie macierzy do rozwiązywania
układów równań
Wartości i wektory własne macierzy
2
Oznaczenia
n
m
T
n
m
×
×
′
A
A lub
−
−
=
×
3
0
5
2
2
1
4
3
2
2
1
1
4
3
A
Macierzą transponowaną (lub przestawioną) do macierzy A
nazywamy taką macierz, której wierszami są kolumny macierzy A .
Macierz transponowaną oznaczamy przez
.
Przykład:
−
−
=
′
×
3
2
2
0
1
2
5
4
1
2
3
1
3
4
A
Macierzą osobliwą nazywamy macierz, której
wyznacznik wynosi zero, tzn. |A|=0.
Macierzą nieosobliwą nazywamy macierz, której
wyznacznik jest różny od zera, tzn. |A|≠0.
3
Macierz odwrotna
Definicja:
Macierzą odwrotną do macierzy nieosobliwej A (|A|≠0),
nazywamy taką macierz A
-1
, która spełnia warunek:
n
n
n
n
n
n
×
−
−
×
×
=
⋅
=
⋅
I
A
A
A
A
1
1
Obliczanie macierzy odwrotnej z definicji:
Z definicji macierzy odwrotnej mamy:
A =
−
1
1
2
3
.
22
21
12
11
=
−
a
a
a
a
1
A
, natomiast niech
Niech
4
=
−
=
=
=
⇒
=
+
=
+
=
+
=
⇒
=
+
=
+
=
−
=
−
5
1
22
5
2
21
5
1
12
5
3
11
22
22
21
21
22
12
21
11
22
12
21
11
22
12
21
11
1
3
2
0
3
2
+
2
1
1
3
2
0
3
2
0
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
+
+
−
−
=
⋅
−
1
0
0
1
3
2
,
3
2
,
3
2
1
1
22
12
21
11
22
12
21
11
22
21
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Następnie musimy rozwiązać następujący układ równań
z czterema niewiadomymi:
2
1
I
A
A
=
⋅
−
Ostatecznie otrzymujemy:
−
=
−
5
1
5
2
5
1
5
3
1
A
5
A A
1
⋅
=
−
⋅
=
=
−
−
+
−
−
+
1
1
2
3
1 0
0 1
3
5
1
5
2
5
1
5
3
5
2
5
1
5
1
5
6
5
6
5
2
5
3
5
,
,
Poprawność obliczeń możemy sprawdzić w następujący
sposób:
Uwaga.
Obliczanie macierzy odwrotnej z definicji jest uciążliwe
dla macierzy wyższych wymiarów, gdyż sprowadza się ono
do rozwiązywania n
2
równań z n
2
niewiadomymi.
Macierz odwrotna została obliczona poprawnie.
6
Metoda obliczania macierzy odwrotnej
1. Liczymy wyznacznik macierzy |A| i sprawdzamy czy
jest on różny od zera (|A|≠0)
2. Obliczamy macierz transponowaną do macierzy A,
tzn. wyznaczamy A'
.
4. Macierz odwrotną wyznaczamy ze wzoru:
A
A
D
−
=
⋅
1
1
3. Obliczamy macierz dołączoną D (macierz dopełnień
algebraicznych elementów macierzy A' :
( )
n
j
i
;
d
ij
j
i
ij
,
,
2
,
1
,
1
L
=
′
−
=
+
A
Elementami macierzy D są
.
7
A =
−
1
1
2
3
0
5
2
3
3
2
1
1
≠
=
+
=
−
=
A
′ =
−
A
1 2
1 3
( )
( )
( )
( )
( )
D =
−
⋅
−
⋅ −
−
⋅
−
⋅
=
−
+
+
+
+
1
3
1
1
1
2
1
1
3 1
2 1
1 1
1 2
2 1
2 2
,
,
A
A
D
−
=
⋅
=
−
1
1
1
5
3 1
2 1
Przykład:
(
ta sama macierz co poprzednio
)
(Poniewa
ż
wyznacznik macierzy
A
jest ró
ż
ny od zera
wi
ę
c istnieje macierz odwrotna)
1. Liczymy wyznacznik:
2. Transponujemy macierz:
3. Liczymy macierz dopełnień:
2. Obliczamy macierz odwrotną:
8
A =
−
−
1 2
1
3 1
2
1 1
1
0
5
6
2
1
3
4
1
.
1
≠
=
+
−
+
−
+
−
=
A
−
−
=
′
1
2
1
1
1
2
1
3
1
.
2 A
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
5
1
2
5
0
5
5
1
3
1
2
3
1
,
1
2
1
1
,
1
1
1
3
2
1
3
1
,
1
1
1
1
,
1
2
1
3
2
1
1
2
,
1
1
1
2
,
1
2
1
1
.
3 D
−
−
−
=
−
5
1
2
5
0
5
5
1
3
5
1
.
4
1
A
=
=
−
−
⋅
−
−
−
=
⋅
−
1
0
0
0
1
0
0
0
1
5
0
0
0
5
0
0
0
5
5
1
1
1
1
2
1
3
1
2
1
5
1
2
5
0
5
5
1
3
5
1
1
A
A
Sprawdzenie czy macierz odwrotna została obliczona dobrze:
tak !
Przykład 2.
9
Zastosowanie macierzy odwrotnej do
rozwiązywania układów równań liniowych
Załóżmy, że mamy rozwiązań następujący układ równań:
4
3
42
1
M
4
3
42
1
M
4
4
4
3
4
4
4
2
1
L
M
L
M
M
L
L
wolnych
wyrazów
wektor
n
zmiennych
nieznanych
wektor
n
ików
wspolczynn
macierz
nn
n
n
n
n
n
n
b
b
b
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
=
×
2
1
2
1
2
1
2
22
21
1
12
11
,
,
b
x
A
W notacji macierzowej powyższy układ przyjmuje postać:
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
L
M
L
L
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
Ax
b
=
(*)
10
b
A
x
A
A
I
⋅
=
⋅
−
−
1
1
3
2
1
n
Mnożąc równanie (*) z lewej strony przez macierz
odwrotną do macierzy A otrzymujemy:
b
A
x
⋅
=
⇒
−1
=
+
+
=
+
=
+
−
−
−
−
4
2
1
2
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
b
=
⋅
−1
Przykład: Rozwiązać metodą macierzową układ równań:
−
=
=
−
−
−
=
4
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
3
2
1
b
x
A
x
x
x
Rozwiązanie:
11
0
3
1
4
1
2
1
2
.
1
≠
=
−
+
−
−
+
=
A
−
−
−
=
′
1
1
1
2
1
1
1
1
2
.
2
A
−
−
=
1
5
3
1
1
0
0
3
3
.
3
D
=
=
−
⋅
−
−
=
⋅
=
1
1
1
3
3
3
3
1
4
1
2
1
5
3
1
1
0
0
3
3
3
1
1
.
4
b
D
A
x
A
−1
Obliczamy zatem
1
;
1
;
1
3
2
1
=
=
=
x
x
x
Ostatecznie:
12
Wzory Cramera na rozwiązywanie
układu równań
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
a
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
W
b
a
a
b
a
a
b
a
a
W
a
b
a
a
b
a
a
b
a
W
a
a
b
a
a
b
a
a
b
W
L
M
L
M
M
L
L
L
M
L
M
M
L
L
L
L
M
L
M
M
L
L
L
M
L
M
M
L
L
2
1
2
22
21
1
12
11
2
1
2
22
21
1
12
11
2
2
2
21
1
1
1
2
2
2
22
2
1
12
1
1
,
,
,
,
=
=
=
=
W
W
x
W
W
x
W
W
x
n
n
=
=
=
,
,
,
2
2
1
1
L
Układ równań
możemy także rozwiązać wykorzystując wzory Cramera:
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
L
M
L
L
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
13
=
+
+
=
+
=
+
−
−
−
−
4
2
1
2
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Przykład: Rozwiązać metodą Cramera układ równań:
(
)
3
1
4
1
2
1
2
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
=
+
−
−
−
+
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
=
W
Rozwiązanie:
(
)
1
3
3
3
1
4
4
2
4
2
2
4
1
1
1
2
1
2
4
1
1
1
1
1
2
1
2
4
1
1
1
1
1
2
1
1
=
=
⇒
=
+
−
−
−
+
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
=
x
W
(
)
1
3
3
3
4
4
2
4
1
8
2
1
1
1
1
2
4
2
1
1
1
1
2
1
2
4
2
1
1
1
1
2
1
2
3
3
=
=
⇒
=
+
−
−
−
+
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
=
x
W
(
)
1
3
3
3
2
8
1
4
2
2
4
1
1
1
2
2
1
4
1
1
1
1
1
2
2
1
4
1
1
1
1
1
2
2
2
2
=
=
⇒
=
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
=
x
W
14
Wektory własne i wartości własne
macierzy kwadratowej
0
=
λ
− I
A
u
Au
λ
=
=
2
4
3
1
A
Definicja:
Wartością własną
macierzy A nazywamy wartość
λ spełniającą równanie:
Definicja:
Wektorem własnym
macierzy A odpowiadającym
wartości własnej λ
nazywamy taki niezerowy wektor u
spełniający równość:
Przykład: Wyznaczyć wartości własne i wektory własne
macierzy
Rozwiązanie: Wyznaczymy wartości własne macierzy
rozwiązując równanie:
0
2
,
4
3
,
1
0
2
=
λ
−
λ
−
⇔
=
λ
− I
A
15
0
2
,
4
3
,
1
0
2
=
λ
−
λ
−
⇔
=
λ
− I
A
(
)(
)
0
12
2
1
=
−
λ
−
λ
−
0
10
3
2
=
−
λ
−
λ
( )
(
)
49
10
4
3
4
2
2
=
−
⋅
−
−
=
−
=
∆
ac
b
2
2
7
3
2
1
−
=
−
=
∆
−
−
=
λ
a
b
5
2
7
3
2
2
=
+
=
∆
+
−
=
λ
a
b
Odp. Otrzymaliśmy dwie wartości własne macierzy.
16
Wyznaczymy teraz wektory własne
odpowiadające uzyskanym wartościom własnym.
−
=
+
−
=
+
⇔
−
=
⇔
λ
=
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
4
2
3
2
2
4
3
1
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
Au
Przypadek 1: λ
1
= -2
−
=
⇔
−
=
⇔
=
+
=
+
1
1
.
4
:
0
4
4
3
:
0
3
3
2
1
2
1
2
1
u
np
u
u
u
u
u
u
=
+
=
+
⇔
=
⇔
λ
=
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
5
2
4
5
3
5
2
4
3
1
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
Au
Przypadek 2: λ
2
= 5
=
⇔
=
⇔
=
−
−
=
+
−
4
3
.
4
3
4
:
0
3
4
4
:
0
3
4
2
1
2
1
2
1
u
np
u
u
u
u
u
u
17
2I
B
A
+
′
−
=
−
=
1
1
0
0
2
2
,
2
1
1
0
1
1
B
A
I
B
A
3
+
′
−
=
−
=
1
1
0
0
2
2
,
2
1
1
0
1
1
B
A
−
=
1
2
0
3
2
1
0
2
1
C
−
=
1
1
0
3
2
1
2
1
1
E
=
+
+
=
+
=
+
−
6
4
3
3
2
3
2
1
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
=
+
+
=
−
+
=
+
−
6
2
3
5
2
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
3
1
1
2
A
−
=
1
1
4
2
B
Zadania na ćwiczenia do Wykładu 2
1. Znaleźć macierz odwrotną do macierzy
, gdzie
2. Znaleźć macierz odwrotną do macierzy
, gdzie
3. Odwrócić macierze:
4. Rozwiązać układ równań:
5. Obliczyć wartości własne i wektory własne macierzy:
=
3
1
1
2
A
−
=
1
1
4
2
B
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Czystki w resorcie Macierewicza ciąg dalszy
2 Macierze ciąg dalszy
11. Znaczenia planet na osiach - ciąg dalszy i szczegółowy, Astrologia - podstawy - W.J
Wykłady i ćwiczenia, Ćwiczenia z rachunku zdań - ciąg dalszy, Wynikanie logiczne
Socjologia -05.12.08Odrodzeniowa myśl społeczna - Ciąg dalszy, Socjologia 8-12-05
M.Walczak - wyklad 5 - rachunek kosztów zmiennych a rachunek kosztów pełnych ciąg dalszy, Zarządzani
Wykłady i ćwiczenia, Podstawowe prawa rachunku zdań, średniowieczne, ciąg dalszy
cw2 zaburzenia płci ciag dalszy
cw3 zaburzenia płci ciag dalszy
GEGRAPACK by WilkPictures, 02.Geografia ekonomiczna - wykłady WSB - ciąg dalszy, T: Turystyka
Kamiennojedwabny Snape - ciąg dalszy, Przyczajona logika Ukryty słownik
marcinka all, 20021203, Ciąg dalszy:
Co odkryto w Jakucji, Niedoszła wyprawa Fundacji NAUTILUS do Jakucji ma swój ciąg dalszy
mieszaniki ciąg dalszy ćw, tpl(1)
Ciąg dalszy wykładu 6 z PRAWA, ZARZĄDZANIE, prawo, wykłady
Serniki- ciag dalszy slodkosci, kuchnia
więcej podobnych podstron